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【摘 要】 给出了平面运动刚体上外力之功的推导过程，分析了作用在刚体上外力之功与作用在质点上外力之功的异同，厘清了平面运动刚体的外力之功的计算过程，并且进行了例题分析及详细讨论。
【关键词】 平面运动;刚体;功
Analysis of the External Force of a Plane Moving Rigid Body
Liu Yanbin
（Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001，China）
【Abstract】 This paper gives the derivation process of work of external force acting on a plane moving rigid body， analyzes the similarities and differences between it and the work of external force acting on a particle， clarifies the calculation process of work of external force acting on a plane moving rigid body， and makes example analysis and discussion of this issue.
【Key words】 plane motion;rigid body;work
0 引言
功是描述外力在物体运动过程中的空间累积效应，是能量变化的一种量度，亦是理论力学课程的重要概念之一。作用在平面运动刚体上的外力之功与作用在质点上的外力之功计算方法具有较大的差异。作用在平面运动刚体上的力系与作用在运动质点上的力系不同，具有其特殊性。力系作用在平面运动刚体上时， 力的作用点可能相对刚体静止， 也可能相对刚体移动，即力的作用点可能会发生变更。现有理论力学教材中，都是先给出作用于质点上的力做功的概念，然后从力系简化出发，直接给出作用在平动刚体上力系功的计算公式[1-2]，并没有给出具体的推导过程。计算公式说起来简单，但是常常引起学生困惑不解，计算作用在平面运动刚体上的外力之功时往往无从下手[3-4]。
本文对作用在平面运动刚体上的力系所做的功进行讨论，并厘清其与作用在质点上力系所做的功的异同，以期给理论力学初学者明晰的概念。
1 平面运动刚体的外力之功
质点[M]在变力[F]的作用下，其微小位移为[dr]，在这微小位移中，力[F]做的称为元功，记为[δW]，则
[δW=F?dr] （1）
刚体的平面运动可以分解为质心的平动及围绕质心的转动，故本文基于质心讨论作用在平面运动刚体上的外力之功。令刚体受到的力系为[（F1，F2，…，Fn）]，各力的作用点分别为[（P1，P2，…，Pn）]，刚体质心C的矢径为[rC]，刚体的角速度矢量为[ω]。刚体上任意给定点[Pk]，其速度矢量为：
[rk=vC+ω×ρk] （2）
由于[ω=zdφ/dt]，令[dφ=zdφ]为刚体无限小角位移矢量。由（1）式可得[Pk]的無限小的位移，位移矢量[drk]与质心的无限小位移矢量[drC]和刚体无限小角位移矢量[dφ]的关系，即：
[drk=drC+dφ×ρk] （3）
则[n]个力所做的元功之和为：
[δW=k=1nFk?（drC+dφ×ρk） =k=1nFk?drC+k=1n（Fk×ρk）?dφ] （4）
由静力学可知，主矢和主矩的定义为：
[FR=k=1nFkMC=k=1n（Fk×ρk）] （5）
且[MC]与[dφ]同向，所以（4）式可以简化为：
[δW=FR?drC+MCdφ] （6）
力所做的功及元功如图1所示。从（6）式可以看出，平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的主矢和主矩所做的功之和。从以上推导可以看出，对于刚体平面运动，功的定义中的位移是刚体上受力质点的位移。此外，以上推导不但适用于质心为基点，而且对刚体上的任意一点为基点时仍然适用。
考虑质心的运动路径为[l]，则力系所做的功为：
[W=lFC?drC+MCdφ=lFR?vC+MCωdt] （7）
元功对时间的导数称为功率，通常以P表示，其数学表达式为：
[P=δWdt] （8）
由（6）式可得，主矢和主矩的功率方程可写成：
[P=FR?vC+MCω] （9）
式中[vC]是质心的速度，[ω]是平面运动刚体的角速度。
2 作用在刚体外力之功的说明
