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摘 要：將FDTD由直角坐标推广到三维柱坐标系;为保证其求解的稳定性，给出了更为严格的时间步长计算公式，改善了中心轴奇点处理问题;给出了磁场径向奇点处理的推导公式，边界条件采用PML完全匹配层。计算机仿真验证了算法的正确性
关键词：时域有限差分;完全匹配层;电磁辐射;奇点处理
引言
时域有限差分法（FDTD）[1]作为研究电磁场传播的有效工具，在微波电路的时域分析、天线辐射特性、电磁场散射及生物医学工程等领域有着广泛的应用。它是由麦克斯韦方程推得的中心差分方程，对空间和时间步长的选取严格，并需要边界吸收条件来模拟电磁场在无限空间的传播。尤其关于吸收边界条件的设置[2]，是时域差分算法的重要一环。FDTD经过多年的发展研究，在处理边界条件上也越来越完善，其中一种完全匹配层（PML）吸收边界条件[3]，它可以近似于对各个方向的来波进行完全吸收而无反射.这种边界处理方法计算效率很高，并且很容易推广到曲面坐标。由于散射体结构的复杂性，在笛卡儿坐标[4]中采用立方或正方体网格单元来模拟复杂物体表面时会带来一定的误差，比如许多生物医学应用中，柱面几何是经常遇到的问题，如果FDTD算法可以在柱面坐标系下求解。这就避免了笛卡尔FDTD算法中的数值误差。因此对 FDTD算法的研究也从直角坐标系推广到圆柱坐标系[5]。在圆柱坐标系下为保证计算的稳定性，对空间步长和时间步长的要求更加严格，沿同一径向，在角度步长相同时;横向长度单元是不同的，因此，为了保证数值的收敛性，要取最小的值来计算。以往只研究轴对称几何，将三维圆柱问题简化为二维问题r?z平面[6][7]。然而，对于一般的非轴对称结构，就需要一个完整的柱面坐标系下三维FDTD格式。但三维圆柱坐标系在中心轴计算会出现奇点问题，这些奇点并不是麦克斯韦方程本身所固有的，而是由微分方程转变差分方程带来的，因此处理奇点的各种方法被相继提出，如基于基数展开法[8]，利用直角坐标系和圆柱坐标系公式转换法[9]，
本文推导了基于三维扩展柱坐标系的麦克斯韦方程，采用PML作为吸收边界，同时利用辅助方程重新推到了PML区域内的迭代公式，并给出了处理磁场径向奇点的方法并推导出相应的公式，电场奇点问题采用文献[10]。通过编程建模和数值实验验证，证明了本文提出处理奇点方法的正确性。
1 柱坐标系下麦克斯韦差分方程及时间步长公式
在扩展坐标下令：
在三维柱面坐标中，与极轴相关的数值奇异性不能用以前开发的级数多项式展开来近似。相反，与极轴相关的场分量都简单地近似于基于安培定律的表达式，它规范了数值解，并确保在奇异节点附近有一个表现良好的解。我们还注意到，这些公式忽略了外加电流 。如果该区域附近有有源线圈，则应添加电流源。
4三维圆柱下的数值验证
三维圆柱坐标下，径向网络尺寸 ，方位角 ，轴向尺寸 。空间网格数80×80×144，边界条件采用PML吸收，场计算不涉及远场计算，当 取不同值时，测试结果如下图：
图5，6，7，8，分别表示在自由空间中， 时中心轴上 的值。从图中可以发现， 误差较大，随着 的不断减小，误差越来越小，在 时，即 时，误差可以忽略不计。经过实验测试表面本文推导的处理磁场奇点 的公式，具有可行性，有效性。
5总结
在三维圆柱坐标系下给出了FDTD有限差分格式并编程实现，并给出了对于圆柱坐标系带来的奇点问题解决方法，推导出对于解决磁场奇点问题的公式。利用辅助方程法重新推导出了PML中差分公式，通过编写程序，仿真测试。结果表明了本文处理奇点的可行性，正确性。
参考文献
[1] 葛德彪. 电磁波时域有限差分方法[M].西安：西安电子科技大学出版社，2011
[2] YEE K S. Numerical solution of initial bounary value problem involving Maxwell’s equations in isotropic media [ J ]. IEEE Trans Antennas and Propagation，1966，14：302 - 307.
