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摘 要：《椭圆及其标准方程》是继人教A版必修二“圆的标准方程”之后又一二次曲线的实例，也是运用代数方法研究几何问题的又一次实际演练，同时还是进一步研究椭圆几何性质以及双曲线、抛物线的基础，它的学习方法将会对这一章起到导向和引领的作用，因此作者在教学中应用到了视频动画文件、几何画板软件、PPT演示文稿等信息技术，生动地展示了椭圆标准方程的生成过程，提高了学生的学习探究兴趣。
关键词：椭圆；定义；标准方程；教学设计
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 收稿日期：2017-12-03
作者简介：程统卓（1989—），男，甘肃庄浪人，二级教师，本科，研究方向：高中数学课程与教学。
一、课程内容分析
（1）新课程标准和考试大纲对本课程内容的要求为：了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程；理解数形结合的思想。
（2）本课内容在高中数学教学中的地位：《椭圆及其标准方程》是继必修二“圆的标准方程”之后又一二次曲线的实例，也是运用代数方法研究几何问题的又一次实际演练，同时它还是进一步研究椭圆几何性质以及双曲线、抛物线的基础，它的学习方法将会对这一章起到导向和引领的作用。
二、教学目标
（1）知识与技能：理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定所研究的图形是否为椭圆。
（2）过程与方法：通过椭圆的标准方程的推导，引导学生体会数形结合的思想方法；在相互交流、合作探究的学习过程中，培养学生合理表述、科学探究、规范总结的思维习惯，提高学生的推理能力和数学知识的应用能力。
（3）情感、态度和价值观：通过合作探究、相互交流，让学生进一步体会数学的趣味性和严谨性；通过作图感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生的求知欲和自信心，优化学生的数学思维品质，让学生逐步体会数学的应用价值和科学价值。
三、教学重点、难点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导与应用。
四、教法与学法
教学方法：从实践到理论，以问题为驱动，启发学生获得椭圆的定义及标准方程，并在例题和练习配套下进行知识的应用。
学法指导：①提供探究、思考的机会，鼓励学生多思考、多总结；②提供表达、交流的机会，鼓励学生敢想敢说，设置问题引导学生勤思考、勤交流。
五、教学过程
1.情景引入
师：“同学们平时看新闻吗？估计学习忙，看得少，老师看新闻的时候留心搜集了一段视频，我们一起来看看。”（播放“嫦娥三号”环月变轨的视频）
师：“‘嫦娥三号’的运行轨道是椭圆轨道，‘椭圆’在我们生活中常见吗？老师搜集了一些照片，一起看看。（PPT演示椭圆图片）那么，接下来我们一起来研究椭圆及其标准方程。”
2.讲授新课
（1）亲手体验：（用工具画椭圆）取一条定长且没有弹性的细绳，在图纸上任取两点，将绳子的两端拉开一段距离，分别固定在图纸的两点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看笔尖画出的轨迹是什么曲线。教师提示同学们画椭圆，会出现以下三种实验情况：①绳长大于两定点间的距离；②绳长等于两定点间的距离 ；③绳长小于两定点间的距离。（引导分析每一种情况）
问题1：对于第一种情况，形成的图形是椭圆，在画图过程中哪些是不变的，哪些是变的？（两定点的距离不变，绳长不变，笔尖在动）
问题2：椭圆的定义该怎么下？（引导学生归纳出椭圆的定义）
（2）椭圆的定义：平面内，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。记焦距为2c，常数为2a。
问题3：你能否将椭圆定义的文字语言转换为数学符号语言？
（3）椭圆标准方程的推导。
问题4：椭圆的方程怎么推导？可以类比圆的标准方程的推导过程。（建系—设点—找关系式—列方程—化简）
问题5：对于椭圆如何选择适当的坐标系呢？（选择坐标系追求对称、简单、便于计算）（如图1）
下面我们推导椭圆的方程：
解析：以经过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy，设M（x，y）是椭圆上任意一点，则F1、F2的坐标分别是（-c，0）（c，0）。
得方程：
。
化簡可得。
观察图2，你能从中找出表示a、c、的线段吗？
令即b2=a2-c2，
则方程可化为。
我们把上式叫作椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上。
问题6：当椭圆的焦点在y轴上时，它的方程又是怎样的呢？
焦点在x轴：由 ，
化简可得。
类比可得，焦点在y轴：由
化简可得
。
问题7：以上两个标准方程有什么相同点与不同点？
椭圆标准方程中，x、y哪个变量对应的分母大，焦点就在哪个轴上。a、b、c三者中a最大，并且c2=a2-b2。（无论焦点在哪个轴上，a、b、c的关系是确定的）
3.例题讲解与练习
练习：已知椭圆的标准方程，请写出a、b、c及焦点坐标。
练习1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0）（2，0），并且经过点（，-），求它的标准方程。（板书解题过程，引导启发学生一题多解）
练习2：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，-1）（0，1），并且经过点（，1），求它的标准方程。（先由学生自己完成，然后通过数码展台展示解题过程，及时指导学生规范书写）
4.作业设计
课本第49页习题2.2A组第1～3题。
六、课后反思
本课由学生感兴趣的卫星运行轨道引出椭圆，很有趣味性，然后通过椭圆工具画椭圆图形，让学生感受到了椭圆的形成过程，最后通过直角坐标系将几何问题与代数问题联系起来，推导出了椭圆的标准方程，让学生感受到了数形结合的思想方法；通过引导讲解，学生对于椭圆的定义、标准方程的产生过程比较明确，对于求椭圆标准方程的简单应用也比较熟练，较好地完成了课前预设的目标。
参考文献：
[1]徐章韬.面向教学的数学知识——基于数学发生发展的视角[M].北京：科学出版社，2013.
