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【摘 要】本文结合教学实例，阐述极限、微积分、数形结合、归纳比较这四种数学思想方法在物理解题中的应用，以培养学生利用数学思想方法求解物理问题的能力。
【关键词】高中物理 数学思想 知识迁移
【中圖分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）04B-0153-02
物理习题偏向于逻辑分析，而且这种逻辑分析是建立在数学关系之上的。“物理离不开数学”，解决物理问题离不开数学方法。在解决物理问题中，运用数学思想方法有时会更便捷更有效。当然在物理解题中并不是刻意地运用数学思想方法，而是要顺势而为，是一种自然的行为。下面从四个方面谈一谈运用数学思想方法解决物理问题的具体做法。
一、极限思想，助力求解
极限思想是数学中非常重要的思想，但是在高中阶段这种数学思想应用得不是很广泛，取极限的方法也不完善。在物理解题中可以不需要很高深的取极限的数学方法，但是一定要有极限的思想。
以一个案例进行说明。
在一个足够长的竖直墙面上，设置一个点光源 S，距离光源 d 处有一个平面镜 O，镜子中心与光源在同一水平线上。初始状态下镜子平面与墙面平行。当平面镜以角速度 w 绕中心匀速转动时，光源经平面镜反射的光斑在墙面上会上下移动。经过时间 t 后，光斑 P 在墙壁上移动的速度是多少？
分析这道题目，我们可以发现，光斑在墙面上的移动情况不是匀速运动，不能用位移与时间的比值直接求得。我们反观速度的表达式，可以了解到瞬时速度，它实际上是时间取无穷小时的情况，用表达式表示为 （当 t2 和 t1 非常接近时的情况），即 。因此，解决这道问题时，我们就可以换一种思路，采取导数的方法进行求解。经过时间 t，光斑在墙面上的位移为 s。当时间为 t 时，反射光线转过的角度 θ1=wt。经分析几何关系知，SO 与 OP 的夹角 θ2=2θ1。在三角形 SOP 中，可得 S=d tanθ2=d tan（2wt）。对上式进行求导，可得光斑 P 的移动速度。对于求解速度，实际上是求解瞬时速度，瞬时速度的物理意义决定了它可以运用取极限的导数方法来进行求解。
在求解某一种特定物理状态时利用数学中的极限思想非常有效，在这一特定状态下，需要求解的未知量往往是瞬时的。由于没有一个过程可供分析，所以取极限可以说是快捷而又精确的方法。
二、微分积分，明晰过程
导数、微分的方法将很多问题的求解过程进行了简化，但归根结底，微分的目的是为了积分，因此，适当运用积分的方法解决问题也非常有效。高中阶段所学的积分方法是比较简单的，而物理问题中的数学方法也不是特别困难。在求解物体位移的问题上，可以利用简易积分的方法来进行求解。
以足球的例子进行说明。
假设在一次足球训练当中，某时刻有一个运动中的足球，它的初始速度为 20 m/s，以 2 m/s2 的加速度进行匀减速直线运动。求解足球在 5 s 后的位移是多少。
我们可以运用常规的平均速度法进行求解，由于运动过程为匀变速运动，因此可设足球的平均速度为 v，初始速度为 v0，5 s 后的速度为 v1，加速度为 a。由速度与加速度的关系 v=at，得 v平均=；位移 s=v平均t=25×5=125 m。将物体的运动过程进行等效转化，是物理学解决问题的主要手段，也是分析能力的体现。但是在本题中，速度与加速度的关系已知，要求解位移，我们可以运用数学的思维方法，即采用积分的方法。速度是位移关于时间的函数，因此速度在时间上的积分就是位移。从另一个角度讲，微积分是用简单的数学公式来表达复杂的变化过程，实现了根源化。本题用积分的方法进行求解时，可得 ，结果与上述解法完全相同，但运算更简单。
