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在近几年的数学中考试卷上,频繁出现了与反比例函数图象和性质有关的问题,有基础题、中档题,也有作为选拔功能的综合题.在解这类问题时,如果能够充分考虑反比例函数自身的基本图象性质,再结合常用的几何图形及其性质,从整体上思考问题,把握解题思路,问题通常就可以迎刃而解了.
图1
例1如图1,点A、B在反比例函数y=k/x的图象上,过点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为M、N,延长AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,且△AOC的面积为9,则k的值为 .
分析:假设点A(a,k/a),把点的坐标转化为图象中的相关线段的长度,OM=a,AM=k/a,然后利用条件“OM=MN=NC”可知另两条线段的长度,最后利用条件“△AOC的面积为9”,可列方程12·3a·ka
=9,利用这种设而不求的方法直接把k的值求解出来了.
数学解题思维活动从某种程度上还始于“条件反射”,一般来说,当题目的已知条件中出现某个点在函数图象是时,就可以从此处入手,设出该点的坐标.学生从题目中接受信息,用自己所掌握熟悉的基本图形和基本性质解决陌生问题,从已知条件一步步走向目标.
图2
例2如图2,在以O为原点的直角坐标系中,点A、C分别x轴、y轴的正半轴上,点B在第一象限,四边形OABC是矩形,反比例函数
y=k/x(x>0)与AB相交于点D,与BC相交于点E,若BE=3CE,四边形ODBE的面积是9,则k的值为 .
分析:与例1相同,题目的条件中出现了反比例函数图象上的点E,那么就可以设出点E(e,
k/e),由条件“BE=3CE”可知B(4e,k/e).由于此题中四边形ODBE并非是一个规则的四边形,虽然能直接利用点B的坐标来表示与之有关的线段长度,但是无法直接与四边形ODBE的面积联系起来.于是联想到用规则图形的面积的和差来解决问题,即
SODBE=S矩形OABC-S△OCE-S△ODA,而观察图象马上就会联想到反比例函数的一条基本性质:过反比例函数图象上任意一点作x轴(或y轴)的垂线,并连接该点与原点所构成的直角三角形的面积为|k|/2.也就是说
S△OCE=S△ODA=k/2.利用这条基本性质可列方程
4k-k/2-k/2=9,所以k=3.
解题成功的关键是要学会转化,利用转化思想在已知和未知之间架起一座桥梁.在进行反比例函数教学时要强化已知条件的基本转化方法,如例2中反比例函数图象上点构成直角三角形的面积与k的数量关系,以及不规则图形与规则图形和差之间的转化,通过转化使学生尽快进入解决问题的思维状态,面对新的问题产生敏感,逐步激发他们的思维火花.
图3
例3如图3,M为双曲线
y=6/x(x>0)上的一点,过M作x轴、y轴的垂线,分别交直线y=-x+m于D、C两点,若直线y=-x+m与x轴、y轴分别交于点B、A,则
AD·BC的值为 .
分析:由条件可知A(0,m)、B(m,0),对应线段OA=OB=m.设M(x,
6/x),则OF=x,OE=
6/x.虽然以现有点A、B、M为基础可以表示出点D和C的坐标,然后利用坐标求出线段AD和BC的长度,解决问题.但是这个计算量是相当大的,很容易出错,干扰学生应试时的情绪.如果能够充分利用已知条件,挖掘隐含条件,那么就可大大降低解题难度了.如果注意到△AOB的两条直角边是相等的,那么△AOB是等腰直角三角形,直线AB与x轴、y轴的夹角都为45°,那么以AB为基础,可以很简单地构造多个等腰直角三角形.过点C作x轴的垂线、过D作y轴的垂线,垂足分别为点H、G(如图3所示),那么△AGD和△CHB分别是等腰直角三角形,所以问题中的两条线段均得到了转化,AD=
2DG,CB=
2CH,最后
AD·BC=2DG·2CH=2EM·
2MF=26.
图4
例4正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数
y=8/x(x>0)的图象上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形
P2P3A2A3,顶点P3在反比例函数
y=8/x(x>0)的图象上,顶点A2在x轴的正半轴上,则点P3的坐标是 .
分析:解题的重点先放在正方形A1B1P1P2上,由于正方形的四条边相等,四个角都是直角,可以以此为基础构造基本图形“K字型”的三个直角三角形全等,如图4所示△P1CB1≌△B1OA1≌△A1DP2.设
OA1=a,OB1=b,反之,可以利用线段长度来表示反比例函数图象上的点的坐标,
P1(b,a+b),P2(a
+b,a),由于两点都在同一个反比例函数图象上,所以
b(a+b)=a(a+b),化简得
a=b.这样对二元二次方程就可以起到降次
消元的目的,易得
P1(2,4),P2(4,2).现在把重点放在第二个正方形
P2P3A2B2,与前面的正方形处理思想类似,以正方形的顶点
P2、P3为基础再次构造“K字型”的两个全等三角形,设
P3(x,8/x),从而可解得点P3(23+2,23-2).
在实际解题过程中充分利用图形的对称性,也可以对解题起到引导和启发的作用.在读题之初观察到直角坐标系、正方形
A1B1P1P2组合构成了一个轴对称图形,容易让学生一下就感觉到△B1OA1是一个等腰直角三角形,那么易得
P1(2,4),P2(4,2),再进行后续的解题.在教学中教师要经常引导学生用数学的美来看待数学图形,使他们学会利用数学美的眼光去分析问题、解决问题.
众所周知,反比例函数中有许多的基本图形与基本性质,它们呈现了数学语言的确定性、简洁性及抽象性等特点,它们不仅跟文字一样具有记录作用,也有思想交流的功能,很好地掌握并灵活应用这些基本图形与基本性质,有助于我们清楚地分析问题中的复杂关系,起到化繁为简、化难为易的良好效果.
