论文部分内容阅读
复习课是针对性相当强的课，是提高数学教学质量的一个重要环节。既要针对学生的实际和教材的重点，复习基础知识，又要培养和提高学生解决问题的基本技能和技巧，发展学生的逻辑思维和创新能力。
复习课，不是把所学知识机械的重复，而是将知识加以归纳总结使之系统化，通过复习促进知识的前后联系，及时解决学生的疑难问题，提高学生的解题技巧和能力，使学生在原有的基础上得到更大的提高。
配备典型例题是提高解题能力的最佳方法，下面就典型例题的教学功能谈谈自己的一点看法。
一、典型例题的选配要做到以下七点
1.要重视基础性试题的选择
仔细分析各省市的中考试题，不难发现，基础题的比例占70℅。因此各复习的选题一定要符合学生实际，狠抓基础知识的复习和基本技能的训练，抓住重点，突破难点。
例1（河北廊坊）在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（）
A.第一象限B . 第二象限C.第三象限D.第四象限
例2（江西）过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，那么B的坐标为（）
A . （0，-2）B. （2，0）C.（0，-3）D.（-3，0）
选题说明：这两个例题主要考查学生是否掌握点的坐标的概念。记住坐标平面内的点的坐标特征是解这类问题的关键。
2.要重视针对性试题的选择
围绕某些典型问题对学生进行专题复习是要以每一专题的教学目标为核心，所选的例题具有代表性、联系性、深刻性和综合性。
例3 (1）（上海）如果一次函数y=kx+b的图像经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）
A .k＞0,b＞0 B.k ＞0,b＜0C.k＜0,b＞0D.k＜0,b＜0
（2）(福建福州）已知一次函数y=(a-1)x+b的图像经过第一、二、三象限，那么a的取值范围为（）
A .a＜1B.a＞1C.a＞0D.a＜0
(3）（山东）函数y=ax+b ①和y=bx+a②（ab≠0）在同一坐标系中的图像可能是（）
（4）（湖北武汉）如图所示，已知函数y=3x+b和y=ax-3的图像交于点P(-2,-5)，则根据图像可得不等式3x+b＞ax-3的解集是___________。
选题说明：例3可作为一次函数图像性质专题的范例。从图表中获取信息是现在中考命题的热点，解决问题的关键是读懂题意，结合所提供的函数图像，运用数形结合的方法解题。
3.要重视应用性题型的选择
训练学生运用数学知识、思想和方法去解决一些简单的实际问题。
例4（江苏南京）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元／m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元／m3计费，超过部分按2.6元／m3计费。设每户家庭月用水量为xm3时，应交水费y元。
（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x的函数表达式。
（2）小明家第二季度交水费的情况如下：
小明家这个季度共用水多少立方米？
选题说明：本题取材于居民水费的实际问题，设计有新意，富有时代气息，求解时分段进行。
4.要重视开放性试题的选择
在复习过程中、要注意锻炼学生的发散思维能力和创新能力，启发学生多角度、多渠道的思考问题。
例5（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，
使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
5.要重视综合性试题的选择
一个好的综合性试题，涉及的知识较多，解决方法较多，能较全面地帮助学生复习基础知识。
例6某地一家农工商公司收获一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润可达6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天加工16吨；如果进行精加工，每天加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内（含15天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此，公司研制了两种可行方案：
方案1：尽可能多的对蔬菜进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上直接出售。
方案2：将一部分蔬菜进行精加工，其余的蔬菜进行粗加工。
（1）求出方案1所获得利润W1（元）；
（2）求出方案2所获得利润W2（元）与精加工蔬菜数x（吨）之间的函数关系式。
（3）你认为如何安排加工（或直接销售）使公司获利最大？最大利润是多少？
6.要重视探索性试题的选择
探索性试题对于训练学生的数学阅读能力、观察能力、试验、类比和归纳能力、探索能力都有一定的要求，所以在复习中应注意选取这类试题，并帮助学生解决该类问题。
例7（乐山）在某次试验中，测得两个变量m与v之间对应数据如下表：
则m与v之间关系最接近于下列关系式中的（）
A.v=2m-2 B.v=m2-1
C.v=3m-3 D. v=m+1