位移问题只是众多物理题目中相对简单的一个，在这种情况下练习运用简单的积分来求解物理问题，对学生来说是一种锻炼的机会，也是一个锻炼的过程。循序渐进，学生在不断的实践中会慢慢地掌握用微积分思想来解决物理问题的方法。
三、数形结合，多元关联
物理学中的一个特色就是分析物体之间的各种等式关系，有时可借助于数学定理，有时可依赖几何分析。我们在解决一些难度较大的物理问题时，需要多元建立等式关系，以数形结合的思想来求解问题。
教学中有一个经典的题目，叫做绳子拉船问题。很多学生苦于其中的数量关系难以建立，因此对此题理解起来比较困难。如果我们换一种思路，借助几何关系，运用数形结合的思想进行解题，那么就可以建立等式关系。引入一个例题如下。
如图所示，在高度为 h 的河岸上，一人用绕过定滑轮 O 的轻质细绳匀速拉动水面上的一条小船。假设人拉动船的速度大小为 v。当绳子 OA 与水平面的夹角为 θ 时，此时小船的速度为多少？
要解这个题目，首先要假设一系列的变量，然后逐一地进行求解，最后才能得到答案。这是一个比较复杂的过程，因此我们可以借助几何学方法来进行求解。设小船距离岸边的长度为 x，绳子 OA 的长度为 r。根据勾股定理，我们对 h，x 和 r 列出等式关系 h2+x2=r2 。针对上式，对时间求导，。代入已知的数量关系，得出 v船与 v 的关系为 v船=，再由几何关系 ，最终可得 v船=。如此一来，本身比较难以分析的题目就迎刃而解了。这个题目主要利用几何关系来建立等式，运用速度合成分解的方式进行求解，充分地体现了物理与数学之间的密切关系。
在一些物理习题中应用几何图形的方法来进行分析是必不可少的，有时一个几何关系就是解决物理问题的一把钥匙。通过数形结合的方法，多元建立起逻辑联系，可以极大地拓宽解题思路。图形、数字双管齐下，物理解题更有效。
四、归纳比较，提炼规律
数学归纳法在解决数学问题中的数列、规律题目中有广泛的应用，成为一种必备的数学逻辑思维。在高中物理问题中往往具有一定的规律性，抓住物理问题的规律，进行归纳、比较、分析，就能提炼出解决物理问题的方法，避免繁琐的计算。
比如在常规的运动问题中，物体运动的过程是主要的研究对象。在此过程中，物体的速度、加速度等都会发生变化。这也经常成为问题的关键点，解题的难点。我们以一道实际的题目为例进行分析。
一个可视为质点的物体，从原点出发，以静止的初始状态开始进行匀加速直线运动。初始的加速度为 a，在经历了 t 时间之后，此时加速度变为了 2a；又经历了一个 t 时间，加速度变为了 3a，以此类推。请问在 nt 时刻，物体的瞬时速度为多少？
分析这道题目可以发现，加速度的变化是有规律可循的，但题目描述得不够明确，需要我们进一步总结归纳。根据题目中所给条件，在 t 时刻，物体的加速度为 2a。在 2t 时刻，物体的加速为 3a，由此我们可以总结出规律，在 nt 时刻，物体的加速度为（n+1）a。我们进而推测速度遵循的规律，进行数学归纳推理。在 t 时刻，物体的速度为 v1=at。在 2t 时刻，物体的速度 v2=at+2at=3at。在 3t 时刻，物体的速度 v3=at+2at+3at=6at。我们进而可以归纳，nt 时刻的速度为 。
物理习题中的一些问题也是有规律可循的，摸清了物理习题中一些问题的规律就能够有效地解题。一般来说，在物理题目中能利用到数学规律的是比较难遇到的，但是一旦遇到就要精准把握。物理问题的核心在于逻辑分析，把握其中的规律将会极大地提高解题效率。
综上所述，数学思想在物理解题中的应用十分广泛。巧妙迁移数学思想，是有效解决物理问题的重要方法。在教学中，教师需要适当渗透这种解题思想，培养学生利用数学思想方法求解物理问题的能力。
【参考文献】
[1]何继兰.物理离不开数学[J].数理化学习，2013（1）
[2]曹先俊，张中贤.导数、积分在高中物理中简单应用[J].运城高等专科学校学报，2000（1）