图1
例1如图1,点A、B在反比例函数y=k/x的图象上,过点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为M、N,延长AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,且△AOC的面积为9,则k的值为 .
分析:假设点A(a,k/a),把点的坐标转化为图象中的相关线段的长度,OM=a,AM=k/a,然后利用条件“OM=MN=NC”可知另两条线段的长度,最后利用条件“△AOC的面积为9”,可列方程12·3a·ka
=9,利用这种设而不求的方法直接把k的值求解出来了.
数学解题思维活动从某种程度上还始于“条件反射”,一般来说,当题目的已知条件中出现某个点在函数图象是时,就可以从此处入手,设出该点的坐标.学生从题目中接受信息,用自己所掌握熟悉的基本图形和基本性质解决陌生问题,从已知条件一步步走向目标.
图2
例2如图2,在以O为原点的直角坐标系中,点A、C分别x轴、y轴的正半轴上,点B在第一象限,四边形OABC是矩形,反比例函数
y=k/x(x>0)与AB相交于点D,与BC相交于点E,若BE=3CE,四边形ODBE的面积是9,则k的值为 .
分析:与例1相同,题目的条件中出现了反比例函数图象上的点E,那么就可以设出点E(e,
k/e),由条件“BE=3CE”可知B(4e,k/e).由于此题中四边形ODBE并非是一个规则的四边形,虽然能直接利用点B的坐标来表示与之有关的线段长度,但是无法直接与四边形ODBE的面积联系起来.于是联想到用规则图形的面积的和差来解决问题,即
SODBE=S矩形OABC-S△OCE-S△ODA,而观察图象马上就会联想到反比例函数的一条基本性质:过反比例函数图象上任意一点作x轴(或y轴)的垂线,并连接该点与原点所构成的直角三角形的面积为|k|/2.也就是说
S△OCE=S△ODA=k/2.利用这条基本性质可列方程
4k-k/2-k/2=9,所以k=3.
解题成功的关键是要学会转化,利用转化思想在已知和未知之间架起一座桥梁.在进行反比例函数教学时要强化已知条件的基本转化方法,如例2中反比例函数图象上点构成直角三角形的面积与k的数量关系,以及不规则图形与规则图形和差之间的转化,通过转化使学生尽快进入解决问题的思维状态,面对新的问题产生敏感,逐步激发他们的思维火花.
图3
例3如图3,M为双曲线
y=6/x(x>0)上的一点,过M作x轴、y轴的垂线,分别交直线y=-x+m于D、C两点,若直线y=-x+m与x轴、y轴分别交于点B、A,则
AD·BC的值为 .
分析:由条件可知A(0,m)、B(m,0),对应线段OA=OB=m.设M(x,
6/x),则OF=x,OE=
6/x.虽然以现有点A、B、M为基础可以表示出点D和C的坐标,然后利用坐标求出线段AD和BC的长度,解决问题.但是这个计算量是相当大的,很容易出错,干扰学生应试时的情绪.如果能够充分利用已知条件,挖掘隐含条件,那么就可大大降低解题难度了.如果注意到△AOB的两条直角边是相等的,那么△AOB是等腰直角三角形,直线AB与x轴、y轴的夹角都为45°,那么以AB为基础,可以很简单地构造多个等腰直角三角形.过点C作x轴的垂线、过D作y轴的垂线,垂足分别为点H、G(如图3所示),那么△AGD和△CHB分别是等腰直角三角形,所以问题中的两条线段均得到了转化,AD=
2DG,CB=
2CH,最后
AD·BC=2DG·2CH=2EM·
2MF=26.
图4
例4正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数
y=8/x(x>0)的图象上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形
P2P3A2A3,顶点P3在反比例函数
y=8/x(x>0)的图象上,顶点A2在x轴的正半轴上,则点P3的坐标是 .
分析:解题的重点先放在正方形A1B1P1P2上,由于正方形的四条边相等,四个角都是直角,可以以此为基础构造基本图形“K字型”的三个直角三角形全等,如图4所示△P1CB1≌△B1OA1≌△A1DP2.设
OA1=a,OB1=b,反之,可以利用线段长度来表示反比例函数图象上的点的坐标,
P1(b,a+b),P2(a
+b,a),由于两点都在同一个反比例函数图象上,所以
b(a+b)=a(a+b),化简得
a=b.这样对二元二次方程就可以起到降次
消元的目的,易得
P1(2,4),P2(4,2).现在把重点放在第二个正方形
P2P3A2B2,与前面的正方形处理思想类似,以正方形的顶点
P2、P3为基础再次构造“K字型”的两个全等三角形,设
P3(x,8/x),从而可解得点P3(23+2,23-2).
在实际解题过程中充分利用图形的对称性,也可以对解题起到引导和启发的作用.在读题之初观察到直角坐标系、正方形
A1B1P1P2组合构成了一个轴对称图形,容易让学生一下就感觉到△B1OA1是一个等腰直角三角形,那么易得
P1(2,4),P2(4,2),再进行后续的解题.在教学中教师要经常引导学生用数学的美来看待数学图形,使他们学会利用数学美的眼光去分析问题、解决问题.
众所周知,反比例函数中有许多的基本图形与基本性质,它们呈现了数学语言的确定性、简洁性及抽象性等特点,它们不仅跟文字一样具有记录作用,也有思想交流的功能,很好地掌握并灵活应用这些基本图形与基本性质,有助于我们清楚地分析问题中的复杂关系,起到化繁为简、化难为易的良好效果.