与作用在质点上的外力不同，作用在运动刚体上力的作用点可能相对刚体静止， 也可能相对刚体移动，即力的作用点可能会发生变更。所以，需要明确与作用在质点上的力的功的异同。作用在平面运动刚体上力系所做的功分为两项：一是主矢所做的功;二是简化到质心上的主矩所做的功。对于一些特殊情况，作用在平面运动刚体上的外力不做功，与计算质点外力做功类似，计算作用在平动刚体上的力系做功时可以忽略不做功的力。本文针对作用在刚体上的外力之功做如下4点具体说明。 （1）[dr]是力作用质点的元位移：对于平面运动的刚体，功定义式中的位移是刚体上受力质点的元位移。
（2）力系所做的功与选择的参考系有关：从功的推导过程可以看出，不同参考系下，相同的力系所做的功可能不相同，在不限定参考系的前提下讨论一个力系所做的功并没有意义。
（3）理想约束的约束反力不做功：理想约束力的方向与点的运动方向垂直，由功的定义式（1）可知，刚体在运动过程中，作用在刚体上的理想约束力所做的功为零。理想约束主要包括：光滑固定面约束，光滑铰链、无重力杆、不可伸长柔索、固定端约束等。
（4）作用在速度瞬心上的外力不做功：对于速度瞬心，其速度[v=0]，必有[dr=vdt=0]，由元功的定义式（1）可知，作用在速度瞬心上的力不做功。
3 实例分析及讨论
计算作用在平面运动刚体上力系所做功的步骤如下。
（1）画出平面运动刚体的受力分析图;（2）判断刚体做平面运动过程不做功的力;（3）将做功的力向质心简化;（4）计算主矢和主矩;（5）基于公式（7），计算力系所做的功。
例题1 如图2（a）所示，匀质圆盘质量为[m]，半径为[R]，作用于圆盘的力偶为[M]，圆盘沿水平直线做纯滚动，求当圆盘[C]走过路程[S]时圆盘所受力系的功。
解：圆盘的受力分析如图2 （b）所示，[FS]是摩擦力，[FN]是平面的支持力。由于P点是平面运动圆盘的速度瞬心，所以[FS]与[FN]均不做功;在垂直方向上圆盘没有位移，重力亦不做功，所以做功的只有力偶[M]，故力系所做的功为：
[W=MSR]
讨论：对于摩擦力[FS]，可以将其平移至质心，证明其做功为零，[FS]对质心的力矩为：
[MC=FSR]
故摩擦力做的功为：
[WS=FSS-FSRSR=0]
可见采用（6）式计算，摩擦力[FS]做功仍为0。
例题2 匀质圆盘质量为[m]，半径为[R]，外缘上缠绕无重细绳，绳头水平固定在墙上，如图3（a） 所示。圆盘中心[C]点作用一个较大的力[F]，使圆盘中心[C]向右加速运动，圆盘与水平地面间滑动摩擦系数为[f]，力[F]为常量，求当圆盘[C]走过路程[S]时圆盘所受力系的功。
解：圆盘的受力分析如图3（b） 所示。由于绳子不可伸长，圆盘的运动如同沿绳索水平方向做纯滚动，故[P]点为圆盘的速度瞬心，所以绳子的拉力[FT]不做功;在垂直方向上没有位移，故重力[mg]及支持力[FN]亦不做功。将摩擦力[FS]向质心[C]平移，则作用在圆盘上的做功的力的主矢为：[FR=F-FS]，主矩为：[MC=FSR=mgfR]（顺时针）。由公式（7）可得力系所做功为：
[W=FRS+MCSR =F-mgfS-mgfRSR=FS-2mgfS]
讨论：在此题中，圆盘转动方向为逆时针，主矩为顺时针，故主矩做负功。拉力[F]仅仅在平动过程中做功，而摩擦力不但对刚体的平动做功，而且对刚体的转动亦做功。
摩擦力做功的问题是理论力学学习中的一个难点，常常有学生产生疑问：摩擦力总阻碍物体的运动，为什么还能不做功或者做正功呢？从以上两个实例可以看出摩擦力可以做负功，亦可以不做功。此外，对于一些情况摩擦力亦可以做正功。
4 结论
针对作用在平面运动刚体上的外力的功，本文阐述了其与作用在质点上外力的功的异同，澄清了平面运动刚体上外力功的认识误区，得出如下具体结论：（1）[dr]是力作用质点的元位移;（2）力系所做的功与选择的参考系有关;（3）理想约束的约束反力不做功;（4）作用在速度瞬心上的外力不做功;（5）不同情况下，平面运动刚体上的摩擦力可以做正功、负功或是不做功。
[参考文献]
[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（Ⅰ）[M].北京：高等教育出版社，2016：259-280.
[2] 洪嘉振，杨长俊.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2015：230-238.
[3] 张春丽，张岩.PBL教学模式在《工程力学》课程中的应用[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2016，16（4）：120-122.
