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摘要：数值计算方法课程包含方法众多、方法名称容易混淆、数学推导较多，理论性、技术性和实践性均较强，学生在有限的时间内很难获得较好的学习效果。为增强课程的趣味性，使学生在较短的时间内掌握众多的方法并学以致用，笔者在多年的教学实践中进行了一系列的教学改革：利用Matlab软件具化方法原理及图形，增强直观感性认知；多媒体教学、传统板书教学、Matlab软件实时编程演示相结合，控制教学节奏；提出启发式问题，引导学生主动思考；结合专业需求，注重实践教学和应用研究。上述措施经教学验证获得了较好的效果。
关键词：数值计算方法；教学改革；实践教学
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）23-0122-02
一、引言
数值计算方法是一门理论性、技术性和实践性都很强的课程，包括非线性方程求根、插值方法与曲线拟合方法、数值积分、常微分方程的数值解法、线性方程组的数值解法等内容，在科学研究和工程實践中具有广泛的应用。课程具有如下特点：包含方法众多。如非线性方程求根方法包括二分搜索法、一般迭代法、Newton迭代法、Newton下山法、弦截法等，插值方法包括Lagrange插值、Aitken逐次插值、分段插值、Newton插值、Hermite插值等，矩阵的三角分解包括Doolittle、Crout及Cholesky等方法。学生在有限的时间内很难掌握这众多的方法；方法名称容易混淆。如Newton这一名称在非线性方程求根、多项式插值中均有出现，数值积分中又出现类似的名称Newton-Cotes求积公式。在插值方法中有高次插值的Runge现象，在数值积分中有Romberg积分法，在常微分方程的数值解法中有Runge-Kutta方法。这些方法名称的相似性使学生记忆过程中容易混淆，影响学习效果；数学推导较多，理论性较强。讲解过程中众多定理的推导和证明涉及较多的数学知识，内容抽象，理论性较强，易使学生感觉枯燥，丧失学习兴趣。如上所述众多问题影响了学生的学习效果，很多学者对此进行了有益的探讨。为增强课程的趣味性，使学生在较短的时间内掌握众多的方法并学以致用，笔者在多年的教学实践中也进行了一系列的教学改革。
二、增强《计算方法》课程趣味性的教学改革与实践
1.利用Matlab软件具化方法原理及图形，增强直观感性认知。计算方法课程的学习涉及到很多数学推导，学习难免枯燥。因此在各种方法的学习过程中，通过Matlab软件强大的图形显示功能具象化方法实现的过程和意义，增强学生的直观感性认识和对课程内容的理解程度。如在二分法非线性求根过程中，利用Matlab画图表示曲线的形态、各次迭代的区间中点坐标。在牛顿法非线性求根过程中，利用Matlab画图显示每次迭代时的切线方向，比较不同迭代步时切线的解向真解的逼近过程。在一般迭代法中，针对不同的迭代格式利用Matlab展示不同迭代步的解及其收敛或发散特征。在讲解Runge现象时，指导学生针对特定示例绘出等距节点和不等距节点时不同插值次数的多项式插值曲线的图形，与原函数对比进行解析。在数值求积部分，利用Matlab软件显示矩形、梯形、Simpson及Cotes型求积曲线与待求积函数进行精度对比。讲述罗朗定理时利用Matlab软件绘出图形讲述函数的极值点个数与其导数的极值点个数之间的关系。Matlab软件绘制出的直观图形，让抽象的理论内容有了可视性。理论内容的抽象性与绘图结果的直观性两种不同的方式相结合，让学生从不同的角度理解同一问题，即增强学生的学习兴趣，又增强对课程内容的理解程度。