本题主要考查函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法三种之间相互统一，和谐对应，可以依据实验的数据，在坐标系中通过描点、连线的方法直观画出它的图像，得出它为哪种类型，它对应什么样的函数解析式。
7.要重视操作性试题的选择
有效的数学学习活动不能单纯得依赖模仿和记忆，动手操作也是学生学习数学的一种重要方式。
例8（兰州）如图，在坐标系中，将矩形OABC
折叠问题是一种动手动脑活动，可考查学生的空间想象能力和判断推理能力。本题利用了特殊角的三角函数值解决折叠问题。
二、切实提高思维品质，发展理性思维，优化数学素养
1.围绕解题目标，提高思维的目的性
数学思维的目的性，是指思维的方向总是指向在思维任务上，紧紧围绕思维目标作出决策决断，是选择问题解决的最佳途径。在数学教学中，思维总是要围绕着如何达到目标而展开。提高思维的目的性，正确把握问题的含义及求解目标所提供的信息，从中寻找问题解决的最佳突破口与切入点。
例1（荆州）“5.12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地红十字会向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润。已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元。这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1(万元)和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）：
（1）求y1与x的函数关系式；
（2）求五月份该公司的总销售量；
（3）设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式。
分析：一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量x取值范围是全体实数，图像是一条直线，因此没有最大值和最小值，但有些实际问题得到的一次函数表达式，自变量的取值范围一般受条件限制，则其图像为线段或射线，根据函数性质就存在最大值或最小值。
思维的切入点是：（1）由上图可知图像过点（0,0.2）,(20,1.2)，用待定系数法可求出函数表达式。（2）根据y1+ y2=3.8，列出关于x的方程可求出x的值，从而得出五月份该公司的总销售量。这样是解题目标具体化，思维方向明确化。（3）用含t的关系式表示出销售乙种和丙种型号器材的合数，再分别表示出甲、乙、丙三种型号器材的销售额的和，然后减去进货款64万元和其他支出3.8万元就是五月份总销售利润W。（4）求出t的取值范围，然后利用函数的增减性做出判断。本题考查的是一次函数的实际运用和学生对问题的理解及解决实际问题的能力。
2.揭示问题本质，提高思维的深刻性
数学思维的深刻性是指发现和辨别事物本质的能力，表现为善于抓住主要矛盾的特殊性，善于洞察数学对象的本质属性和内在联系，善于挖掘隐含条件和发展新的有价值的因素，能迅速确定解题策略和组合成各种有效的解题方法。
例2(河北)在直角三角形ABC中，∠C=900，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，点P从点D出发沿折线DE——EF——CD以每秒7个单位长度的速度匀速运动；动点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC——CA于点G。点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止运动。设点P，Q运动时间是t秒（t＞0）。
（1）D，F两点之间的距离是.
（2）射线QK能否打四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值。若不能，说明理由。
（3）当点P运动到折线EF——FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值。
（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t值。
分析：（1）这是一道运动性问题，从勾股定理求线段的长度入手，由勾股定理可求出BC=40，在直角三角形CDF中DC，CF的长易知，由勾股定理可得DF的长。（2）判断四边形CDEF是中心对称图形，要把面积分成相等的两部分，带着这个念头把思维引向了问题的本质深处，通过分析它的几何意义，促使学生站在数行结合的思想方法的高度进行思考，找到了直线这一解题的有力工具，过对称中心的直线把面积分成相等的两部分，故当射线QK经过DF的中点（即对称中心）时，射线QK把四边形CDEF分成面积相等的两部分。（3）由于点P在运动的过程中可以在EF上，也可以在FC上，故采用分类讨论的思想方法解决问题。
显而易见，这样做不仅提高了学生分析问题和解题的能力，而且增强了学生对数学原理与数学基本思想方法的理解，提高思维的深刻性与灵活性。
3.反思解题过程，提高思维的批判性