[4] 何敏，江燕燕.力學模型跷跷板的教学研究[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2020，20（2）：108-118.
【关键词】 平面运动;刚体;功
Analysis of the External Force of a Plane Moving Rigid Body
Liu Yanbin
（Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001，China）
【Abstract】 This paper gives the derivation process of work of external force acting on a plane moving rigid body， analyzes the similarities and differences between it and the work of external force acting on a particle， clarifies the calculation process of work of external force acting on a plane moving rigid body， and makes example analysis and discussion of this issue.
【Key words】 plane motion;rigid body;work
0 引言
功是描述外力在物体运动过程中的空间累积效应，是能量变化的一种量度，亦是理论力学课程的重要概念之一。作用在平面运动刚体上的外力之功与作用在质点上的外力之功计算方法具有较大的差异。作用在平面运动刚体上的力系与作用在运动质点上的力系不同，具有其特殊性。力系作用在平面运动刚体上时， 力的作用点可能相对刚体静止， 也可能相对刚体移动，即力的作用点可能会发生变更。现有理论力学教材中，都是先给出作用于质点上的力做功的概念，然后从力系简化出发，直接给出作用在平动刚体上力系功的计算公式[1-2]，并没有给出具体的推导过程。计算公式说起来简单，但是常常引起学生困惑不解，计算作用在平面运动刚体上的外力之功时往往无从下手[3-4]。
本文对作用在平面运动刚体上的力系所做的功进行讨论，并厘清其与作用在质点上力系所做的功的异同，以期给理论力学初学者明晰的概念。
1 平面运动刚体的外力之功
质点[M]在变力[F]的作用下，其微小位移为[dr]，在这微小位移中，力[F]做的称为元功，记为[δW]，则
[δW=F?dr] （1）
刚体的平面运动可以分解为质心的平动及围绕质心的转动，故本文基于质心讨论作用在平面运动刚体上的外力之功。令刚体受到的力系为[（F1，F2，…，Fn）]，各力的作用点分别为[（P1，P2，…，Pn）]，刚体质心C的矢径为[rC]，刚体的角速度矢量为[ω]。刚体上任意给定点[Pk]，其速度矢量为：
[rk=vC+ω×ρk] （2）
由于[ω=zdφ/dt]，令[dφ=zdφ]为刚体无限小角位移矢量。由（1）式可得[Pk]的無限小的位移，位移矢量[drk]与质心的无限小位移矢量[drC]和刚体无限小角位移矢量[dφ]的关系，即：
[drk=drC+dφ×ρk] （3）
则[n]个力所做的元功之和为：
[δW=k=1nFk?（drC+dφ×ρk） =k=1nFk?drC+k=1n（Fk×ρk）?dφ] （4）
由静力学可知，主矢和主矩的定义为：
[FR=k=1nFkMC=k=1n（Fk×ρk）] （5）
且[MC]与[dφ]同向，所以（4）式可以简化为：
[δW=FR?drC+MCdφ] （6）
力所做的功及元功如图1所示。从（6）式可以看出，平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的主矢和主矩所做的功之和。从以上推导可以看出，对于刚体平面运动，功的定义中的位移是刚体上受力质点的位移。此外，以上推导不但适用于质心为基点，而且对刚体上的任意一点为基点时仍然适用。
考虑质心的运动路径为[l]，则力系所做的功为：
[W=lFC?drC+MCdφ=lFR?vC+MCωdt] （7）
元功对时间的导数称为功率，通常以P表示，其数学表达式为：
[P=δWdt] （8）
由（6）式可得，主矢和主矩的功率方程可写成：
[P=FR?vC+MCω] （9）
式中[vC]是质心的速度，[ω]是平面运动刚体的角速度。
2 作用在刚体外力之功的说明