2.多媒体教学、板书教学、Matlab软件实时编程演示相结合，控制教学节奏。上课时让学生紧跟老师讲解的节奏不是一件容易的事，若学生在某一步骤没有听懂，则后续的课程内容便完全不知所云。授课的目的不是老师讲清楚了，而是学生跟上节奏听明白了。因此在课堂授课的过程中要注意节奏的变化，留给学生思考的空间。目前常用的多媒体教学的优点是美观便捷，利于图形展示，但每张PPT篇幅有限，只适合张贴提纲挈领式内容，数学推导部分利用PPT讲解易讲解速度过快，不利于给学生留出思考的空间跟上课程节奏。因此，在多媒体教学的基础上，结合传统的板书教学，二者互相穿插。板书教学让学生跟随老师的粉笔，和老师一起思考，逐步递进了解每一数学步骤的推导过程。多媒体教学展示课程的内容纲要、优美图件及重要结论，更能使学生抓住学习的重点。二者的切换避免了教学形式的单一，更利于提高学生的专注程度。同时，针对一些方法得出的数学公式以及结论，老师利用Matlab软件实时进行编程演示，给出直观的绘图结果，避免单纯讲述公式和结论的空洞性。多媒体教学、板书教学、Matlab软件实时编程演示三种教学方式相结合，保证教学节奏的张弛有度，有效引领学生的学习节奏，在增强课程趣味性的同时提高教学效果。
3.提出启发式问题，引导学生主动思考。启发式问题可大大促进学生进行主动思考，学习效率事半功倍。在各部分内容讲述前，给出启发式问题让学生进行预习，预习过程中注意寻找问题的答案，在课堂授课时学生在遇到相关问题时也会精力集中。如在复化求积法讲解前启发学生思考Newton-cotes型低阶和高阶求积公式存在的问题并由此引入为什么要进行复化求积计算，在Aitken插值法和Newton插值法讲解前启发学生思考lagrange插值法的缺点及两种方法不同的解决方案；在内容讲述后，给出启发式问题让学生进行拓展式思考。如在数值求积部分利用待定系数法求取求积系数时，让学生思考如果设f（x）=x2，x3，让精确求积公式与近似求积公式结果相等时求取的求积系数是否合理及其原因。在牛顿插值法讲解时启发学生比较第一种差商格式和第二种差商格式得到的差商系数是否相同，调换插值节点顺序是否会影响插值结果等。
4.结合专业需求，注重实践教学和应用研究。计算方法是一门普适性课程，适用于很多专业。鉴于本课程的授课对象主要是地质类和地球物理类专业学生，在课程讲解过程中，结合专业需求和特点，指导学生利用计算方法的知识解决本专业的一些应用问题：如利用线性方程组直接/迭代解法求解地震走时反演中的射线层析成像问题、静电场中泊松/拉普拉斯方程的求解问题，运用插值和拟合方法求解地质学中一些观测数据的关系曲线等，使学生在学以致用的过程中增强对课程内容的学习兴趣和学习效果。此外，在理论教学的同时注重实践教学，针对每一种方法，指导学生利用编程软件具体编程实现，学生在编程的过程中自然发现并解决问题，从而加深了对方法的认知程度。学生在实践过程中与理论知识相印证，发现问题并解决问题，对课程内容的认知程度大大加深。通过理论教学和上机实践的结合，书本内容和专业应用的结合，不仅增强了课程的趣味性和学生的学习兴趣，更可夯实学生的学习效果。
三、结论
数值计算方法是一门理论性、技术性和实践性都很强的课程，包含方法众多、方法名称容易混淆、数学推导较多，学生在有限的时间内很难得到较好的学习效果。为增强课程的趣味性，使学生在较短的时间内掌握众多的方法并学以致用，笔者在多年的教学实践中进行了一系列的教学改革：利用Matlab软件具化方法原理及图形，增强直观感性认知。数图结合让学生从不同的角度理解同一问题，增强学习兴趣和对课程内容的理解程度；多媒体教学、板书教学、Matlab软件实时编程演示相结合，保证教学节奏的张弛有度，掌握学生的学习节奏，在增强课程趣味性的同时提高教学效果；提出启发式问题，引导学生主动思考。启发式教学可充分调动学生的主观能动性，从学习的被动接受者变成主动思考者甚至问题的解决者，夯实学习效果；结合专业需求，注重实践教学和应用研究。通过理论教学和上机实践的结合、书本内容和专业应用的结合，提升课程的趣味性，增强学生的学习兴趣，夯实学生的学习效果。一系列改革措施在教学实践中获得了较好的效果。
参考文献：
[1]李林，金先级.数值计算方法[M].高等教育出版社，2006.