[3]殷 勇.导数和微分在高中物理中的应用[J].数理化学习，2014（6）
（责编 卢建龙）
【关键词】高中物理 数学思想 知识迁移
【中圖分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）04B-0153-02
物理习题偏向于逻辑分析，而且这种逻辑分析是建立在数学关系之上的。“物理离不开数学”，解决物理问题离不开数学方法。在解决物理问题中，运用数学思想方法有时会更便捷更有效。当然在物理解题中并不是刻意地运用数学思想方法，而是要顺势而为，是一种自然的行为。下面从四个方面谈一谈运用数学思想方法解决物理问题的具体做法。
一、极限思想，助力求解
极限思想是数学中非常重要的思想，但是在高中阶段这种数学思想应用得不是很广泛，取极限的方法也不完善。在物理解题中可以不需要很高深的取极限的数学方法，但是一定要有极限的思想。
以一个案例进行说明。
在一个足够长的竖直墙面上，设置一个点光源 S，距离光源 d 处有一个平面镜 O，镜子中心与光源在同一水平线上。初始状态下镜子平面与墙面平行。当平面镜以角速度 w 绕中心匀速转动时，光源经平面镜反射的光斑在墙面上会上下移动。经过时间 t 后，光斑 P 在墙壁上移动的速度是多少？
分析这道题目，我们可以发现，光斑在墙面上的移动情况不是匀速运动，不能用位移与时间的比值直接求得。我们反观速度的表达式，可以了解到瞬时速度，它实际上是时间取无穷小时的情况，用表达式表示为 （当 t2 和 t1 非常接近时的情况），即 。因此，解决这道问题时，我们就可以换一种思路，采取导数的方法进行求解。经过时间 t，光斑在墙面上的位移为 s。当时间为 t 时，反射光线转过的角度 θ1=wt。经分析几何关系知，SO 与 OP 的夹角 θ2=2θ1。在三角形 SOP 中，可得 S=d tanθ2=d tan（2wt）。对上式进行求导，可得光斑 P 的移动速度。对于求解速度，实际上是求解瞬时速度，瞬时速度的物理意义决定了它可以运用取极限的导数方法来进行求解。
在求解某一种特定物理状态时利用数学中的极限思想非常有效，在这一特定状态下，需要求解的未知量往往是瞬时的。由于没有一个过程可供分析，所以取极限可以说是快捷而又精确的方法。
二、微分积分，明晰过程
导数、微分的方法将很多问题的求解过程进行了简化，但归根结底，微分的目的是为了积分，因此，适当运用积分的方法解决问题也非常有效。高中阶段所学的积分方法是比较简单的，而物理问题中的数学方法也不是特别困难。在求解物体位移的问题上，可以利用简易积分的方法来进行求解。
以足球的例子进行说明。
假设在一次足球训练当中，某时刻有一个运动中的足球，它的初始速度为 20 m/s，以 2 m/s2 的加速度进行匀减速直线运动。求解足球在 5 s 后的位移是多少。
我们可以运用常规的平均速度法进行求解，由于运动过程为匀变速运动，因此可设足球的平均速度为 v，初始速度为 v0，5 s 后的速度为 v1，加速度为 a。由速度与加速度的关系 v=at，得 v平均=；位移 s=v平均t=25×5=125 m。将物体的运动过程进行等效转化，是物理学解决问题的主要手段，也是分析能力的体现。但是在本题中，速度与加速度的关系已知，要求解位移，我们可以运用数学的思维方法，即采用积分的方法。速度是位移关于时间的函数，因此速度在时间上的积分就是位移。从另一个角度讲，微积分是用简单的数学公式来表达复杂的变化过程，实现了根源化。本题用积分的方法进行求解时，可得 ，结果与上述解法完全相同，但运算更简单。
位移问题只是众多物理题目中相对简单的一个，在这种情况下练习运用简单的积分来求解物理问题，对学生来说是一种锻炼的机会，也是一个锻炼的过程。循序渐进，学生在不断的实践中会慢慢地掌握用微积分思想来解决物理问题的方法。