数学思维的批判性是指思维活动中善于严格的估计思维材料和精细的检查思维过程的智力品质，表现为能根据实际情况展开创造性的思维，善于发现问题和提出问题，能提出独立见解，不轻信盲从，有检查和评价的意向，能及时纠正错误。教师应要求学生要不断反思解题思路，及时检查解题结果，以求得全面正确解决问题。在数学思维活动中独立分析和批判的程度，它是以辨析思维为基础的，培养数学思维的批判性可以引导对数学问题的细微差异的分析，敢于发现思维中的矛盾和漏洞，提出改正的方法。在教学中，教师可依据学生解题出现的“常见病”“多发病”，有的放矢地选编一些颇具迷惑性的题目，使学生把头脑中的错误暴露出来，引导学生作出解题后的反思，使之在思维困惑的情境中，通过反思来弥补知识的不足和思维上的缺陷，培养思维的严谨性和批判性。
总之，复习课上我们必须精选一些典型的范例加以讲解，不仅可以对解决同类习题起到以点带面的作用，更重要的是使学生学会分析问题的方法，提高学生解决问题的能力。
很明显，题目精选了，数量必然相对的减少了；题目选精了，必然能从广泛的知识和技能中提炼出最主要的东西。如果能集中力量计算，把他们练深、练透、练活，那么就可以使学生把握本质，以少胜多，收到事半功倍的效果。
上好复习课，不仅有利于学生全面掌握基础知识，也是培养学生分析问题、解决问题和发现问题的一个重要环节。我们不应该走以多制胜、加重学生负担的老路，而应该在教学实践中不断探索和掌握教学规律，走精选习题，提高教学效益的新路。
教学中应充分发挥典型题的教学功能，对其进行深入的研究和探索，并能发散、变通、延伸、演变，从而培养学生综合运用发散思维。充分挖掘其中的隐含着的规律性的内容，解完一道题后应该想一想，还可以用哪些方法求解，将可能的方法一一尝试，看得出的结果是否一致，同时比较各种方法的异同，繁简和优劣，哪些是一般的解法，哪些解法具有规律性。这样不仅使学生在做题中进一步体会到前后知识的内在联系，将所学知识融汇贯通，而且也使学生的思维空间更加广阔，解题方法更加灵活。更重要的是他们思维能力得到提高，思维方法得到更新，为他们的终生学习打下了良好的基础，并体验学习数学乐趣。
（作者单位：江苏苏州新区实验初级中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
复习课，不是把所学知识机械的重复，而是将知识加以归纳总结使之系统化，通过复习促进知识的前后联系，及时解决学生的疑难问题，提高学生的解题技巧和能力，使学生在原有的基础上得到更大的提高。
配备典型例题是提高解题能力的最佳方法，下面就典型例题的教学功能谈谈自己的一点看法。
一、典型例题的选配要做到以下七点
1.要重视基础性试题的选择
仔细分析各省市的中考试题，不难发现，基础题的比例占70℅。因此各复习的选题一定要符合学生实际，狠抓基础知识的复习和基本技能的训练，抓住重点，突破难点。
例1（河北廊坊）在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（）
A.第一象限B . 第二象限C.第三象限D.第四象限
例2（江西）过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，那么B的坐标为（）
A . （0，-2）B. （2，0）C.（0，-3）D.（-3，0）
选题说明：这两个例题主要考查学生是否掌握点的坐标的概念。记住坐标平面内的点的坐标特征是解这类问题的关键。
2.要重视针对性试题的选择
围绕某些典型问题对学生进行专题复习是要以每一专题的教学目标为核心，所选的例题具有代表性、联系性、深刻性和综合性。
例3 (1）（上海）如果一次函数y=kx+b的图像经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）
A .k＞0,b＞0 B.k ＞0,b＜0C.k＜0,b＞0D.k＜0,b＜0
（2）(福建福州）已知一次函数y=(a-1)x+b的图像经过第一、二、三象限，那么a的取值范围为（）
A .a＜1B.a＞1C.a＞0D.a＜0
(3）（山东）函数y=ax+b ①和y=bx+a②（ab≠0）在同一坐标系中的图像可能是（）
（4）（湖北武汉）如图所示，已知函数y=3x+b和y=ax-3的图像交于点P(-2,-5)，则根据图像可得不等式3x+b＞ax-3的解集是___________。
选题说明：例3可作为一次函数图像性质专题的范例。从图表中获取信息是现在中考命题的热点，解决问题的关键是读懂题意，结合所提供的函数图像，运用数形结合的方法解题。
3.要重视应用性题型的选择
训练学生运用数学知识、思想和方法去解决一些简单的实际问题。
例4（江苏南京）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元／m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元／m3计费，超过部分按2.6元／m3计费。设每户家庭月用水量为xm3时，应交水费y元。
（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x的函数表达式。
（2）小明家第二季度交水费的情况如下：
小明家这个季度共用水多少立方米？
选题说明：本题取材于居民水费的实际问题，设计有新意，富有时代气息，求解时分段进行。
4.要重视开放性试题的选择
在复习过程中、要注意锻炼学生的发散思维能力和创新能力，启发学生多角度、多渠道的思考问题。
例5（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，
使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
5.要重视综合性试题的选择
