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一、引言
十年前，我曾执教过“圆的认识”一课
（以下简称旧案），受到听课教师的一致好
评，当时颇为得意；十年后的今天，我按照新的理念又一次上这节课（以下简称新案）。我对二者进行了对比，发现不少值得思考的问题。为了便于阐述自己的观点，下面将两次的教学简案呈现如下：
二、旧案与新案
教学目标：
[旧案]
1.使学生正确地认识圆，能说出圆的各部分名称及相互关系。
2.会用圆规画圆。
3.培养初步的空间观念和空间想象能力。
[新案]
1.在想象与验证、观察与分析、动手操作、合作交流等活动中认识圆，初步掌握圆的特征。
2.在开放式画圆的情境中，渗透圆的特征，并会用圆规画圆。
3.在问题解决的过程中，不断探求事物的本质特征和事物的合理性；发展学生初步的空间观念。
4.让学生体验圆的文化特性，感受数学美。
引入部分：
[旧案]
1.师示范表演甩动着连细绳的一个小球问：你们看，老师手中的小球甩出了一个什么图形？
2.投影出示长方形、正方形、平行四边形等学过的平面图形，问：这些图形有什么共同特点？
3.引思：圆与上面这些图形有什么区别？
[新案]
老师这儿有一本儿童故事书，谁先抢到它，我就把它赠给这位同学，那么你认为应该怎样站才是公平的呢？为什么要站成圆形呢？
展开部分：
[新案]
3.画圆。（1）以小组为单位，利用手中的工具和材料画圆。①提供材料。②小组交流，想出更多的画圆方法。③展示。（2）用圆规画圆。
学生自己尝试画一个圆，展示学生作品，引导学生说出画圆的体会并讨论：①画圆的步骤有哪些？②画圆时要注意什么？
（3）生活中的画圆。如果要在操场上画一个圆，有什么办法？
2.通过自学，认识半径、直径、圆心等概念。
3.探究圆的特征。
（1）引思：以前研究长方形等平面图形用什么方法？（折、量、画、比）我们也用这些方法来研究圆。
（2）取出圆片、直尺、圆规等工具，用自己喜欢的方法来探究，并将研究的成果记录在“研究发现单”上，在小组内交流。
（3）汇报：各小组展示自己的研究成果。
（4）整理：师生共同完善半径、直径的特征，概括半径与直径的关系。
（5）让学生尝试在圆形纸片上画出圆的半径（交流画法）。
（6）画一个直径是6厘米的圆。
（7）讨论学生所画圆的大小和位置。
练习部分：
[旧案]
1.基本训练。
（1）填表：
（2）判断：
①两端都在圆上的线段，叫直径。（ ）
②直径是半径长度的2倍。（ ）
③画一个圆，圆规两脚间的距离是半径的长度。（ ）
2.变式练习。看到了什么条件，你想到什么？
3.思考练习。自行车车轮为什么要设计成圆形的？车轴装在什么位置上？
[新案]
1.估测（连线）。
r=4米 茶杯口
d=2.4厘米 自行车
r=0.4分米 手表表面
d=70厘米 花坛
2.想象。
（1）动画演示：正方形不断地切割成圆形。现在，如果告诉你正方形的边长是8厘米，你能获得关于圆的哪些信息？（2）出示阴阳太极图：它是由一个大圆和两个同样大的小圆组合而成，如果小圆的半径是3厘米，你又能知道什么？（3）一个圆形物体的面的半径是15厘米，你能想象出是什么物体吗？
3.实践。如果你手上有一个圆，现在需要得到这个圆的一半，你可能会用什么方法来解决？能说出理由吗？
4.欣赏。生活中的圆形建筑，中国民间的圆形中国结、传统的圆形剪纸、世界著名的圆形标志设计，自然现象中呈现的美丽圆形图案。
三、对比与反思