[2]马尔东，董宁.数值计算方法[M].机械工业出版社，2016.
[3]张池平.计算方法[M].科学出版社，2006.
关键词：数值计算方法；教学改革；实践教学
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）23-0122-02
一、引言
数值计算方法是一门理论性、技术性和实践性都很强的课程，包括非线性方程求根、插值方法与曲线拟合方法、数值积分、常微分方程的数值解法、线性方程组的数值解法等内容，在科学研究和工程實践中具有广泛的应用。课程具有如下特点：包含方法众多。如非线性方程求根方法包括二分搜索法、一般迭代法、Newton迭代法、Newton下山法、弦截法等，插值方法包括Lagrange插值、Aitken逐次插值、分段插值、Newton插值、Hermite插值等，矩阵的三角分解包括Doolittle、Crout及Cholesky等方法。学生在有限的时间内很难掌握这众多的方法；方法名称容易混淆。如Newton这一名称在非线性方程求根、多项式插值中均有出现，数值积分中又出现类似的名称Newton-Cotes求积公式。在插值方法中有高次插值的Runge现象，在数值积分中有Romberg积分法，在常微分方程的数值解法中有Runge-Kutta方法。这些方法名称的相似性使学生记忆过程中容易混淆，影响学习效果；数学推导较多，理论性较强。讲解过程中众多定理的推导和证明涉及较多的数学知识，内容抽象，理论性较强，易使学生感觉枯燥，丧失学习兴趣。如上所述众多问题影响了学生的学习效果，很多学者对此进行了有益的探讨。为增强课程的趣味性，使学生在较短的时间内掌握众多的方法并学以致用，笔者在多年的教学实践中也进行了一系列的教学改革。
二、增强《计算方法》课程趣味性的教学改革与实践
1.利用Matlab软件具化方法原理及图形，增强直观感性认知。计算方法课程的学习涉及到很多数学推导，学习难免枯燥。因此在各种方法的学习过程中，通过Matlab软件强大的图形显示功能具象化方法实现的过程和意义，增强学生的直观感性认识和对课程内容的理解程度。如在二分法非线性求根过程中，利用Matlab画图表示曲线的形态、各次迭代的区间中点坐标。在牛顿法非线性求根过程中，利用Matlab画图显示每次迭代时的切线方向，比较不同迭代步时切线的解向真解的逼近过程。在一般迭代法中，针对不同的迭代格式利用Matlab展示不同迭代步的解及其收敛或发散特征。在讲解Runge现象时，指导学生针对特定示例绘出等距节点和不等距节点时不同插值次数的多项式插值曲线的图形，与原函数对比进行解析。在数值求积部分，利用Matlab软件显示矩形、梯形、Simpson及Cotes型求积曲线与待求积函数进行精度对比。讲述罗朗定理时利用Matlab软件绘出图形讲述函数的极值点个数与其导数的极值点个数之间的关系。Matlab软件绘制出的直观图形，让抽象的理论内容有了可视性。理论内容的抽象性与绘图结果的直观性两种不同的方式相结合，让学生从不同的角度理解同一问题，即增强学生的学习兴趣，又增强对课程内容的理解程度。
2.多媒体教学、板书教学、Matlab软件实时编程演示相结合，控制教学节奏。上课时让学生紧跟老师讲解的节奏不是一件容易的事，若学生在某一步骤没有听懂，则后续的课程内容便完全不知所云。授课的目的不是老师讲清楚了，而是学生跟上节奏听明白了。因此在课堂授课的过程中要注意节奏的变化，留给学生思考的空间。目前常用的多媒体教学的优点是美观便捷，利于图形展示，但每张PPT篇幅有限，只适合张贴提纲挈领式内容，数学推导部分利用PPT讲解易讲解速度过快，不利于给学生留出思考的空间跟上课程节奏。因此，在多媒体教学的基础上，结合传统的板书教学，二者互相穿插。