与作用在质点上的外力不同，作用在运动刚体上力的作用点可能相对刚体静止， 也可能相对刚体移动，即力的作用点可能会发生变更。所以，需要明确与作用在质点上的力的功的异同。作用在平面运动刚体上力系所做的功分为两项：一是主矢所做的功;二是简化到质心上的主矩所做的功。对于一些特殊情况，作用在平面运动刚体上的外力不做功，与计算质点外力做功类似，计算作用在平动刚体上的力系做功时可以忽略不做功的力。本文针对作用在刚体上的外力之功做如下4点具体说明。 （1）[dr]是力作用质点的元位移：对于平面运动的刚体，功定义式中的位移是刚体上受力质点的元位移。
（2）力系所做的功与选择的参考系有关：从功的推导过程可以看出，不同参考系下，相同的力系所做的功可能不相同，在不限定参考系的前提下讨论一个力系所做的功并没有意义。
（3）理想约束的约束反力不做功：理想约束力的方向与点的运动方向垂直，由功的定义式（1）可知，刚体在运动过程中，作用在刚体上的理想约束力所做的功为零。理想约束主要包括：光滑固定面约束，光滑铰链、无重力杆、不可伸长柔索、固定端约束等。
（4）作用在速度瞬心上的外力不做功：对于速度瞬心，其速度[v=0]，必有[dr=vdt=0]，由元功的定义式（1）可知，作用在速度瞬心上的力不做功。
3 实例分析及讨论
计算作用在平面运动刚体上力系所做功的步骤如下。
（1）画出平面运动刚体的受力分析图;（2）判断刚体做平面运动过程不做功的力;（3）将做功的力向质心简化;（4）计算主矢和主矩;（5）基于公式（7），计算力系所做的功。
例题1 如图2（a）所示，匀质圆盘质量为[m]，半径为[R]，作用于圆盘的力偶为[M]，圆盘沿水平直线做纯滚动，求当圆盘[C]走过路程[S]时圆盘所受力系的功。
解：圆盘的受力分析如图2 （b）所示，[FS]是摩擦力，[FN]是平面的支持力。由于P点是平面运动圆盘的速度瞬心，所以[FS]与[FN]均不做功;在垂直方向上圆盘没有位移，重力亦不做功，所以做功的只有力偶[M]，故力系所做的功为：
[W=MSR]
讨论：对于摩擦力[FS]，可以将其平移至质心，证明其做功为零，[FS]对质心的力矩为：
[MC=FSR]
故摩擦力做的功为：
[WS=FSS-FSRSR=0]
可见采用（6）式计算，摩擦力[FS]做功仍为0。
例题2 匀质圆盘质量为[m]，半径为[R]，外缘上缠绕无重细绳，绳头水平固定在墙上，如图3（a） 所示。圆盘中心[C]点作用一个较大的力[F]，使圆盘中心[C]向右加速运动，圆盘与水平地面间滑动摩擦系数为[f]，力[F]为常量，求当圆盘[C]走过路程[S]时圆盘所受力系的功。
解：圆盘的受力分析如图3（b） 所示。由于绳子不可伸长，圆盘的运动如同沿绳索水平方向做纯滚动，故[P]点为圆盘的速度瞬心，所以绳子的拉力[FT]不做功;在垂直方向上没有位移，故重力[mg]及支持力[FN]亦不做功。将摩擦力[FS]向质心[C]平移，则作用在圆盘上的做功的力的主矢为：[FR=F-FS]，主矩为：[MC=FSR=mgfR]（顺时针）。由公式（7）可得力系所做功为：
[W=FRS+MCSR =F-mgfS-mgfRSR=FS-2mgfS]
讨论：在此题中，圆盘转动方向为逆时针，主矩为顺时针，故主矩做负功。拉力[F]仅仅在平动过程中做功，而摩擦力不但对刚体的平动做功，而且对刚体的转动亦做功。
摩擦力做功的问题是理论力学学习中的一个难点，常常有学生产生疑问：摩擦力总阻碍物体的运动，为什么还能不做功或者做正功呢？从以上两个实例可以看出摩擦力可以做负功，亦可以不做功。此外，对于一些情况摩擦力亦可以做正功。
4 结论
针对作用在平面运动刚体上的外力的功，本文阐述了其与作用在质点上外力的功的异同，澄清了平面运动刚体上外力功的认识误区，得出如下具体结论：（1）[dr]是力作用质点的元位移;（2）力系所做的功与选择的参考系有关;（3）理想约束的约束反力不做功;（4）作用在速度瞬心上的外力不做功;（5）不同情况下，平面运动刚体上的摩擦力可以做正功、负功或是不做功。
[参考文献]
[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（Ⅰ）[M].北京：高等教育出版社，2016：259-280.
[2] 洪嘉振，杨长俊.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2015：230-238.
[3] 张春丽，张岩.PBL教学模式在《工程力学》课程中的应用[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2016，16（4）：120-122.
[4] 何敏，江燕燕.力學模型跷跷板的教学研究[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2020，20（2）：108-118.