10年前，我是这样设计教案的：复习，为传授新知准备；导入，引起学生对新知的注意；新授，讲解新知识，让学生理解、接受；练习，进行习题的操练，以巩固新知；小结，归纳知识要点，以突出重点。这样的教案及相应的教学，是出于我最初对教学的理解：数学教学就是要把数学知识传授给学生，教学活动就是教师“教”、学生“学”，即：我讲你听，我问你答，我出题你解答。这样的课堂教学中，学生整天处于被动应付、机械训练、死记硬背、简单重复之中，很难用自己的眼睛去观察、用自己的心灵去感悟、用自己的头脑去判断、用自己的语言去表达，怎能成为一个独立的自我、成为有创新精神和实践能力的建设者？我感慨以前的教学预设得太多，严重束缚学生的思维，阻碍其发展；我呼唤开放式的数学课堂，因为开放的课堂才会具有生成性，才是充满生命气息和活力的。基于这样的认识，我试图对本课的教学思路进行重新调整：一方面，通过拓展空间，将学生进一步置身于探究者的角色，引导学生在认识了圆的一些基本概念后，自主展开对于圆的特征的发现，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，我又将自然、社会、历史、数学等各个领域中的“圆”有意义地进行整合，充分放大圆的内涵的文化特性，将“冰冷的美丽”转化为学生“火热的思考”。
1.教学目标对比反思。前者注重基础知识与基本技能的目标要求，但经过了这样的教学活动后，学生除了理解圆心、半径和直径的概念外，还能得到些什么，恐怕是微乎其微的！我认为学生的能力、态度等是在获取数学知识的活动过程中得以培养和提高的。为此，在新案中我充分尊重每个学生，相信每个学生，让每个学生在亲历的过程中自主建构知识，体悟数学思想方法，体验自主学习的成功愉悦，实现知识技能、数学思考、问题解决、情感态度和谐统一的整体目标。 2.引入部分对比反思。前后两次教学，我都努力让学生在现实的情境中体验和理解数学，前者的情境，用甩动的小球吸引学生的注意力，有利于学生从动态中感知圆，接着从已学的平面图形引入圆，有利于掌握概念。但是，这种情境基本上是从教材知识体系和教师的主观愿望出发的，在这样的情境中，学生的智力活动并没有受到应有的挑战。我一直在思考：为什么要学习圆的认识？认识圆与我们有什么关系？怎样让圆与学生的生活实际更加贴近？引入新知对学生更具智力的挑战性吗？出于这样的考虑，我创设了新案中的问题情境，对学生来说具有一定的挑战性。在强烈的求知欲的驱动下，学生凭借生活经验，发挥自己的空间想象力，自然形成站成圆形的观念，并且从直觉上解释了为什么要站成圆形。在这一过程中，学生不仅获得圆的感性认识，而且有机渗透了圆心、半径、半径都相等的知识，更重要的是学生的创新思维得到了锻炼。
3.展开部分对比反思。10年前的教学中，对于圆的特征的认识，我沿袭传统的小步子教学，即在亦步亦趋的“师生问答”中展开，学生在折纸找圆心、认识半径和直径到发现直径和半径的关系，虽然学生也有发现和思考的成分，但是教师主导的痕迹十分明显。在这样的设计中，问题的答案基本在教师的意料之中，学生不敢也不会越雷池半步。而现在，我将诸多细小的认知活动统整在一个综合性、探究性的数学研究活动中，通过学生的自主探索、合作交流、共同分享等，引领学生经历了一次“研究与发现”的完整过程。这是基于对学生已有经验的正确认识和恰当把握，教师在充分相信学生潜能的基础上做出的决策。这一环节的设计，既实现了探究过程的开放性，又突出了师生间、学生间的多向交流与合作，为学生全面参与学习活动创造了更多的机会。可见，只有充分认识到学生已有经验的重要性，才能设计好探究活动，实现有效的探究和互动。