板书教学让学生跟随老师的粉笔，和老师一起思考，逐步递进了解每一数学步骤的推导过程。多媒体教学展示课程的内容纲要、优美图件及重要结论，更能使学生抓住学习的重点。二者的切换避免了教学形式的单一，更利于提高学生的专注程度。同时，针对一些方法得出的数学公式以及结论，老师利用Matlab软件实时进行编程演示，给出直观的绘图结果，避免单纯讲述公式和结论的空洞性。多媒体教学、板书教学、Matlab软件实时编程演示三种教学方式相结合，保证教学节奏的张弛有度，有效引领学生的学习节奏，在增强课程趣味性的同时提高教学效果。
3.提出启发式问题，引导学生主动思考。启发式问题可大大促进学生进行主动思考，学习效率事半功倍。在各部分内容讲述前，给出启发式问题让学生进行预习，预习过程中注意寻找问题的答案，在课堂授课时学生在遇到相关问题时也会精力集中。如在复化求积法讲解前启发学生思考Newton-cotes型低阶和高阶求积公式存在的问题并由此引入为什么要进行复化求积计算，在Aitken插值法和Newton插值法讲解前启发学生思考lagrange插值法的缺点及两种方法不同的解决方案；在内容讲述后，给出启发式问题让学生进行拓展式思考。如在数值求积部分利用待定系数法求取求积系数时，让学生思考如果设f（x）=x2，x3，让精确求积公式与近似求积公式结果相等时求取的求积系数是否合理及其原因。在牛顿插值法讲解时启发学生比较第一种差商格式和第二种差商格式得到的差商系数是否相同，调换插值节点顺序是否会影响插值结果等。
4.结合专业需求，注重实践教学和应用研究。计算方法是一门普适性课程，适用于很多专业。鉴于本课程的授课对象主要是地质类和地球物理类专业学生，在课程讲解过程中，结合专业需求和特点，指导学生利用计算方法的知识解决本专业的一些应用问题：如利用线性方程组直接/迭代解法求解地震走时反演中的射线层析成像问题、静电场中泊松/拉普拉斯方程的求解问题，运用插值和拟合方法求解地质学中一些观测数据的关系曲线等，使学生在学以致用的过程中增强对课程内容的学习兴趣和学习效果。此外，在理论教学的同时注重实践教学，针对每一种方法，指导学生利用编程软件具体编程实现，学生在编程的过程中自然发现并解决问题，从而加深了对方法的认知程度。学生在实践过程中与理论知识相印证，发现问题并解决问题，对课程内容的认知程度大大加深。通过理论教学和上机实践的结合，书本内容和专业应用的结合，不仅增强了课程的趣味性和学生的学习兴趣，更可夯实学生的学习效果。
三、结论
数值计算方法是一门理论性、技术性和实践性都很强的课程，包含方法众多、方法名称容易混淆、数学推导较多，学生在有限的时间内很难得到较好的学习效果。为增强课程的趣味性，使学生在较短的时间内掌握众多的方法并学以致用，笔者在多年的教学实践中进行了一系列的教学改革：利用Matlab软件具化方法原理及图形，增强直观感性认知。数图结合让学生从不同的角度理解同一问题，增强学习兴趣和对课程内容的理解程度；多媒体教学、板书教学、Matlab软件实时编程演示相结合，保证教学节奏的张弛有度，掌握学生的学习节奏，在增强课程趣味性的同时提高教学效果；提出启发式问题，引导学生主动思考。启发式教学可充分调动学生的主观能动性，从学习的被动接受者变成主动思考者甚至问题的解决者，夯实学习效果；结合专业需求，注重实践教学和应用研究。通过理论教学和上机实践的结合、书本内容和专业应用的结合，提升课程的趣味性，增强学生的学习兴趣，夯实学生的学习效果。一系列改革措施在教学实践中获得了较好的效果。
参考文献：
[1]李林，金先级.数值计算方法[M].高等教育出版社，2006.
[2]马尔东，董宁.数值计算方法[M].机械工业出版社，2016.
[3]张池平.计算方法[M].科学出版社，2006.