一个好的综合性试题，涉及的知识较多，解决方法较多，能较全面地帮助学生复习基础知识。
例6某地一家农工商公司收获一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润可达6500元。该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天加工16吨；如果进行精加工，每天加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内（含15天）将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此，公司研制了两种可行方案：
方案1：尽可能多的对蔬菜进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上直接出售。
方案2：将一部分蔬菜进行精加工，其余的蔬菜进行粗加工。
（1）求出方案1所获得利润W1（元）；
（2）求出方案2所获得利润W2（元）与精加工蔬菜数x（吨）之间的函数关系式。
（3）你认为如何安排加工（或直接销售）使公司获利最大？最大利润是多少？
6.要重视探索性试题的选择
探索性试题对于训练学生的数学阅读能力、观察能力、试验、类比和归纳能力、探索能力都有一定的要求，所以在复习中应注意选取这类试题，并帮助学生解决该类问题。
例7（乐山）在某次试验中，测得两个变量m与v之间对应数据如下表：
则m与v之间关系最接近于下列关系式中的（）
A.v=2m-2 B.v=m2-1
C.v=3m-3 D. v=m+1
本题主要考查函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法三种之间相互统一，和谐对应，可以依据实验的数据，在坐标系中通过描点、连线的方法直观画出它的图像，得出它为哪种类型，它对应什么样的函数解析式。
7.要重视操作性试题的选择
有效的数学学习活动不能单纯得依赖模仿和记忆，动手操作也是学生学习数学的一种重要方式。
例8（兰州）如图，在坐标系中，将矩形OABC
折叠问题是一种动手动脑活动，可考查学生的空间想象能力和判断推理能力。本题利用了特殊角的三角函数值解决折叠问题。
二、切实提高思维品质，发展理性思维，优化数学素养
1.围绕解题目标，提高思维的目的性
数学思维的目的性，是指思维的方向总是指向在思维任务上，紧紧围绕思维目标作出决策决断，是选择问题解决的最佳途径。在数学教学中，思维总是要围绕着如何达到目标而展开。提高思维的目的性，正确把握问题的含义及求解目标所提供的信息，从中寻找问题解决的最佳突破口与切入点。
例1（荆州）“5.12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地红十字会向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润。已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元。这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1(万元)和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）：
（1）求y1与x的函数关系式；
（2）求五月份该公司的总销售量；
（3）设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式。
分析：一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量x取值范围是全体实数，图像是一条直线，因此没有最大值和最小值，但有些实际问题得到的一次函数表达式，自变量的取值范围一般受条件限制，则其图像为线段或射线，根据函数性质就存在最大值或最小值。
思维的切入点是：（1）由上图可知图像过点（0,0.2）,(20,1.2)，用待定系数法可求出函数表达式。（2）根据y1+ y2=3.8，列出关于x的方程可求出x的值，从而得出五月份该公司的总销售量。这样是解题目标具体化，思维方向明确化。（3）用含t的关系式表示出销售乙种和丙种型号器材的合数，再分别表示出甲、乙、丙三种型号器材的销售额的和，然后减去进货款64万元和其他支出3.8万元就是五月份总销售利润W。（4）求出t的取值范围，然后利用函数的增减性做出判断。本题考查的是一次函数的实际运用和学生对问题的理解及解决实际问题的能力。
2.揭示问题本质，提高思维的深刻性
数学思维的深刻性是指发现和辨别事物本质的能力，表现为善于抓住主要矛盾的特殊性，善于洞察数学对象的本质属性和内在联系，善于挖掘隐含条件和发展新的有价值的因素，能迅速确定解题策略和组合成各种有效的解题方法。
例2(河北)在直角三角形ABC中，∠C=900，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，点P从点D出发沿折线DE——EF——CD以每秒7个单位长度的速度匀速运动；动点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC——CA于点G。点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止运动。设点P，Q运动时间是t秒（t＞0）。
（1）D，F两点之间的距离是.
