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【摘 要】数学思想的根本就是让学生了解数学理论，认识数学本质，让学生通过对数学思想的掌握去更好的学习数学。通过实践证明，将数学思想应用到数学教学中去对于学生学习质量的提高也有显著帮助。本文将就将数学思想应用在数学教育中的实际意义做简单阐述。
【关键词】数学思想 数学教育 教育思想
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.10.017
数学思想这一名词即使是在今天的数学教程里仍不多见，但无论是从小学的加减乘除、初中的三元一次方程，亦或是高中时的函数或者高等数学中的微积分，数学思想其实一直都在被教育者有意无意的灌输给学生，在潜移默化间对学生学习数学产生一定影响。但在教育初期这些数学思想还很难明确，而随着教育的不斷加深，这些定义又开始出现出现混淆。其实较为常见的数学思想共有四类：函数与方程、转化与化归、分类讨论，数形结合。本文将就这四类数学思想做逐一阐述。
一、函数与方程
函数思想是指用函数的概念去分析、化解，最终解决问题。其特点是通过对于问题中数学特性的观察、研究，在其中建立函数关系，再通过对其中的联系与变化的规律，得出最终答案。学生最早接触函数是初中时期的三角函数。三角函数是函数中较为基础也十分具有代表性的一门学科，其常量数字极易计算，如正弦（sin）等于对边比斜边；余弦（cos）等于邻边比斜边；正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边。且其常量间的关系也极易确定，如tanα·cotα=1；sinα·cscα=1；cosα·secα=1；sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α。而且其题型变化，求解方式都极为有限，并不能算是一门难学的学科。但即使这样有些学生还是不能很好的去理解函数是怎么一回事，甚至有些学生在将函数当做方程来解。
方程思想是从问题的关系量中将问题中的条件转化为方程式（方程、不等式，以及两者的混合组），然后再由关系量中的变化求解。方程与函数不同，其难点并不在于解题的过程，更多的是在于方程的确立。只有正确的方程式才能得出正确的答案。
二、转化与化归
转化与化归严格来说是属于同一概念的两个部分，转化是将题中未知（或不同）的量转化为已知（或单一）的量，化归则是将转化完的算式进行简化与归类，从而使解更容易得出。这一概念，在初中教材里的二元一次方程已有所体现。
以①3x+2y=7；②5x-2y=1为例。
当遇到类似这样的题，首先应做的便是转化，将其中一个变量转化为另一个变量。
解：
由5x-2y=1得，2y=5x-1，
将其代入算式：3x+2y=7，则可转化为：3x+5x-1=7，x=1。
再将x=1代入3x+2y=7中，则y=2。
在题中可以看出，x、y是两个未知的量，但通过已知条件来进行计算，则可以使两个未知的量转变为一个，再通过与已知量的计算，则可求出其中一个未知量的值。其实这就是一个转化与化归的过程，这道例题虽然较为简单，但却很好的说明了转化与化归的关系。只要理解了什么是转化，什么是化归，即使题型变得再怎么复杂，求解也不过只是时间问题而已。
三、分类讨论
分类讨论思想是指当问题结论并非唯一，或有些问题结论无法统一时，则要根基问题的特点及要求，将其分成几类小问题再逐一解决。分类讨论主要分为概念醒，及问题涉及到的概念是需将定义分类的。例如|a|中，a值在不同大小的情况下，其定义也会随之发生改变；性质型，如当问题中的定理、公式以及运算性质被限制条件或范围，或者其根本是分类提出时，如等比数列的前n项和的公式，则需q=1或q≠1两种情况；含参型。当题目的解中含有参数时，则需根据参数的取值范围来进行讨论，例如不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。对于学生而言，解一道需分类讨论的题目几乎等同于同时解多道题目，且题目之间又存在着相互影响的关系，所以在解此类题型时应注意这几大原则：将需分类的每一个部分独立化；分类时应统一标准；不可越级讨论。例如在解有关x的方程（a-1）x2-2ax+a=0时，则应考虑（a-1）在不同情况下的解法，若（a-1）=0，则说明a=1，反之则a≠1，然后根据这两种情况分别进行就算。