4.练习部分对比反思。旧案中，我设计多层次、多角度的习题，以巩固圆的概念，让学生在应用中形成有关圆的知识和技能。可是，这种只需重复所学知识即可解决问题的“制作标准件”的练习，妨碍学生思维的发展，不利于学生创新能力的培养。新案中，我并没有机械地进行所谓的习题练习，而是更进一步彰显圆的文化内涵：《周髀算经》所载“圆出于方，方出于矩”；中国古代的阴阳太极图；中国传统的圆形剪纸，世界著名的圆形标志等等。在丰富多彩的数学学习中，努力使圆所具有的文化特性浸润于学生的心田。此外，我还引入了估测、想象等活动，丰富学生的表象，发展学生的空间想象能力，增进了学生数学学习的积极情感。
四、问题与思考
教师的专业成长更多的是来自于对课堂深层次的理性的思考和把握，要使教师能从课堂教学的必然王国走向自由王国，最有意义的方法是通过一个又一个教学案例的研究和积累，来促使教师的专业化发展，提升教师专业化的水平。
1.教师在不断的反思中成长。教师应该学会反思，即学会以自己的教学活动为思考对象，对个人的教学思想、教学观念和方法以及由此产生的教学效果进行审视和分析，以求进一步探究和改进教学方法。教师对自己的教学行为加以省察，并探求贴切的改进方案，这是促进教师成长最直接、最适宜的方式。可见，教师专业成长最需要的是学会反思。
2.教师在不断的“磨课”中成长。促进教师专业化成长的因素固然很多，但课堂实践依然是教师成长的主阵地。一堂关键的课往往会影响一个教师的专业化成长，教师如果能在反复实践中不断地感悟，不断地反思，不断地积累，就能提高自己的业务水平和教学能力，从而在“磨课”中成长起来。
一个高明的医生必定积累不少的病例及其医疗方案，一个好的律师必定收集一定数量的典型案例，一个优秀的教师也是在积累了大量的典型案例中“优秀”起来。案例研究既是一种研究方式，更应成为教师的一种生活方式，一种职业生活乃至专业生活方式。在这种生活方式中，教师发展着自己的理性，成为自己的主人，而不是盲目重复过去已有的经验。近几年我一直在进行的，就是“实践、反思、再实践、再反思”的案例研究，撰写了100多篇教学案例与反思，我最深的体会是：“实践、反思、再实践、再反思”是教师专业成长的有效途径。
十年前，我曾执教过“圆的认识”一课
（以下简称旧案），受到听课教师的一致好
评，当时颇为得意；十年后的今天，我按照新的理念又一次上这节课（以下简称新案）。我对二者进行了对比，发现不少值得思考的问题。为了便于阐述自己的观点，下面将两次的教学简案呈现如下：
二、旧案与新案
教学目标：
[旧案]
1.使学生正确地认识圆，能说出圆的各部分名称及相互关系。
2.会用圆规画圆。
3.培养初步的空间观念和空间想象能力。
[新案]
1.在想象与验证、观察与分析、动手操作、合作交流等活动中认识圆，初步掌握圆的特征。
2.在开放式画圆的情境中，渗透圆的特征，并会用圆规画圆。
3.在问题解决的过程中，不断探求事物的本质特征和事物的合理性；发展学生初步的空间观念。
4.让学生体验圆的文化特性，感受数学美。
引入部分：
[旧案]
1.师示范表演甩动着连细绳的一个小球问：你们看，老师手中的小球甩出了一个什么图形？
2.投影出示长方形、正方形、平行四边形等学过的平面图形，问：这些图形有什么共同特点？
3.引思：圆与上面这些图形有什么区别？
[新案]
老师这儿有一本儿童故事书，谁先抢到它，我就把它赠给这位同学，那么你认为应该怎样站才是公平的呢？为什么要站成圆形呢？
展开部分：
[新案]
3.画圆。（1）以小组为单位，利用手中的工具和材料画圆。①提供材料。②小组交流，想出更多的画圆方法。③展示。（2）用圆规画圆。
学生自己尝试画一个圆，展示学生作品，引导学生说出画圆的体会并讨论：①画圆的步骤有哪些？②画圆时要注意什么？
（3）生活中的画圆。如果要在操场上画一个圆，有什么办法？
2.通过自学，认识半径、直径、圆心等概念。
3.探究圆的特征。
（1）引思：以前研究长方形等平面图形用什么方法？（折、量、画、比）我们也用这些方法来研究圆。
