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我在初三毕业复习教学中，设计了这样一个例题：
如图1，在直角坐标系中xoy，已知点A（2，-2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标。
问题分析：在直角坐标系xoy中，已知点A（2，-2）和点O（0，0），需要确立等腰△AOP的第三个顶点P的位置，根据等腰三角形的判定可知：△AOP中必须有两条边相等，同时要注意边OA可能是腰，也可能是底边，因此本题可以采用分类思想寻找点P。为避免产生遗漏和重复，通常分为两类，即以OA为底；OA为腰。
略解：如图2：⑴当以OA为底时，作OA的中垂线与y轴交于点P1，易得P1（0，-2）。⑵当以OA为腰时：①以O为圆心，OA为半径作圆，与y轴有两个交点P2、P3，易得坐标为P2（0，-2），P3（0，2）。②以点A为圆心，OA为半径作圆，与y轴交于点P4， 易得坐标为P4（0，-4）。
综上所述，满足条件的点P有四个，其坐标分别为（0，-2），（0，-2），（0，2），（0，-4）。
现代教育理论认为：“数学问题的解决应该是解题之初的预测，直到一个解法完成后的延续这样一个思维全过程”，解题后的反思是解法完成后的延续，因此我在同学们完成这个例题后，引导学生做了如下几个反思：
反思一：我们在解决这个例题的过程中涉及到哪些知识？
[等腰三角形的判定，圆的性质，勾股定理，线段中垂线性质，点的坐标等。]
反思二：在解决这个例题的过程中涉及到哪些数学思想方法？
[数形结合思想，分类讨论思想，化归思想等。]
反思三：该例题能否做适当的延拓和推广呢？
变式拓展一：将上例条件中的“在y轴上确定点P”改为：“在x轴上确定点P，求出符合条件的点P的个数？你能求出它们各自的坐标吗？”[满足条件的点P有4个，其坐标分别为P1（－2，0），P2（4，0），P3（2，0），P4（2，0）。]
变式拓展二：将上例条件中的“在y轴上确定点P”改为：“在坐标轴上确定点P，求出符合条件的点P的个数？”[综合例题和拓展一，可得满足条件的点P有8个。]
变式拓展三：将上例条件中的“使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标”改为：“使△AOP为直角三角形，求出符合条件的点P的个数？”[根据已知，可得满足条件的点P有2个。]
变式拓展四：将上例改为：“在直角坐标系中，已知点A（2，-2），在坐标轴上确定一点P，使△AOP为直角三角形，求符合条件的点P的个数？”[根据已知，可得满足条件的点P有4个。]
变式拓展五：将上例改为：“在直角坐标系xoy中，一次函数y＝－x+2的图象分别与x、y轴交于点A、B，若以AB为一边的等腰三角形ABC中有一个角为300，求满足条件的点C的个数？”[根据提意，可得满足条件的点P有6个。]
由此可见，通过解题后的反思，能够使学生掌握新知识、巩固旧知识，强化学生对数学思想的认识，能够使学生通过解题活动获得策略性知识，培养学生发展探究能力、创新意识和创新能力以及发展学生应用数学知识去分析问题、解决问题的能力。
（作者单位：408000重庆市涪陵区第十四中学）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
如图1，在直角坐标系中xoy，已知点A（2，-2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标。
问题分析：在直角坐标系xoy中，已知点A（2，-2）和点O（0，0），需要确立等腰△AOP的第三个顶点P的位置，根据等腰三角形的判定可知：△AOP中必须有两条边相等，同时要注意边OA可能是腰，也可能是底边，因此本题可以采用分类思想寻找点P。为避免产生遗漏和重复，通常分为两类，即以OA为底；OA为腰。
略解：如图2：⑴当以OA为底时，作OA的中垂线与y轴交于点P1，易得P1（0，-2）。⑵当以OA为腰时：①以O为圆心，OA为半径作圆，与y轴有两个交点P2、P3，易得坐标为P2（0，-2），P3（0，2）。②以点A为圆心，OA为半径作圆，与y轴交于点P4， 易得坐标为P4（0，-4）。
综上所述，满足条件的点P有四个，其坐标分别为（0，-2），（0，-2），（0，2），（0，-4）。
现代教育理论认为：“数学问题的解决应该是解题之初的预测，直到一个解法完成后的延续这样一个思维全过程”，解题后的反思是解法完成后的延续，因此我在同学们完成这个例题后，引导学生做了如下几个反思：
反思一：我们在解决这个例题的过程中涉及到哪些知识？
[等腰三角形的判定，圆的性质，勾股定理，线段中垂线性质，点的坐标等。]
反思二：在解决这个例题的过程中涉及到哪些数学思想方法？
[数形结合思想，分类讨论思想，化归思想等。]
反思三：该例题能否做适当的延拓和推广呢？
变式拓展一：将上例条件中的“在y轴上确定点P”改为：“在x轴上确定点P，求出符合条件的点P的个数？你能求出它们各自的坐标吗？”[满足条件的点P有4个，其坐标分别为P1（－2，0），P2（4，0），P3（2，0），P4（2，0）。]
变式拓展二：将上例条件中的“在y轴上确定点P”改为：“在坐标轴上确定点P，求出符合条件的点P的个数？”[综合例题和拓展一，可得满足条件的点P有8个。]
变式拓展三：将上例条件中的“使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标”改为：“使△AOP为直角三角形，求出符合条件的点P的个数？”[根据已知，可得满足条件的点P有2个。]
变式拓展四：将上例改为：“在直角坐标系中，已知点A（2，-2），在坐标轴上确定一点P，使△AOP为直角三角形，求符合条件的点P的个数？”[根据已知，可得满足条件的点P有4个。]
变式拓展五：将上例改为：“在直角坐标系xoy中，一次函数y＝－x+2的图象分别与x、y轴交于点A、B，若以AB为一边的等腰三角形ABC中有一个角为300，求满足条件的点C的个数？”[根据提意，可得满足条件的点P有6个。]
由此可见，通过解题后的反思，能够使学生掌握新知识、巩固旧知识，强化学生对数学思想的认识，能够使学生通过解题活动获得策略性知识，培养学生发展探究能力、创新意识和创新能力以及发展学生应用数学知识去分析问题、解决问题的能力。
（作者单位：408000重庆市涪陵区第十四中学）
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