论文部分内容阅读
摘要：本文主要介绍数学中一些常见的具有特殊意义的数字，介绍它们的历史起源，并总结对这些特殊数字的研究历程中的阶段性成果，分析它们的特殊意义及价值。
关键词：特殊数字；零；圆周率；自然常数；无穷大；虚数；质数；完全数
中图分类号：G642.1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）46-0125-02
一、零0
数字“0”，可以表示“没有”，也可以在数中起占位作用，更可以用来表示界限。它既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。历史上，使用符号表示“虚无”已经有几千年的历史。公元前700年开始，巴比伦人在他们的数字系中使用零作为占位符。玛雅文明（如今的墨西哥）已经以各种形式使用“O”。墨西哥中南部奥尔梅克文明晚期的人民已在新大陆上开始使用真正的零，其时间可能是在公元前4世纪，但较肯定的是在公元前40年，它变成了玛雅数字和玛雅历法的一部分。公元130年时，被喜帕恰斯和巴比伦人在六十进位制里使用了零的符号所影响。公元525年，零被使用在以罗马数字编制的表格上。在7世纪，公元628年，印度数学家婆罗摩笈多将“0”作为一个“数字”对待，而不仅仅是一个占位符，并且制定了与其他数字的运算法则，建立了一套使用规则，并讨论包含零的运算，包括除法。包含了“O”的印度—阿拉伯数字系统最早是由比萨的斐波那契于1202年在他的Liber Abaci（《计算之书》）中发表的，他在印度—阿拉伯数字系统1-9中加入了一个新的符号“0”，随后在西方推广开来，并在印度—阿拉伯用于四则运算的教学中。
二、圆周率π
圆周率π或者pi，是圆周的周长和它的直径的比值。它的值，不取决于圆周的大小，无论圆周是大是小，π的值都是恒定不变的。π产生于圆周，但是在数学中它却无处不在，比如概率论、流体力学、光学、甚至量子理论中。人们在古时候就对圆周周长和直径的比值产生了浓厚的兴趣。在公元前2000年左右，巴比伦人发现了周长大约是直径的3倍。公元250年阿基米德给出此比值的近似值为22/7。公元1706年，威尔士数学家威廉·琼斯引入了符号π。18世纪著名物理学家和数学家欧拉在圆周率的使用中将π推广开来。我们无法知道π的精确数值，因为它是一个无理数，这一点被约翰·兰伯特于1761年证明。德国数学家林德曼在1882年证明了π是“超越”的，即π不可能是代数方程（一个仅含有x的指数项的方程）的解。通过解决这个“千古之谜”，林德曼给出了“变圆为方”这一问题的结论，此问题为：给定一个圆，如何利用一对圆规和直尺构造一个和它面积一样的正方形。林德曼最后证明这是不可能做到的。
三、自然常数e
e是一个近似值为2.71828的数，是自然对数函数的底数。和π一样，e也是一个无理数，因此，我们也无法知道它的精确数值。e主要出现在涉及增长的地方。公元1618年约翰·皮内尔找到了涉及对数的常数e。1727年欧拉在对数理论中使用了符号e，因此它有时也被称为欧拉数。欧拉在1737年证明了e是无理数（而不是分数）。1748年欧拉将e计算到了小数点后23位；大概在同一时候，他发现了著名的欧拉公式eiπ 1=0。1840年，法国数学家刘维尔证明了e不是任何2次方程的解，而在1873年，他的同胞埃尔米特，开创性地证明了e是超越的（不是任何代数方程的解）。
四、无穷大∞
无穷大是多大？简单地说，∞（表示无穷大的符号）非常大。想象一条由数字排成的直线，随着数字不断增大，直线一直延伸下去，直至“消失在无穷”。事实上，无穷大并不是一个普通意义上的数。1639年德扎格在几何学中引入了无穷的概念。1655年约翰·沃利斯是第一个使用“同心结”符号∞表示无穷的人。1874年康托尔非常严谨地对待无穷，他具体说明了不同阶的无穷，说明无穷大也分大小。
五、虚数
虚数理论开始于-1的平方根。那么，什么数平方后可以得到-1呢？如果仅限于实数轴，我们将永远找不到-1的平方根，因为任何实数的平方都是非负的。大胆接受“-1的平方根”作为一个新的实体（表示为i），这是数学史上非常重要的一步，大约发生在19世纪初。实数和虚数统称为复数。从此以后进入了一个全新的二维数平面。公元1572年拉斐罗·帮别利在计算中使用了虚数。1777年欧拉第一次使用符号i来表示-1的平方根。1806年阿冈对复数的图表表示法被称为阿冈图。1811年高斯对复数变量的函数进行了研究。1837年哈密顿将复数看作是有序的实数对。
六、质数