[3] BERENGER J P. A perfectly matched layer for the absorption of electro-magnetic vaves [ J ]. Computational Physics，1994，114（2）：185 - 200.
[4] ZHAO L，CANGELLAR IS A C. GT - PML：Generalized theory of perfectly matched layers and its application to the reflectionless truncation of finite-difference time-do-main grids [ J ]. IEEE Trans Microwave Theory and Techniques，1996，44（12）：2555 - 2563.
[5] GHEONJ IAN A，JOBAVA R. Non2uniform conforming mesh generator for FDTD scheme in 3D cylindrical coor-dinate system [A]. IEEE D IPED Proceedings[C]. [ s.l. ]：[ s. n. ]，2000：41 - 44
[6] Y.Chen，R.Mittra，and P.Harms，“Finite-difference time-domain algorithm for solving Maxwell’s equations in rotationally symmetric geometries，” IEEE Trans. Microwave Theory Tech.，vol.44，pp.832-839，June 1996.
[7] D.W.Prather and S.Shi，“Formulation and application of the finite-difference time-domain method for the analysis of axially symmetric diffractive optical elements，” J.Opt. Soc.Amer.A.，vol. 16，pp.1131-1141，1999.
[8] F. Liu，S. Crozier，“An FDTD model for calculation of gradient-induced eddy currents in MRI system，” IEEE Trans Appl Supercond.，vol. 14，pp. 1983-1989，2004.
[9] Zilvinas Kancleris，“Handling of Singularity in Finite-Difference Time-Domain Procedure for Solving Maxwell’s Equations in Cylindrical Coordinate System，” IEEE Trans. Antennas Propagat.，vol. 56，pp. 610-613，2008.
[10] Jieru Chi，Feng Liu，Ling Xia，Tingting Shao，David G. Mason，“An Improved Cylindrical FDTD Method and its Application to Field-tissue Interaction Study in MRI，”IEEE trans on antennas and propagation，vol. 47，no. 2，rebruary 2011
关键词：时域有限差分;完全匹配层;电磁辐射;奇点处理
引言
时域有限差分法（FDTD）[1]作为研究电磁场传播的有效工具，在微波电路的时域分析、天线辐射特性、电磁场散射及生物医学工程等领域有着广泛的应用。它是由麦克斯韦方程推得的中心差分方程，对空间和时间步长的选取严格，并需要边界吸收条件来模拟电磁场在无限空间的传播。尤其关于吸收边界条件的设置[2]，是时域差分算法的重要一环。FDTD经过多年的发展研究，在处理边界条件上也越来越完善，其中一种完全匹配层（PML）吸收边界条件[3]，它可以近似于对各个方向的来波进行完全吸收而无反射.这种边界处理方法计算效率很高，并且很容易推广到曲面坐标。由于散射体结构的复杂性，在笛卡儿坐标[4]中采用立方或正方体网格单元来模拟复杂物体表面时会带来一定的误差，比如许多生物医学应用中，柱面几何是经常遇到的问题，如果FDTD算法可以在柱面坐标系下求解。这就避免了笛卡尔FDTD算法中的数值误差。因此对 FDTD算法的研究也从直角坐标系推广到圆柱坐标系[5]。在圆柱坐标系下为保证计算的稳定性，对空间步长和时间步长的要求更加严格，沿同一径向，在角度步长相同时;横向长度单元是不同的，因此，为了保证数值的收敛性，要取最小的值来计算。以往只研究轴对称几何，将三维圆柱问题简化为二维问题r?z平面[6][7]。然而，对于一般的非轴对称结构，就需要一个完整的柱面坐标系下三维FDTD格式。但三维圆柱坐标系在中心轴计算会出现奇点问题，这些奇点并不是麦克斯韦方程本身所固有的，而是由微分方程转变差分方程带来的，因此处理奇点的各种方法被相继提出，如基于基数展开法[8]，利用直角坐标系和圆柱坐标系公式转换法[9]，
本文推导了基于三维扩展柱坐标系的麦克斯韦方程，采用PML作为吸收边界，同时利用辅助方程重新推到了PML区域内的迭代公式，并给出了处理磁场径向奇点的方法并推导出相应的公式，电场奇点问题采用文献[10]。通过编程建模和数值实验验证，证明了本文提出处理奇点方法的正确性。