（2）取出圆片、直尺、圆规等工具，用自己喜欢的方法来探究，并将研究的成果记录在“研究发现单”上，在小组内交流。
（3）汇报：各小组展示自己的研究成果。
（4）整理：师生共同完善半径、直径的特征，概括半径与直径的关系。
（5）让学生尝试在圆形纸片上画出圆的半径（交流画法）。
（6）画一个直径是6厘米的圆。
（7）讨论学生所画圆的大小和位置。
练习部分：
[旧案]
1.基本训练。
（1）填表：
（2）判断：
①两端都在圆上的线段，叫直径。（ ）
②直径是半径长度的2倍。（ ）
③画一个圆，圆规两脚间的距离是半径的长度。（ ）
2.变式练习。看到了什么条件，你想到什么？
3.思考练习。自行车车轮为什么要设计成圆形的？车轴装在什么位置上？
[新案]
1.估测（连线）。
r=4米 茶杯口
d=2.4厘米 自行车
r=0.4分米 手表表面
d=70厘米 花坛
2.想象。
（1）动画演示：正方形不断地切割成圆形。现在，如果告诉你正方形的边长是8厘米，你能获得关于圆的哪些信息？（2）出示阴阳太极图：它是由一个大圆和两个同样大的小圆组合而成，如果小圆的半径是3厘米，你又能知道什么？（3）一个圆形物体的面的半径是15厘米，你能想象出是什么物体吗？
3.实践。如果你手上有一个圆，现在需要得到这个圆的一半，你可能会用什么方法来解决？能说出理由吗？
4.欣赏。生活中的圆形建筑，中国民间的圆形中国结、传统的圆形剪纸、世界著名的圆形标志设计，自然现象中呈现的美丽圆形图案。
三、对比与反思
10年前，我是这样设计教案的：复习，为传授新知准备；导入，引起学生对新知的注意；新授，讲解新知识，让学生理解、接受；练习，进行习题的操练，以巩固新知；小结，归纳知识要点，以突出重点。这样的教案及相应的教学，是出于我最初对教学的理解：数学教学就是要把数学知识传授给学生，教学活动就是教师“教”、学生“学”，即：我讲你听，我问你答，我出题你解答。这样的课堂教学中，学生整天处于被动应付、机械训练、死记硬背、简单重复之中，很难用自己的眼睛去观察、用自己的心灵去感悟、用自己的头脑去判断、用自己的语言去表达，怎能成为一个独立的自我、成为有创新精神和实践能力的建设者？我感慨以前的教学预设得太多，严重束缚学生的思维，阻碍其发展；我呼唤开放式的数学课堂，因为开放的课堂才会具有生成性，才是充满生命气息和活力的。基于这样的认识，我试图对本课的教学思路进行重新调整：一方面，通过拓展空间，将学生进一步置身于探究者的角色，引导学生在认识了圆的一些基本概念后，自主展开对于圆的特征的发现，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，我又将自然、社会、历史、数学等各个领域中的“圆”有意义地进行整合，充分放大圆的内涵的文化特性，将“冰冷的美丽”转化为学生“火热的思考”。
1.教学目标对比反思。前者注重基础知识与基本技能的目标要求，但经过了这样的教学活动后，学生除了理解圆心、半径和直径的概念外，还能得到些什么，恐怕是微乎其微的！我认为学生的能力、态度等是在获取数学知识的活动过程中得以培养和提高的。为此，在新案中我充分尊重每个学生，相信每个学生，让每个学生在亲历的过程中自主建构知识，体悟数学思想方法，体验自主学习的成功愉悦，实现知识技能、数学思考、问题解决、情感态度和谐统一的整体目标。 2.引入部分对比反思。前后两次教学，我都努力让学生在现实的情境中体验和理解数学，前者的情境，用甩动的小球吸引学生的注意力，有利于学生从动态中感知圆，接着从已学的平面图形引入圆，有利于掌握概念。但是，这种情境基本上是从教材知识体系和教师的主观愿望出发的，在这样的情境中，学生的智力活动并没有受到应有的挑战。