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[原题呈现]
如图1，四边 形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE = CF. 要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（人教版教材第68页第8题）
结论：BE = AF，BE⊥AF. （证明过程略）
[习题变式]
变式1：点E，F在正方形两边的延长线上，结论仍然成立.
例1 如图2，点E，F分别在AD，DC的延长线上，DE = CF，则BE = AF，BE⊥AF. （证明过程略）
变式2：点E，F在正方形两边上运动，探求线段的最小值.
例2 如圖3，在正方形ABCD中，点E是AD上一点，点F是DC上一点，且DE = CF，连接BE，AF，交于点G，连接DG，设正方形的边长为2，求DG的最小值.
解析：由习题结论可知∠AGE = 90°，则△ABG是斜边不变的直角三角形.
取AB的中点H，连接GH，DH，根据“两点之间线段最短”可知GH + DG ≥ DH，
所以当点D，G，H共线时，DG最小，此时GH = 1，DH = [5]，所以DG的最小值为[5] - 1.
变式3：改变点E，F在正方形两边上的运动方向，探索新结论.
例3 如图4，在正方形ABCD中，E是AD上由D向A运动的一点，F是BC延长线上的一点，且DE = CF. （1）连接EF交CD于G，E在运动过程中，DG的长度是如何变化的？若不变化，求出其长度. （2）过G作GM[?]BF，交AF于H，GM与BF有何关系？证明猜想. （3）设DE = x，GM = y，AB = 4，写出y与x的关系式，无须证明.
解析：（1）易证△DEG ≌ △CFG，可得DG = CG [=12]CD，DG的长度不变.
（2）可证GM是△BEF的中位线，则GM[?]BF，且2GM = BF.
（3）y = [12]x + 2.
【同类演练】 如图1，若 BC = 4，DE = CF = 1，则 GF 的长为 .
答案：2.6
如图1，四边 形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE = CF. 要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（人教版教材第68页第8题）
结论：BE = AF，BE⊥AF. （证明过程略）
[习题变式]
变式1：点E，F在正方形两边的延长线上，结论仍然成立.
例1 如图2，点E，F分别在AD，DC的延长线上，DE = CF，则BE = AF，BE⊥AF. （证明过程略）
变式2：点E，F在正方形两边上运动，探求线段的最小值.
例2 如圖3，在正方形ABCD中，点E是AD上一点，点F是DC上一点，且DE = CF，连接BE，AF，交于点G，连接DG，设正方形的边长为2，求DG的最小值.
解析：由习题结论可知∠AGE = 90°，则△ABG是斜边不变的直角三角形.
取AB的中点H，连接GH，DH，根据“两点之间线段最短”可知GH + DG ≥ DH，
所以当点D，G，H共线时，DG最小，此时GH = 1，DH = [5]，所以DG的最小值为[5] - 1.
变式3：改变点E，F在正方形两边上的运动方向，探索新结论.
例3 如图4，在正方形ABCD中，E是AD上由D向A运动的一点，F是BC延长线上的一点，且DE = CF. （1）连接EF交CD于G，E在运动过程中，DG的长度是如何变化的？若不变化，求出其长度. （2）过G作GM[?]BF，交AF于H，GM与BF有何关系？证明猜想. （3）设DE = x，GM = y，AB = 4，写出y与x的关系式，无须证明.
解析：（1）易证△DEG ≌ △CFG，可得DG = CG [=12]CD，DG的长度不变.
（2）可证GM是△BEF的中位线，则GM[?]BF，且2GM = BF.
（3）y = [12]x + 2.
【同类演练】 如图1，若 BC = 4，DE = CF = 1，则 GF 的长为 .
答案：2.6