质数，也称为素数，是只可被1和它自身所整除的自然数。欧几里得在他的《几何原本》（第9卷，命題20）中陈述到：“素数的个数要超过任何一个我们可以指定的数。”但是，在整数序列中质数的出现并没有规律可循。公元前300年欧几里得在《几何原本》中给出了有无穷多个质数的证明。公元前230年埃拉托色尼描述了一种从所有整数中筛出质数的方法。1742年哥德巴赫猜测所有大于2的偶数都可表述为两个质数的和。1896年关于质数分布的质数定理被证明。1966年中国著名数学家陈景润几乎证实了哥德巴赫猜想。
七、完全数
完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。比如6，其因子之和1 2 3=6。公元前525年毕达哥斯拉学派的研究涉及了完全数和过剩数。公元前300年欧几里得在《几何原本》第9卷中讨论了完全数，给出了完全数的数学性质。而400年后，公元100年尼克马修斯对其进行了更加深入的研究，基于完全数将数进行了分类。一个数的因子之和大于它本身就称为盈数，一个数称为亏数则是它的因子之和小于它本身，一个既不是盈数也不是亏数的数便是完全数。第一个完全数是6，其因子之和1 2 3=6。第二个是28，它的真因子1，2，4，7以及14加起来得28。前两个完全数，6和28，在完全数中有着至关重要的地位，因为可以证明所有的偶数完全数都以6或28结尾。第三个是496，第四个是8128。第五个完全数就要大得多，是33550336，这个完全数直到十五世纪才由一位无名氏给出。1603年，皮特罗·卡塔尔迪找到了位数高达十位的第6个完全数和位数高达十二位的第7个完全数。一直到现在，即便有了计算机辅助，但人们仍不知道是否有一个最大的，或者说是否会有无穷多个完全数。寻找更大完全数的工作仍在进行中。
浩渺的数字家族中，具有特殊意义的数字并不只有以上七种。还有更多具有特殊意义和特殊性质的数字，期待着数学爱好者们去探究和追寻。
参考文献：
[1][英]克里利，著.你不可不知的50个数学知识[M].王悦，译.人民邮电出版社，2010年9月第1版.
[2]陈仁政.不可思议的e[M].北京：科学出版社，2005.
[3]陈仁政.说不尽的π[M].北京：科学出版社，2005.
[4]阿西莫夫，著.数的趣谈[M].洪丕柱，等，译.上海科学技术出版社出版，1980.
基金项目：2012年辽宁省大学生创新创业训练计划项目（项目编号：201211258005）
作者简介：李国庆（1990-），男，辽宁大连？摇大连大学信息工程学院本科生。
通讯作者：王凤霞（1980-），女，辽宁大连？摇大连大学信息工程学院讲师。
关键词：特殊数字；零；圆周率；自然常数；无穷大；虚数；质数；完全数
中图分类号：G642.1 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）46-0125-02
一、零0
数字“0”，可以表示“没有”，也可以在数中起占位作用，更可以用来表示界限。它既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。历史上，使用符号表示“虚无”已经有几千年的历史。公元前700年开始，巴比伦人在他们的数字系中使用零作为占位符。玛雅文明（如今的墨西哥）已经以各种形式使用“O”。墨西哥中南部奥尔梅克文明晚期的人民已在新大陆上开始使用真正的零，其时间可能是在公元前4世纪，但较肯定的是在公元前40年，它变成了玛雅数字和玛雅历法的一部分。公元130年时，被喜帕恰斯和巴比伦人在六十进位制里使用了零的符号所影响。公元525年，零被使用在以罗马数字编制的表格上。在7世纪，公元628年，印度数学家婆罗摩笈多将“0”作为一个“数字”对待，而不仅仅是一个占位符，并且制定了与其他数字的运算法则，建立了一套使用规则，并讨论包含零的运算，包括除法。包含了“O”的印度—阿拉伯数字系统最早是由比萨的斐波那契于1202年在他的Liber Abaci（《计算之书》）中发表的，他在印度—阿拉伯数字系统1-9中加入了一个新的符号“0”，随后在西方推广开来，并在印度—阿拉伯用于四则运算的教学中。
二、圆周率π
圆周率π或者pi，是圆周的周长和它的直径的比值。它的值，不取决于圆周的大小，无论圆周是大是小，π的值都是恒定不变的。π产生于圆周，但是在数学中它却无处不在，比如概率论、流体力学、光学、甚至量子理论中。人们在古时候就对圆周周长和直径的比值产生了浓厚的兴趣。在公元前2000年左右，巴比伦人发现了周长大约是直径的3倍。公元250年阿基米德给出此比值的近似值为22/7。公元1706年，威尔士数学家威廉·琼斯引入了符号π。18世纪著名物理学家和数学家欧拉在圆周率的使用中将π推广开来。我们无法知道π的精确数值，因为它是一个无理数，这一点被约翰·兰伯特于1761年证明。德国数学家林德曼在1882年证明了π是“超越”的，即π不可能是代数方程（一个仅含有x的指数项的方程）的解。通过解决这个“千古之谜”，林德曼给出了“变圆为方”这一问题的结论，此问题为：给定一个圆，如何利用一对圆规和直尺构造一个和它面积一样的正方形。林德曼最后证明这是不可能做到的。