1 柱坐标系下麦克斯韦差分方程及时间步长公式
在扩展坐标下令：
在三维柱面坐标中，与极轴相关的数值奇异性不能用以前开发的级数多项式展开来近似。相反，与极轴相关的场分量都简单地近似于基于安培定律的表达式，它规范了数值解，并确保在奇异节点附近有一个表现良好的解。我们还注意到，这些公式忽略了外加电流 。如果该区域附近有有源线圈，则应添加电流源。
4三维圆柱下的数值验证
三维圆柱坐标下，径向网络尺寸 ，方位角 ，轴向尺寸 。空间网格数80×80×144，边界条件采用PML吸收，场计算不涉及远场计算，当 取不同值时，测试结果如下图：
图5，6，7，8，分别表示在自由空间中， 时中心轴上 的值。从图中可以发现， 误差较大，随着 的不断减小，误差越来越小，在 时，即 时，误差可以忽略不计。经过实验测试表面本文推导的处理磁场奇点 的公式，具有可行性，有效性。
5总结
在三维圆柱坐标系下给出了FDTD有限差分格式并编程实现，并给出了对于圆柱坐标系带来的奇点问题解决方法，推导出对于解决磁场奇点问题的公式。利用辅助方程法重新推导出了PML中差分公式，通过编写程序，仿真测试。结果表明了本文处理奇点的可行性，正确性。
参考文献
[1] 葛德彪. 电磁波时域有限差分方法[M].西安：西安电子科技大学出版社，2011
[2] YEE K S. Numerical solution of initial bounary value problem involving Maxwell’s equations in isotropic media [ J ]. IEEE Trans Antennas and Propagation，1966，14：302 - 307.
[3] BERENGER J P. A perfectly matched layer for the absorption of electro-magnetic vaves [ J ]. Computational Physics，1994，114（2）：185 - 200.
[4] ZHAO L，CANGELLAR IS A C. GT - PML：Generalized theory of perfectly matched layers and its application to the reflectionless truncation of finite-difference time-do-main grids [ J ]. IEEE Trans Microwave Theory and Techniques，1996，44（12）：2555 - 2563.
[5] GHEONJ IAN A，JOBAVA R. Non2uniform conforming mesh generator for FDTD scheme in 3D cylindrical coor-dinate system [A]. IEEE D IPED Proceedings[C]. [ s.l. ]：[ s. n. ]，2000：41 - 44
[6] Y.Chen，R.Mittra，and P.Harms，“Finite-difference time-domain algorithm for solving Maxwell’s equations in rotationally symmetric geometries，” IEEE Trans. Microwave Theory Tech.，vol.44，pp.832-839，June 1996.
[7] D.W.Prather and S.Shi，“Formulation and application of the finite-difference time-domain method for the analysis of axially symmetric diffractive optical elements，” J.Opt. Soc.Amer.A.，vol. 16，pp.1131-1141，1999.
[8] F. Liu，S. Crozier，“An FDTD model for calculation of gradient-induced eddy currents in MRI system，” IEEE Trans Appl Supercond.，vol. 14，pp. 1983-1989，2004.
[9] Zilvinas Kancleris，“Handling of Singularity in Finite-Difference Time-Domain Procedure for Solving Maxwell’s Equations in Cylindrical Coordinate System，” IEEE Trans. Antennas Propagat.，vol. 56，pp. 610-613，2008.
[10] Jieru Chi，Feng Liu，Ling Xia，Tingting Shao，David G. Mason，“An Improved Cylindrical FDTD Method and its Application to Field-tissue Interaction Study in MRI，”IEEE trans on antennas and propagation，vol. 47，no. 2，rebruary 2011