（2）射线QK能否打四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值。若不能，说明理由。
（3）当点P运动到折线EF——FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值。
（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t值。
分析：（1）这是一道运动性问题，从勾股定理求线段的长度入手，由勾股定理可求出BC=40，在直角三角形CDF中DC，CF的长易知，由勾股定理可得DF的长。（2）判断四边形CDEF是中心对称图形，要把面积分成相等的两部分，带着这个念头把思维引向了问题的本质深处，通过分析它的几何意义，促使学生站在数行结合的思想方法的高度进行思考，找到了直线这一解题的有力工具，过对称中心的直线把面积分成相等的两部分，故当射线QK经过DF的中点（即对称中心）时，射线QK把四边形CDEF分成面积相等的两部分。（3）由于点P在运动的过程中可以在EF上，也可以在FC上，故采用分类讨论的思想方法解决问题。
显而易见，这样做不仅提高了学生分析问题和解题的能力，而且增强了学生对数学原理与数学基本思想方法的理解，提高思维的深刻性与灵活性。
3.反思解题过程，提高思维的批判性
数学思维的批判性是指思维活动中善于严格的估计思维材料和精细的检查思维过程的智力品质，表现为能根据实际情况展开创造性的思维，善于发现问题和提出问题，能提出独立见解，不轻信盲从，有检查和评价的意向，能及时纠正错误。教师应要求学生要不断反思解题思路，及时检查解题结果，以求得全面正确解决问题。在数学思维活动中独立分析和批判的程度，它是以辨析思维为基础的，培养数学思维的批判性可以引导对数学问题的细微差异的分析，敢于发现思维中的矛盾和漏洞，提出改正的方法。在教学中，教师可依据学生解题出现的“常见病”“多发病”，有的放矢地选编一些颇具迷惑性的题目，使学生把头脑中的错误暴露出来，引导学生作出解题后的反思，使之在思维困惑的情境中，通过反思来弥补知识的不足和思维上的缺陷，培养思维的严谨性和批判性。
总之，复习课上我们必须精选一些典型的范例加以讲解，不仅可以对解决同类习题起到以点带面的作用，更重要的是使学生学会分析问题的方法，提高学生解决问题的能力。
很明显，题目精选了，数量必然相对的减少了；题目选精了，必然能从广泛的知识和技能中提炼出最主要的东西。如果能集中力量计算，把他们练深、练透、练活，那么就可以使学生把握本质，以少胜多，收到事半功倍的效果。
上好复习课，不仅有利于学生全面掌握基础知识，也是培养学生分析问题、解决问题和发现问题的一个重要环节。我们不应该走以多制胜、加重学生负担的老路，而应该在教学实践中不断探索和掌握教学规律，走精选习题，提高教学效益的新路。
教学中应充分发挥典型题的教学功能，对其进行深入的研究和探索，并能发散、变通、延伸、演变，从而培养学生综合运用发散思维。充分挖掘其中的隐含着的规律性的内容，解完一道题后应该想一想，还可以用哪些方法求解，将可能的方法一一尝试，看得出的结果是否一致，同时比较各种方法的异同，繁简和优劣，哪些是一般的解法，哪些解法具有规律性。这样不仅使学生在做题中进一步体会到前后知识的内在联系，将所学知识融汇贯通，而且也使学生的思维空间更加广阔，解题方法更加灵活。更重要的是他们思维能力得到提高，思维方法得到更新，为他们的终生学习打下了良好的基础，并体验学习数学乐趣。
（作者单位：江苏苏州新区实验初级中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文