三、自然常数e
e是一个近似值为2.71828的数，是自然对数函数的底数。和π一样，e也是一个无理数，因此，我们也无法知道它的精确数值。e主要出现在涉及增长的地方。公元1618年约翰·皮内尔找到了涉及对数的常数e。1727年欧拉在对数理论中使用了符号e，因此它有时也被称为欧拉数。欧拉在1737年证明了e是无理数（而不是分数）。1748年欧拉将e计算到了小数点后23位；大概在同一时候，他发现了著名的欧拉公式eiπ 1=0。1840年，法国数学家刘维尔证明了e不是任何2次方程的解，而在1873年，他的同胞埃尔米特，开创性地证明了e是超越的（不是任何代数方程的解）。
四、无穷大∞
无穷大是多大？简单地说，∞（表示无穷大的符号）非常大。想象一条由数字排成的直线，随着数字不断增大，直线一直延伸下去，直至“消失在无穷”。事实上，无穷大并不是一个普通意义上的数。1639年德扎格在几何学中引入了无穷的概念。1655年约翰·沃利斯是第一个使用“同心结”符号∞表示无穷的人。1874年康托尔非常严谨地对待无穷，他具体说明了不同阶的无穷，说明无穷大也分大小。
五、虚数
虚数理论开始于-1的平方根。那么，什么数平方后可以得到-1呢？如果仅限于实数轴，我们将永远找不到-1的平方根，因为任何实数的平方都是非负的。大胆接受“-1的平方根”作为一个新的实体（表示为i），这是数学史上非常重要的一步，大约发生在19世纪初。实数和虚数统称为复数。从此以后进入了一个全新的二维数平面。公元1572年拉斐罗·帮别利在计算中使用了虚数。1777年欧拉第一次使用符号i来表示-1的平方根。1806年阿冈对复数的图表表示法被称为阿冈图。1811年高斯对复数变量的函数进行了研究。1837年哈密顿将复数看作是有序的实数对。
六、质数
质数，也称为素数，是只可被1和它自身所整除的自然数。欧几里得在他的《几何原本》（第9卷，命題20）中陈述到：“素数的个数要超过任何一个我们可以指定的数。”但是，在整数序列中质数的出现并没有规律可循。公元前300年欧几里得在《几何原本》中给出了有无穷多个质数的证明。公元前230年埃拉托色尼描述了一种从所有整数中筛出质数的方法。1742年哥德巴赫猜测所有大于2的偶数都可表述为两个质数的和。1896年关于质数分布的质数定理被证明。1966年中国著名数学家陈景润几乎证实了哥德巴赫猜想。
七、完全数
完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。比如6，其因子之和1 2 3=6。公元前525年毕达哥斯拉学派的研究涉及了完全数和过剩数。公元前300年欧几里得在《几何原本》第9卷中讨论了完全数，给出了完全数的数学性质。而400年后，公元100年尼克马修斯对其进行了更加深入的研究，基于完全数将数进行了分类。一个数的因子之和大于它本身就称为盈数，一个数称为亏数则是它的因子之和小于它本身，一个既不是盈数也不是亏数的数便是完全数。第一个完全数是6，其因子之和1 2 3=6。第二个是28，它的真因子1，2，4，7以及14加起来得28。前两个完全数，6和28，在完全数中有着至关重要的地位，因为可以证明所有的偶数完全数都以6或28结尾。第三个是496，第四个是8128。第五个完全数就要大得多，是33550336，这个完全数直到十五世纪才由一位无名氏给出。1603年，皮特罗·卡塔尔迪找到了位数高达十位的第6个完全数和位数高达十二位的第7个完全数。一直到现在，即便有了计算机辅助，但人们仍不知道是否有一个最大的，或者说是否会有无穷多个完全数。寻找更大完全数的工作仍在进行中。
浩渺的数字家族中，具有特殊意义的数字并不只有以上七种。还有更多具有特殊意义和特殊性质的数字，期待着数学爱好者们去探究和追寻。
参考文献：
[1][英]克里利，著.你不可不知的50个数学知识[M].王悦，译.人民邮电出版社，2010年9月第1版.
[2]陈仁政.不可思议的e[M].北京：科学出版社，2005.
[3]陈仁政.说不尽的π[M].北京：科学出版社，2005.
[4]阿西莫夫，著.数的趣谈[M].洪丕柱，等，译.上海科学技术出版社出版，1980.
基金项目：2012年辽宁省大学生创新创业训练计划项目（项目编号：201211258005）
作者简介：李国庆（1990-），男，辽宁大连？摇大连大学信息工程学院本科生。
通讯作者：王凤霞（1980-），女，辽宁大连？摇大连大学信息工程学院讲师。