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在近几年的数学中考试卷上，频繁出现了与反比例函数图象和性质有关的问题，有基础题、中档题，也有作为选拔功能的综合题.在解这类问题时，如果能够充分考虑反比例函数自身的基本图象性质，再结合常用的几何图形及其性质，从整体上思考问题，把握解题思路，问题通常就可以迎刃而解了.
图1
例1如图1，点A、B在反比例函数y=k/x的图象上，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，且△AOC的面积为9，则k的值为 .
分析：假设点A（a，k/a），把点的坐标转化为图象中的相关线段的长度，OM=a，AM=k/a，然后利用条件“OM=MN=NC”可知另两条线段的长度，最后利用条件“△AOC的面积为9”，可列方程12·3a·ka
=9，利用这种设而不求的方法直接把k的值求解出来了.
数学解题思维活动从某种程度上还始于“条件反射”，一般来说，当题目的已知条件中出现某个点在函数图象是时，就可以从此处入手，设出该点的坐标.学生从题目中接受信息，用自己所掌握熟悉的基本图形和基本性质解决陌生问题，从已知条件一步步走向目标.
图2
例2如图2，在以O为原点的直角坐标系中，点A、C分别x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数
y=k/x（x>0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE=3CE，四边形ODBE的面积是9，则k的值为 .
分析：与例1相同，题目的条件中出现了反比例函数图象上的点E，那么就可以设出点E（e，
k/e），由条件“BE=3CE”可知B（4e，k/e）.由于此题中四边形ODBE并非是一个规则的四边形，虽然能直接利用点B的坐标来表示与之有关的线段长度，但是无法直接与四边形ODBE的面积联系起来.于是联想到用规则图形的面积的和差来解决问题，即
SODBE=S矩形OABC-S△OCE-S△ODA，而观察图象马上就会联想到反比例函数的一条基本性质：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，并连接该点与原点所构成的直角三角形的面积为|k|/2.也就是说
S△OCE=S△ODA=k/2.利用这条基本性质可列方程
4k-k/2-k/2=9，所以k=3.
解题成功的关键是要学会转化，利用转化思想在已知和未知之间架起一座桥梁.在进行反比例函数教学时要强化已知条件的基本转化方法，如例2中反比例函数图象上点构成直角三角形的面积与k的数量关系，以及不规则图形与规则图形和差之间的转化，通过转化使学生尽快进入解决问题的思维状态，面对新的问题产生敏感，逐步激发他们的思维火花.
图3
例3如图3，M为双曲线
y=6/x（x>0）上的一点，过M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-x+m于D、C两点，若直线y=-x+m与x轴、y轴分别交于点B、A，则
AD·BC的值为 .
分析：由条件可知A（0，m）、B（m，0），对应线段OA=OB=m.设M（x，
6/x），则OF=x，OE=
6/x.虽然以现有点A、B、M为基础可以表示出点D和C的坐标，然后利用坐标求出线段AD和BC的长度，解决问题.但是这个计算量是相当大的，很容易出错，干扰学生应试时的情绪.如果能够充分利用已知条件，挖掘隐含条件，那么就可大大降低解题难度了.如果注意到△AOB的两条直角边是相等的，那么△AOB是等腰直角三角形，直线AB与x轴、y轴的夹角都为45°，那么以AB为基础，可以很简单地构造多个等腰直角三角形.过点C作x轴的垂线、过D作y轴的垂线，垂足分别为点H、G（如图3所示），那么△AGD和△CHB分别是等腰直角三角形，所以问题中的两条线段均得到了转化，AD=
2DG，CB=
2CH，最后
AD·BC=2DG·2CH=2EM·
2MF=26.
图4
例4正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数
y=8/x（x>0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形
P2P3A2A3，顶点P3在反比例函数
y=8/x（x>0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标是 .
分析：解题的重点先放在正方形A1B1P1P2上，由于正方形的四条边相等，四个角都是直角，可以以此为基础构造基本图形“K字型”的三个直角三角形全等，如图4所示△P1CB1≌△B1OA1≌△A1DP2.设
OA1=a，OB1=b，反之，可以利用线段长度来表示反比例函数图象上的点的坐标，
P1（b，a+b），P2（a
+b，a），由于两点都在同一个反比例函数图象上，所以
b（a+b）=a（a+b），化简得
a=b.这样对二元二次方程就可以起到降次
消元的目的，易得
P1（2，4），P2（4，2）.现在把重点放在第二个正方形
P2P3A2B2，与前面的正方形处理思想类似，以正方形的顶点
P2、P3为基础再次构造“K字型”的两个全等三角形，设
P3（x，8/x），从而可解得点P3（23+2，23-2）.
在实际解题过程中充分利用图形的对称性，也可以对解题起到引导和启发的作用.在读题之初观察到直角坐标系、正方形
A1B1P1P2组合构成了一个轴对称图形，容易让学生一下就感觉到△B1OA1是一个等腰直角三角形，那么易得
P1（2，4），P2（4，2），再进行后续的解题.在教学中教师要经常引导学生用数学的美来看待数学图形，使他们学会利用数学美的眼光去分析问题、解决问题.
众所周知，反比例函数中有许多的基本图形与基本性质，它们呈现了数学语言的确定性、简洁性及抽象性等特点，它们不仅跟文字一样具有记录作用，也有思想交流的功能，很好地掌握并灵活应用这些基本图形与基本性质，有助于我们清楚地分析问题中的复杂关系，起到化繁为简、化难为易的良好效果.