以学生而言，在掌握此类方法的初期，其难点在于如何确定讨论的关键点。以上一题为例，有些学生甚至会将x确定为变量，通过x去求a的值。要避免这种情况，应首先明确要求的值是什么，然后在题中寻找到会直接影响所求值的结果的因素，那就是讨论关键点。
四、数形结合
数形结合思想的本质就是根据数与形的对应关系，如实数与数轴、曲线与方程。再通过数与形之间的相互转化来实现对数学问题的的解决。该种思想的优点在于能将抽象的数学定义直观化，可以通过数与形之间关系的确立，让学生更明确的知道定量与变量、已知与未知之间的关系。
例题：a、b、x、y都是实数，且a2+b2=1，x2+y2=1。求证：ax+by≤1。
这时则可通过数形结合思想来进行解题。
首先，作直径AB=1的圆，在AB两边任意作Rt△ACB和Rt三角形ADB，使AC=a，BC=b，BD=x，AD=y。接下来便能可通过勾股定理以及托勒密定力来求证。
数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”。但与纯代数不同，数形结合除了需要严谨的逻辑之外还需要学生有立体思考能力，能这种能力的培养，更多的则是依赖于教育者的指导方法。
结束语：数学思想对于数学教学所起到的作用是巨大的，而其应用到教学中的关键除了学生自身原因，更多则依赖于教育者的有效引导。数学是一门需要很好的逻辑性才能真正理解的学科，而当学生不具备这种逻辑能力的时候，身为教育者不应将学生放在一边，不闻不问，而是要加以有效地引导。正所谓：有教无类。
参考文献
[1]蔡上数.数学思想和数学方法[J].中学数学，2009（01）
[2]王光明，张文德.中学数学思想方法及其教学[J].数学教学研究，2010（12）
[3]沈文轩.数学思想方法教学研究成果[J].数学通报，2012（02）
【关键词】数学思想 数学教育 教育思想
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.10.017
数学思想这一名词即使是在今天的数学教程里仍不多见，但无论是从小学的加减乘除、初中的三元一次方程，亦或是高中时的函数或者高等数学中的微积分，数学思想其实一直都在被教育者有意无意的灌输给学生，在潜移默化间对学生学习数学产生一定影响。但在教育初期这些数学思想还很难明确，而随着教育的不斷加深，这些定义又开始出现出现混淆。其实较为常见的数学思想共有四类：函数与方程、转化与化归、分类讨论，数形结合。本文将就这四类数学思想做逐一阐述。
一、函数与方程
函数思想是指用函数的概念去分析、化解，最终解决问题。其特点是通过对于问题中数学特性的观察、研究，在其中建立函数关系，再通过对其中的联系与变化的规律，得出最终答案。学生最早接触函数是初中时期的三角函数。三角函数是函数中较为基础也十分具有代表性的一门学科，其常量数字极易计算，如正弦（sin）等于对边比斜边；余弦（cos）等于邻边比斜边；正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边。且其常量间的关系也极易确定，如tanα·cotα=1；sinα·cscα=1；cosα·secα=1；sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α。而且其题型变化，求解方式都极为有限，并不能算是一门难学的学科。但即使这样有些学生还是不能很好的去理解函数是怎么一回事，甚至有些学生在将函数当做方程来解。
方程思想是从问题的关系量中将问题中的条件转化为方程式（方程、不等式，以及两者的混合组），然后再由关系量中的变化求解。方程与函数不同，其难点并不在于解题的过程，更多的是在于方程的确立。只有正确的方程式才能得出正确的答案。