[2]方均斌.数学教学设计与案例分析[M].杭州：浙江大学出版社，2012.
关键词：椭圆；定义；标准方程；教学设计
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 收稿日期：2017-12-03
作者简介：程统卓（1989—），男，甘肃庄浪人，二级教师，本科，研究方向：高中数学课程与教学。
一、课程内容分析
（1）新课程标准和考试大纲对本课程内容的要求为：了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程；理解数形结合的思想。
（2）本课内容在高中数学教学中的地位：《椭圆及其标准方程》是继必修二“圆的标准方程”之后又一二次曲线的实例，也是运用代数方法研究几何问题的又一次实际演练，同时它还是进一步研究椭圆几何性质以及双曲线、抛物线的基础，它的学习方法将会对这一章起到导向和引领的作用。
二、教学目标
（1）知识与技能：理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定所研究的图形是否为椭圆。
（2）过程与方法：通过椭圆的标准方程的推导，引导学生体会数形结合的思想方法；在相互交流、合作探究的学习过程中，培养学生合理表述、科学探究、规范总结的思维习惯，提高学生的推理能力和数学知识的应用能力。
（3）情感、态度和价值观：通过合作探究、相互交流，让学生进一步体会数学的趣味性和严谨性；通过作图感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生的求知欲和自信心，优化学生的数学思维品质，让学生逐步体会数学的应用价值和科学价值。
三、教学重点、难点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导与应用。
四、教法与学法
教学方法：从实践到理论，以问题为驱动，启发学生获得椭圆的定义及标准方程，并在例题和练习配套下进行知识的应用。
学法指导：①提供探究、思考的机会，鼓励学生多思考、多总结；②提供表达、交流的机会，鼓励学生敢想敢说，设置问题引导学生勤思考、勤交流。
五、教学过程
1.情景引入
师：“同学们平时看新闻吗？估计学习忙，看得少，老师看新闻的时候留心搜集了一段视频，我们一起来看看。”（播放“嫦娥三号”环月变轨的视频）
师：“‘嫦娥三号’的运行轨道是椭圆轨道，‘椭圆’在我们生活中常见吗？老师搜集了一些照片，一起看看。（PPT演示椭圆图片）那么，接下来我们一起来研究椭圆及其标准方程。”
2.讲授新课
（1）亲手体验：（用工具画椭圆）取一条定长且没有弹性的细绳，在图纸上任取两点，将绳子的两端拉开一段距离，分别固定在图纸的两点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，看看笔尖画出的轨迹是什么曲线。教师提示同学们画椭圆，会出现以下三种实验情况：①绳长大于两定点间的距离；②绳长等于两定点间的距离 ；③绳长小于两定点间的距离。（引导分析每一种情况）
问题1：对于第一种情况，形成的图形是椭圆，在画图过程中哪些是不变的，哪些是变的？（两定点的距离不变，绳长不变，笔尖在动）
问题2：椭圆的定义该怎么下？（引导学生归纳出椭圆的定义）
（2）椭圆的定义：平面内，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。记焦距为2c，常数为2a。
问题3：你能否将椭圆定义的文字语言转换为数学符号语言？
（3）椭圆标准方程的推导。
问题4：椭圆的方程怎么推导？可以类比圆的标准方程的推导过程。（建系—设点—找关系式—列方程—化简）
问题5：对于椭圆如何选择适当的坐标系呢？（选择坐标系追求对称、简单、便于计算）（如图1）
下面我们推导椭圆的方程：
解析：以经过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy，设M（x，y）是椭圆上任意一点，则F1、F2的坐标分别是（-c，0）（c，0）。
得方程：
。
化簡可得。
观察图2，你能从中找出表示a、c、的线段吗？
令即b2=a2-c2，
则方程可化为。
我们把上式叫作椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上。
问题6：当椭圆的焦点在y轴上时，它的方程又是怎样的呢？
焦点在x轴：由 ，
化简可得。
类比可得，焦点在y轴：由
化简可得
。
问题7：以上两个标准方程有什么相同点与不同点？
椭圆标准方程中，x、y哪个变量对应的分母大，焦点就在哪个轴上。a、b、c三者中a最大，并且c2=a2-b2。（无论焦点在哪个轴上，a、b、c的关系是确定的）
3.例题讲解与练习
练习：已知椭圆的标准方程，请写出a、b、c及焦点坐标。
练习1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0）（2，0），并且经过点（，-），求它的标准方程。（板书解题过程，引导启发学生一题多解）
练习2：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，-1）（0，1），并且经过点（，1），求它的标准方程。（先由学生自己完成，然后通过数码展台展示解题过程，及时指导学生规范书写）
4.作业设计
课本第49页习题2.2A组第1～3题。
六、课后反思
本课由学生感兴趣的卫星运行轨道引出椭圆，很有趣味性，然后通过椭圆工具画椭圆图形，让学生感受到了椭圆的形成过程，最后通过直角坐标系将几何问题与代数问题联系起来，推导出了椭圆的标准方程，让学生感受到了数形结合的思想方法；通过引导讲解，学生对于椭圆的定义、标准方程的产生过程比较明确，对于求椭圆标准方程的简单应用也比较熟练，较好地完成了课前预设的目标。
参考文献：
[1]徐章韬.面向教学的数学知识——基于数学发生发展的视角[M].北京：科学出版社，2013.
[2]方均斌.数学教学设计与案例分析[M].杭州：浙江大学出版社，2012.