【摘 要】本文在价格和需求量相互影响、互为替代品的商品之间价格和需求量相互影响的实际背景下，根据题目所给的原料总量和政策的限制条件，建立了相关的线性规划模型行研究奶产品的定价问题。为了简化问题，我们首先假设生产量=需求量=销售量，还有水无限制提供使用。经模型假设后的奶制品定价问题一可以通过建立规划模型求解，我们将价格设置为变量，根据每种商品价格与销量的关系、不同种商品之间的价格与销量的关系以及每年的原料总量为约束条件建立数学模型，问题二即可在问题一的基础上加上政策限制条件，然后通过lingo软件求解。
　　【关键词】线性规划模型lingo政策限制条件
　　1.问题重述
　　某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。所有这些产品都直接或间接地来自国家的原奶生产。原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。
　　价格的变化会影响消费需求。为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：E=需求降低百分数/价格提高百分数各种产品的E值，可以根据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。
　　2.问题分析
　　2.1对价格的交叉伸缩性EAB的理解
　　价格的交叉伸缩性指某种商品的供需量对其他相关替代商品价格变动的反应灵敏程度。其伸缩性系数定义为供需量变动的百分比除以另外商品价格变动的百分比。交叉伸缩性系数可以大于0、等于0或小于0，它表明两种商品之间分别呈替代、不相关或互补关系。可替代程度愈高，交叉价格伸缩性愈大。根据定义，交叉价格伸缩性可分为需求交叉价格伸缩性和供给交叉价格伸缩性。它表明两种商品之间分别呈替代、不相关或互补关系。由题意可知，奶酪1到奶酪2的E12值=0.1，奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21值=0.4。即奶酪1和奶酪2之间呈替代关系。且由E12=0.1　　2.2对政策的理解
　　政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加，这句话共有两种理解方式。第一是指政策限制其中一种奶制品的价格，使得该奶制品的消费的总费用较上一年度不增加。即四种奶制品的价格某项构成要素被限制，产品价格在总收入最大化下存在一定程度地下降，新的价格使消费总费用较上一年度不增加。而其他奶制品的价格可以任意变化，从而使得四种奶制品的销售总费用最大。第二是指限制四种奶制品的价格指标较上一年度均不增加。
　　2.3对问题一的分析
　　问题一是求解使得消费总额最大的四种奶制品的价格，由题意易知，我们应该将价格设置为变量，以每种商品价格与销量的关系、不同种商品之间的价格与销量的关系以及每年的原料总量为约束条件，建立规划模型求解四种奶制品的价格。
　　2.4对问题二的分析
　　问题二是求解通过限制哪一种奶制品的价格指标使得经济代价最小，经济代价即可理解为问题一所求的最大消费总收入与限制一种奶制品的价格指标后的总收入的差值，我们可以在问题一的基础上加上政策的限制条件即分别限制每种奶制品的价格指标，从而求出每种方案的经济代价，并通过比较选出最小的经济代价。我们也可以通过分析需求的价格伸缩性E对于该产品收益的影响来确定选择哪种商品来限制其价格指标。
　　3.模型假设
　　（1）用于生产奶制品的原料在生产过程中没有损耗，即原料的总量不变。
　　（2）假设奶制品的产量=需求量=消费量，即不考虑所有的奶制品消费停滞的现象，不考虑除需求以外的其他因素对消费量的影响；不考虑除价格以外其他因素对需求量的影响。
　　（3）本模型中的消费总收入仅考虑价格和销售量这两个因素，不考虑其在市场营销时各种手段和方式对价格、销售量的影响。
　　（4）题中根据往年的价格和需求变化情况的统计数据求出的产品的价格伸缩性值与价格的交叉伸缩性EAB值基本正确。
　　4.模型建立
　　4.1问题一模型的建立与求解
　　经模型假设后的奶制品定价问题可以通过建立规划模型求解，我们将价格设置为变量，以每种品价格与销量的关系、不同种商品之间的价格与销量的关系以及每年的原料总量为约束条件建立数学模型，然后通过lingo软件求解。
　　4.2问题二模型的建立和求解
　　问题二的模型只需在问题一模型的基础上再加上对政策的限制条件即可。且由于消费需求与价格之间反向相关关系存在且稳定，即各类产品的价格伸缩性及交叉伸缩性存在且稳定可计量。同时各类奶制品售价与其销售量的相关关系不变，所以第一问的表达式可不变。政策限制条件如下：
　　x（i）×y（i）≤xf（i）×jg（i）或者为：∑x（i）×xy（i）≤∑xf（i）×jg（i）
　　问题二模型的目标函数即其他约束条件均与问题一相同。即在问题一模型的基础上加上上述政策限制条件并利用lingo求解即可。
　　5.模型分析
　　本文将此问题转化为一个简单的线性规划模型。问题一根据价格伸缩性E和价格的交叉伸缩性EAB确定今年每种产品国内消费量Xi和价格Yi之间的关系，之后就是在对原料总量先进行约束的前提下来求解最大的消费总费用。问题二基于问题一的模型，加上使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加这一限制条件，求出此时最大的消费总费用，与问题一得到的结果相比较，即为实施该政策的经济代价。若考虑生产量、需求量、消费量三者之间的关系，显然问题会因为组合数过多而停滞，因此人为的假设生产量=需求量=消费量，另外影响奶产品定价的因素只有消费需求。这种情况下虽然无法得到实际问题的最优解，但保证了结果的合理性以及优良性，事实本题目中其他因素对定价的解不具有太大的影响，因此认为此模型是可操作的，并且可求得较优的解。
　　6.模型推广
　　本文主要采用线性规划模型，具有广泛的实际应用。只要稍加修改，就可以用来求解N个变量，M种限制条件的线性优化问题。本模型还可以推广到许多行业，如在企业的各项管理活动中，计划、生产安排、物资运输、资金分配等问题只要修改限制条件都可以很好的解决问题。本文基于运筹学目标最优的方法针对奶制品生产定价问题建立线性目标规划模型，将线性规划方法对应用问题进行了实际解决，为决策有效化提供了优良的参考办法。同时本文对模型进行的优缺点评价与具有实践意义的改进。本文所建立的目标规划模型由于其交互作用，有相当的灵活性与实用性，具有推广的实际用途。
　　7.结论
　　在求解本题的过程中，我们建立了线性规划模型，并利用lingo软件对模型进行求解。通过对问题的求解，我们得出了以下结论：第一，在没有政策限制的条件下，我们确定了当牛奶的价格为334.4686元，销量为524.267万吨；奶油的价格为48.36238元，销量为583.6468万吨；奶酪1的价格20.11823元，销量为1223.093万吨；奶酪2的价格为3.5599元，销量为1950.675万吨时，该国奶制品的消费总收入在达到最大，为235127.6万元。第二，在有政策限制的条件下，最后分析出当限制奶酪2的价格指标不变时，在使总的销售收入最大的情况下，该政策造成的经济代价最小为296.4万元。最大的销售总收入最大为234831.2万元。