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【摘要】 数学中的某些问题，如果用辩证的思维方式，透过问题的现象去看问题的实质，用数学的思想与方法加以概括、抽象就会引起思维的火花，使我们产生崭新的认识.下面通过求空间中的最短距离，来说明这一几何问题的代数化.
【关键词】 最短距离；代数化
在初中数学的多面体与旋转体的习题中和高中数学必修2的立体几何的习题教学中都设计了类似如下的问题：
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为5，4，3，则从A点沿表面到C1点的最短距离是多少？
这一问题许多人都是用分类的方法，利用旋转的方法或把长方体沿某一条棱展开，把立体问题转化为平面问题来解决.由于长方体有三条不同的棱，于是有三种不同的情况，解法如下：
解 将长方体展开成平面图形有下列三种情况：
（1） （2）
（3）
（1）如图（1），把侧面BCC1B1绕BB1旋转至与侧面ABB1A1共面，此时AC1= （5 4）2 32 =3 10 .
（2）如图（2），把侧面DCC1D1绕DC旋转至与面ABCD共面，此时AC1= 52 （3 4）2 = 74 .
（3）如图（3），把侧面BCC1B1绕BC旋转至于面ABCD共面，此时AC1= （5 3）2 42 =4 5
因为 74 <4 5 <3 10 ，故点A沿表面到C1的最短距离是 74 .
从上面的解法可以看出，用分类的方法解决这一实际问题自然非常清晰，但每次用这种方法去解决，大多数学生认为比较麻烦.有没有简洁的方法呢？我们只需对上面的解法稍微加以分析、推理，用代数的方法去解答就可以得到一个一般的结论，轻松解决我们的问题.在这个问题中，如果把长方体从同一顶点出发的三条棱长分别设为a、b、c，那么利用上面的解法可以得到以下三种情况：
①AC1= a b 2 c2 = a2 b2 c2 2ab ；
②AC1= b c 2 a2 = a2 b2 c2 2bc ；
③AC1= a c 2 b2 = a2 b2 c2 2ac .
比较上面的①、②、③这三个式子，可以发现影响AC1大小的仅取决于a与b，b与c，a与c乘积的大小，要使从A点沿表面到C1点的距离最短，只需AC1最小，即只需让ab或bc或ac的乘积最小，也即a、b、c中取两个较小者再作积即可.若a、b、c中不妨设a>b>c，则AC1的最小值为 a2 b2 c2 2bc .这样一来，只要知道长方体的三条棱长，不用画图，就可以用代数方法直接求出AC1的最小值.如在开始提出的问题中，长方体的三条棱长分别为5，4，3，而5>4>3，于是从A点沿表面到C1点的最短距离AC1= 52 42 32 2×4×3 = 74 .
从上面探讨问题的过程可以看出，在学习过程中结果的得出并不是问题的结束，更重要的是对结果进行分析，反思解题过程，看看是否能得出更一般性的结论，如在上面求长方体表面两个相对顶点的最短距离问题可以直接用代数方法去解决.这样就可以从一道题出发，归纳出一类题的解法，起到触类旁通的作用.否则就好比自己把饭做好了而弃之一旁，失去了做饭的目的，是非常可惜的.
【关键词】 最短距离；代数化
在初中数学的多面体与旋转体的习题中和高中数学必修2的立体几何的习题教学中都设计了类似如下的问题：
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为5，4，3，则从A点沿表面到C1点的最短距离是多少？
这一问题许多人都是用分类的方法，利用旋转的方法或把长方体沿某一条棱展开，把立体问题转化为平面问题来解决.由于长方体有三条不同的棱，于是有三种不同的情况，解法如下：
解 将长方体展开成平面图形有下列三种情况：
（1） （2）
（3）
（1）如图（1），把侧面BCC1B1绕BB1旋转至与侧面ABB1A1共面，此时AC1= （5 4）2 32 =3 10 .
（2）如图（2），把侧面DCC1D1绕DC旋转至与面ABCD共面，此时AC1= 52 （3 4）2 = 74 .
（3）如图（3），把侧面BCC1B1绕BC旋转至于面ABCD共面，此时AC1= （5 3）2 42 =4 5
因为 74 <4 5 <3 10 ，故点A沿表面到C1的最短距离是 74 .
从上面的解法可以看出，用分类的方法解决这一实际问题自然非常清晰，但每次用这种方法去解决，大多数学生认为比较麻烦.有没有简洁的方法呢？我们只需对上面的解法稍微加以分析、推理，用代数的方法去解答就可以得到一个一般的结论，轻松解决我们的问题.在这个问题中，如果把长方体从同一顶点出发的三条棱长分别设为a、b、c，那么利用上面的解法可以得到以下三种情况：
①AC1= a b 2 c2 = a2 b2 c2 2ab ；
②AC1= b c 2 a2 = a2 b2 c2 2bc ；
③AC1= a c 2 b2 = a2 b2 c2 2ac .
比较上面的①、②、③这三个式子，可以发现影响AC1大小的仅取决于a与b，b与c，a与c乘积的大小，要使从A点沿表面到C1点的距离最短，只需AC1最小，即只需让ab或bc或ac的乘积最小，也即a、b、c中取两个较小者再作积即可.若a、b、c中不妨设a>b>c，则AC1的最小值为 a2 b2 c2 2bc .这样一来，只要知道长方体的三条棱长，不用画图，就可以用代数方法直接求出AC1的最小值.如在开始提出的问题中，长方体的三条棱长分别为5，4，3，而5>4>3，于是从A点沿表面到C1点的最短距离AC1= 52 42 32 2×4×3 = 74 .
从上面探讨问题的过程可以看出，在学习过程中结果的得出并不是问题的结束，更重要的是对结果进行分析，反思解题过程，看看是否能得出更一般性的结论，如在上面求长方体表面两个相对顶点的最短距离问题可以直接用代数方法去解决.这样就可以从一道题出发，归纳出一类题的解法，起到触类旁通的作用.否则就好比自己把饭做好了而弃之一旁，失去了做饭的目的，是非常可惜的.