我一直在思考：为什么要学习圆的认识？认识圆与我们有什么关系？怎样让圆与学生的生活实际更加贴近？引入新知对学生更具智力的挑战性吗？出于这样的考虑，我创设了新案中的问题情境，对学生来说具有一定的挑战性。在强烈的求知欲的驱动下，学生凭借生活经验，发挥自己的空间想象力，自然形成站成圆形的观念，并且从直觉上解释了为什么要站成圆形。在这一过程中，学生不仅获得圆的感性认识，而且有机渗透了圆心、半径、半径都相等的知识，更重要的是学生的创新思维得到了锻炼。
3.展开部分对比反思。10年前的教学中，对于圆的特征的认识，我沿袭传统的小步子教学，即在亦步亦趋的“师生问答”中展开，学生在折纸找圆心、认识半径和直径到发现直径和半径的关系，虽然学生也有发现和思考的成分，但是教师主导的痕迹十分明显。在这样的设计中，问题的答案基本在教师的意料之中，学生不敢也不会越雷池半步。而现在，我将诸多细小的认知活动统整在一个综合性、探究性的数学研究活动中，通过学生的自主探索、合作交流、共同分享等，引领学生经历了一次“研究与发现”的完整过程。这是基于对学生已有经验的正确认识和恰当把握，教师在充分相信学生潜能的基础上做出的决策。这一环节的设计，既实现了探究过程的开放性，又突出了师生间、学生间的多向交流与合作，为学生全面参与学习活动创造了更多的机会。可见，只有充分认识到学生已有经验的重要性，才能设计好探究活动，实现有效的探究和互动。
4.练习部分对比反思。旧案中，我设计多层次、多角度的习题，以巩固圆的概念，让学生在应用中形成有关圆的知识和技能。可是，这种只需重复所学知识即可解决问题的“制作标准件”的练习，妨碍学生思维的发展，不利于学生创新能力的培养。新案中，我并没有机械地进行所谓的习题练习，而是更进一步彰显圆的文化内涵：《周髀算经》所载“圆出于方，方出于矩”；中国古代的阴阳太极图；中国传统的圆形剪纸，世界著名的圆形标志等等。在丰富多彩的数学学习中，努力使圆所具有的文化特性浸润于学生的心田。此外，我还引入了估测、想象等活动，丰富学生的表象，发展学生的空间想象能力，增进了学生数学学习的积极情感。
四、问题与思考
教师的专业成长更多的是来自于对课堂深层次的理性的思考和把握，要使教师能从课堂教学的必然王国走向自由王国，最有意义的方法是通过一个又一个教学案例的研究和积累，来促使教师的专业化发展，提升教师专业化的水平。
1.教师在不断的反思中成长。教师应该学会反思，即学会以自己的教学活动为思考对象，对个人的教学思想、教学观念和方法以及由此产生的教学效果进行审视和分析，以求进一步探究和改进教学方法。教师对自己的教学行为加以省察，并探求贴切的改进方案，这是促进教师成长最直接、最适宜的方式。可见，教师专业成长最需要的是学会反思。
2.教师在不断的“磨课”中成长。促进教师专业化成长的因素固然很多，但课堂实践依然是教师成长的主阵地。一堂关键的课往往会影响一个教师的专业化成长，教师如果能在反复实践中不断地感悟，不断地反思，不断地积累，就能提高自己的业务水平和教学能力，从而在“磨课”中成长起来。
一个高明的医生必定积累不少的病例及其医疗方案，一个好的律师必定收集一定数量的典型案例，一个优秀的教师也是在积累了大量的典型案例中“优秀”起来。案例研究既是一种研究方式，更应成为教师的一种生活方式，一种职业生活乃至专业生活方式。在这种生活方式中，教师发展着自己的理性，成为自己的主人，而不是盲目重复过去已有的经验。近几年我一直在进行的，就是“实践、反思、再实践、再反思”的案例研究，撰写了100多篇教学案例与反思，我最深的体会是：“实践、反思、再实践、再反思”是教师专业成长的有效途径。