二、转化与化归
转化与化归严格来说是属于同一概念的两个部分，转化是将题中未知（或不同）的量转化为已知（或单一）的量，化归则是将转化完的算式进行简化与归类，从而使解更容易得出。这一概念，在初中教材里的二元一次方程已有所体现。
以①3x+2y=7；②5x-2y=1为例。
当遇到类似这样的题，首先应做的便是转化，将其中一个变量转化为另一个变量。
解：
由5x-2y=1得，2y=5x-1，
将其代入算式：3x+2y=7，则可转化为：3x+5x-1=7，x=1。
再将x=1代入3x+2y=7中，则y=2。
在题中可以看出，x、y是两个未知的量，但通过已知条件来进行计算，则可以使两个未知的量转变为一个，再通过与已知量的计算，则可求出其中一个未知量的值。其实这就是一个转化与化归的过程，这道例题虽然较为简单，但却很好的说明了转化与化归的关系。只要理解了什么是转化，什么是化归，即使题型变得再怎么复杂，求解也不过只是时间问题而已。
三、分类讨论
分类讨论思想是指当问题结论并非唯一，或有些问题结论无法统一时，则要根基问题的特点及要求，将其分成几类小问题再逐一解决。分类讨论主要分为概念醒，及问题涉及到的概念是需将定义分类的。例如|a|中，a值在不同大小的情况下，其定义也会随之发生改变；性质型，如当问题中的定理、公式以及运算性质被限制条件或范围，或者其根本是分类提出时，如等比数列的前n项和的公式，则需q=1或q≠1两种情况；含参型。当题目的解中含有参数时，则需根据参数的取值范围来进行讨论，例如不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。对于学生而言，解一道需分类讨论的题目几乎等同于同时解多道题目，且题目之间又存在着相互影响的关系，所以在解此类题型时应注意这几大原则：将需分类的每一个部分独立化；分类时应统一标准；不可越级讨论。例如在解有关x的方程（a-1）x2-2ax+a=0时，则应考虑（a-1）在不同情况下的解法，若（a-1）=0，则说明a=1，反之则a≠1，然后根据这两种情况分别进行就算。
以学生而言，在掌握此类方法的初期，其难点在于如何确定讨论的关键点。以上一题为例，有些学生甚至会将x确定为变量，通过x去求a的值。要避免这种情况，应首先明确要求的值是什么，然后在题中寻找到会直接影响所求值的结果的因素，那就是讨论关键点。
四、数形结合
数形结合思想的本质就是根据数与形的对应关系，如实数与数轴、曲线与方程。再通过数与形之间的相互转化来实现对数学问题的的解决。该种思想的优点在于能将抽象的数学定义直观化，可以通过数与形之间关系的确立，让学生更明确的知道定量与变量、已知与未知之间的关系。
例题：a、b、x、y都是实数，且a2+b2=1，x2+y2=1。求证：ax+by≤1。
这时则可通过数形结合思想来进行解题。
首先，作直径AB=1的圆，在AB两边任意作Rt△ACB和Rt三角形ADB，使AC=a，BC=b，BD=x，AD=y。接下来便能可通过勾股定理以及托勒密定力来求证。
数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”。但与纯代数不同，数形结合除了需要严谨的逻辑之外还需要学生有立体思考能力，能这种能力的培养，更多的则是依赖于教育者的指导方法。
结束语：数学思想对于数学教学所起到的作用是巨大的，而其应用到教学中的关键除了学生自身原因，更多则依赖于教育者的有效引导。数学是一门需要很好的逻辑性才能真正理解的学科，而当学生不具备这种逻辑能力的时候，身为教育者不应将学生放在一边，不闻不问，而是要加以有效地引导。正所谓：有教无类。
参考文献
[1]蔡上数.数学思想和数学方法[J].中学数学，2009（01）
[2]王光明，张文德.中学数学思想方法及其教学[J].数学教学研究，2010（12）
[3]沈文轩.数学思想方法教学研究成果[J].数学通报，2012（02）