三、数形结合，多元关联
物理学中的一个特色就是分析物体之间的各种等式关系，有时可借助于数学定理，有时可依赖几何分析。我们在解决一些难度较大的物理问题时，需要多元建立等式关系，以数形结合的思想来求解问题。
教学中有一个经典的题目，叫做绳子拉船问题。很多学生苦于其中的数量关系难以建立，因此对此题理解起来比较困难。如果我们换一种思路，借助几何关系，运用数形结合的思想进行解题，那么就可以建立等式关系。引入一个例题如下。
如图所示，在高度为 h 的河岸上，一人用绕过定滑轮 O 的轻质细绳匀速拉动水面上的一条小船。假设人拉动船的速度大小为 v。当绳子 OA 与水平面的夹角为 θ 时，此时小船的速度为多少？
要解这个题目，首先要假设一系列的变量，然后逐一地进行求解，最后才能得到答案。这是一个比较复杂的过程，因此我们可以借助几何学方法来进行求解。设小船距离岸边的长度为 x，绳子 OA 的长度为 r。根据勾股定理，我们对 h，x 和 r 列出等式关系 h2+x2=r2 。针对上式，对时间求导，。代入已知的数量关系，得出 v船与 v 的关系为 v船=，再由几何关系 ，最终可得 v船=。如此一来，本身比较难以分析的题目就迎刃而解了。这个题目主要利用几何关系来建立等式，运用速度合成分解的方式进行求解，充分地体现了物理与数学之间的密切关系。
在一些物理习题中应用几何图形的方法来进行分析是必不可少的，有时一个几何关系就是解决物理问题的一把钥匙。通过数形结合的方法，多元建立起逻辑联系，可以极大地拓宽解题思路。图形、数字双管齐下，物理解题更有效。
四、归纳比较，提炼规律
数学归纳法在解决数学问题中的数列、规律题目中有广泛的应用，成为一种必备的数学逻辑思维。在高中物理问题中往往具有一定的规律性，抓住物理问题的规律，进行归纳、比较、分析，就能提炼出解决物理问题的方法，避免繁琐的计算。
比如在常规的运动问题中，物体运动的过程是主要的研究对象。在此过程中，物体的速度、加速度等都会发生变化。这也经常成为问题的关键点，解题的难点。我们以一道实际的题目为例进行分析。
一个可视为质点的物体，从原点出发，以静止的初始状态开始进行匀加速直线运动。初始的加速度为 a，在经历了 t 时间之后，此时加速度变为了 2a；又经历了一个 t 时间，加速度变为了 3a，以此类推。请问在 nt 时刻，物体的瞬时速度为多少？
分析这道题目可以发现，加速度的变化是有规律可循的，但题目描述得不够明确，需要我们进一步总结归纳。根据题目中所给条件，在 t 时刻，物体的加速度为 2a。在 2t 时刻，物体的加速为 3a，由此我们可以总结出规律，在 nt 时刻，物体的加速度为（n+1）a。我们进而推测速度遵循的规律，进行数学归纳推理。在 t 时刻，物体的速度为 v1=at。在 2t 时刻，物体的速度 v2=at+2at=3at。在 3t 时刻，物体的速度 v3=at+2at+3at=6at。我们进而可以归纳，nt 时刻的速度为 。
物理习题中的一些问题也是有规律可循的，摸清了物理习题中一些问题的规律就能够有效地解题。一般来说，在物理题目中能利用到数学规律的是比较难遇到的，但是一旦遇到就要精准把握。物理问题的核心在于逻辑分析，把握其中的规律将会极大地提高解题效率。
综上所述，数学思想在物理解题中的应用十分广泛。巧妙迁移数学思想，是有效解决物理问题的重要方法。在教学中，教师需要适当渗透这种解题思想，培养学生利用数学思想方法求解物理问题的能力。
【参考文献】
[1]何继兰.物理离不开数学[J].数理化学习，2013（1）
[2]曹先俊，张中贤.导数、积分在高中物理中简单应用[J].运城高等专科学校学报，2000（1）
[3]殷 勇.导数和微分在高中物理中的应用[J].数理化学习，2014（6）
（责编 卢建龙）