图1
例1如图1，点A、B在反比例函数y=k/x的图象上，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，且△AOC的面积为9，则k的值为 .
分析：假设点A（a，k/a），把点的坐标转化为图象中的相关线段的长度，OM=a，AM=k/a，然后利用条件“OM=MN=NC”可知另两条线段的长度，最后利用条件“△AOC的面积为9”，可列方程12·3a·ka
=9，利用这种设而不求的方法直接把k的值求解出来了.
数学解题思维活动从某种程度上还始于“条件反射”，一般来说，当题目的已知条件中出现某个点在函数图象是时，就可以从此处入手，设出该点的坐标.学生从题目中接受信息，用自己所掌握熟悉的基本图形和基本性质解决陌生问题，从已知条件一步步走向目标.
图2
例2如图2，在以O为原点的直角坐标系中，点A、C分别x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数
y=k/x（x>0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE=3CE，四边形ODBE的面积是9，则k的值为 .
分析：与例1相同，题目的条件中出现了反比例函数图象上的点E，那么就可以设出点E（e，
k/e），由条件“BE=3CE”可知B（4e，k/e）.由于此题中四边形ODBE并非是一个规则的四边形，虽然能直接利用点B的坐标来表示与之有关的线段长度，但是无法直接与四边形ODBE的面积联系起来.于是联想到用规则图形的面积的和差来解决问题，即
SODBE=S矩形OABC-S△OCE-S△ODA，而观察图象马上就会联想到反比例函数的一条基本性质：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，并连接该点与原点所构成的直角三角形的面积为|k|/2.也就是说
S△OCE=S△ODA=k/2.利用这条基本性质可列方程
4k-k/2-k/2=9，所以k=3.
解题成功的关键是要学会转化，利用转化思想在已知和未知之间架起一座桥梁.在进行反比例函数教学时要强化已知条件的基本转化方法，如例2中反比例函数图象上点构成直角三角形的面积与k的数量关系，以及不规则图形与规则图形和差之间的转化，通过转化使学生尽快进入解决问题的思维状态，面对新的问题产生敏感，逐步激发他们的思维火花.
图3
例3如图3，M为双曲线
y=6/x（x>0）上的一点，过M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-x+m于D、C两点，若直线y=-x+m与x轴、y轴分别交于点B、A，则
AD·BC的值为 .
分析：由条件可知A（0，m）、B（m，0），对应线段OA=OB=m.设M（x，
6/x），则OF=x，OE=
6/x.虽然以现有点A、B、M为基础可以表示出点D和C的坐标，然后利用坐标求出线段AD和BC的长度，解决问题.但是这个计算量是相当大的，很容易出错，干扰学生应试时的情绪.如果能够充分利用已知条件，挖掘隐含条件，那么就可大大降低解题难度了.如果注意到△AOB的两条直角边是相等的，那么△AOB是等腰直角三角形，直线AB与x轴、y轴的夹角都为45°，那么以AB为基础，可以很简单地构造多个等腰直角三角形.过点C作x轴的垂线、过D作y轴的垂线，垂足分别为点H、G（如图3所示），那么△AGD和△CHB分别是等腰直角三角形，所以问题中的两条线段均得到了转化，AD=
2DG，CB=
2CH，最后
AD·BC=2DG·2CH=2EM·
2MF=26.
图4
例4正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数
y=8/x（x>0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形
P2P3A2A3，顶点P3在反比例函数
y=8/x（x>0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标是 .
分析：解题的重点先放在正方形A1B1P1P2上，由于正方形的四条边相等，四个角都是直角，可以以此为基础构造基本图形“K字型”的三个直角三角形全等，如图4所示△P1CB1≌△B1OA1≌△A1DP2.设
OA1=a，OB1=b，反之，可以利用线段长度来表示反比例函数图象上的点的坐标，
P1（b，a+b），P2（a
+b，a），由于两点都在同一个反比例函数图象上，所以
b（a+b）=a（a+b），化简得
a=b.这样对二元二次方程就可以起到降次
消元的目的，易得
P1（2，4），P2（4，2）.现在把重点放在第二个正方形
P2P3A2B2，与前面的正方形处理思想类似，以正方形的顶点
P2、P3为基础再次构造“K字型”的两个全等三角形，设
P3（x，8/x），从而可解得点P3（23+2，23-2）.
在实际解题过程中充分利用图形的对称性，也可以对解题起到引导和启发的作用.在读题之初观察到直角坐标系、正方形
A1B1P1P2组合构成了一个轴对称图形，容易让学生一下就感觉到△B1OA1是一个等腰直角三角形，那么易得
P1（2，4），P2（4，2），再进行后续的解题.在教学中教师要经常引导学生用数学的美来看待数学图形，使他们学会利用数学美的眼光去分析问题、解决问题.
众所周知，反比例函数中有许多的基本图形与基本性质，它们呈现了数学语言的确定性、简洁性及抽象性等特点，它们不仅跟文字一样具有记录作用，也有思想交流的功能，很好地掌握并灵活应用这些基本图形与基本性质，有助于我们清楚地分析问题中的复杂关系，起到化繁为简、化难为易的良好效果.