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摘 要：文章以带有表面散射栅结构的声子晶体为例，探讨了计算机仿真模拟在《理论声学》教学中的应用。基于COMSOL Multiphysics软件，利用有限元方法数值计算了表面栅声子晶体的透射性质，结果表明添加表面栅能有效实现声波的相空间调控，并以此为基础在声子晶体带隙频率范围内实现了声波的定向激发。这种基于仿真模拟的教学模式有利于抽象概念的形象化，具有较好的教学效果。
关键词：计算机仿真教学；多物理有限元模拟；散射栅声子晶体
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）16-0072-02
Abstract： Taking photonic crystals with surface scattering gratings， this paper discusses the application of computer simulation in the teaching of "Theoretical Acoustics". On the basis of COMSOL Multiphysics software， this paper works out the transmitting properties of photonic crystals with surface scattering by using the finite element method.. It is demonstrated that acoustic phase modulation can be achieved by adding scattering gratings in a sonic crystal. Based on this mechanism， directional excitation of sound wave is fully realized within the gap frequency of photonic crystals. Such an analog-simulation-based teaching mode makes the abstract concept pictorial， thus will be effective and helpful in teaching process.
Keywords： computer simulation teaching； Multiphysics finite element simulation； sonic crystal with scattering grating
一、概述
聲波在周期性复合介质（即声子晶体）中的传播行为是《理论声学》课程中非常重要的一块教学内容。声波在声子晶体中传播时，受到单体麦氏散射和周期性布拉格散射的共同作用，形成独特的能带结构。如何在能带结构对应的相空间实现声波调控是教学中的一大难点。比如，学生通常很难理解声子晶体模式在表面栅结构散射下波矢量平行分量的增加效应。文章提出在声子晶体教学中引入计算机仿真模拟[1，2]，基于COMSOL Multiphysics软件开展有限元数值计算，以带有表面散射栅的声子晶体的透射性质为例，向学生清晰展示了通过添加表面栅结构实现的声波相空间的有效调控，并以此为基础在声子晶体带隙频率范围内实现了声波的定向激发，为新型声学器件的设计提供了有意的理论指导[3-9]。在这种仿真模拟教学环境下，学生能很方便的自主设置各种参数并查看结果，有利于加深学生对声波在复合介质中折射性质的理解和掌握，具有较好的教学效果。
二、仿真教学模型的设计及结果分析
我们考虑一个由水圆柱四方排列于水银基体中而形成的二维声子晶体，水圆柱的半径被设定为0.4mm，晶体排列的周期被设定为a=1mm。首先我们利用COMSOL Multiphysics有限元软件数值计算了该声子晶体的带结构，图1给出了计算所得的第一条能带。在计算中所用的材料参数如下：水银的密度为p=1.35×104kg/m3、纵波波速为c=1.45×103m/s；水的密度为p=1.0×103kg/m3、纵波波速为cw=1.49×103m/s。从图中可以看到，该声子晶体在归一化频率0.2到0.28之间存在着一个沿X方向的方向带隙。根据作者多年的教学经验，此时，在参照《理论声学》中有关声波带隙的知识点“晶体中的带隙是声波被禁止传播的频率范围”后，多数学生很容易武断地得出结论，认为位于此频率范围的声波在任何情况下都不能沿着晶体的X方向传播。事实上，通过引入表面栅结构，入射声波波矢的平行分量将获得增量，这种相空间的调制作用将使晶体中原本禁止声波传播的方向变为允许传播的状态，从而实现由禁带向导带的转变。在传统的教学中，带有表面栅结构的声子晶体其色散计算比较复杂，很难给出解析结果，通常只能通过光学中的光栅方程作简单的类比，于是进一步向学生分析以上“由禁带向导带”的转变将变得比较困难。
在此，我们提出利用基于COMSOL Multiphysics软件的有限元方法数值计算带有表面栅结构的声子晶体色散性质，利用该软件的“本征模态分析”模块可以计算出声子晶体本征模式相空间的等频色散线图。该图保留了声子晶体相空间中的所有模式信息，并可利用COMSOL软件非常方面地调出每一个单独模式进行分析，从而进一步确定每种模式对应的物理图像。具体过程如下，我们在一块沿着X方向排列的声子晶体板系统中引入如图2（a）所示的散射栅结构。该散射栅结构由位于声子晶体板左右两侧对称分布的两排水圆柱组成。散射栅的半径被设定为0.24mm，栅结构沿着平行于声子晶体板方向的周期为2mm（等于两倍晶体周期），栅结构与声子晶体板之间的距离被设定为0.15mm。考虑归一化频率为0.2694的声波从图2（a）中左面入射。在没有散射栅结构时，入射声波将遇到晶体-基体沿X方向的界面。图2（b）中深黑色的虚线半圆给出了归一化频率为0.2694的声波在水银基体中的等频色散线，图2（b）中实线圆则代表该频率下声子晶体中对应的等频色散线。从图2（b）中我们可以看出，由于此时频率较低，声波在水银基体中的等频色散圆沿X方向与晶体中等频色散线没有任何交点，这意味着当没有散射栅时，在该频率下从基体中以任意角度入射的声波都将在声子晶体板界面被全反射，这一分析结果验证了我们从图1中获得的带隙结论（此时的分析结果与学生在课本中学习到的带隙的概念是一致的）；当存在散射栅时，由于栅结构在平行晶体板方向具有周期性，栅结构带来的周期性散射使得入射波矢的平行分量获得一个增量？啄k=n（2？仔/T），此处T=2a为散射栅沿平行晶体方向的周期，n为任意整数。对于一阶情形（n=1），当频率为0.2694时，从基体中以任意角度入射的声波首先将在左侧散射栅的作用下获得一个平行于晶体界面的波矢增量？啄k=0.5（2？仔/a），这在图2（b）中相当于左侧的深黑色虚线半圆集体向上平移了0.5（2？仔/a）的距离，于是本来该全反射的入射声波将按照广义的折射定律参照图2（b）中的晶体等频色散线（实线圆）发生折射。根据作者的教学经验，通常分析至此时，学生已经能够对由散射栅导致的“禁带向导带”的转变有了一个较为清楚的认识。我们进一步注意到，在该频率下实线圆半径相对于深黑色虚线半圆来说比较小，而且此时晶体中等频色散线随频率增加逐渐向M点汇聚（形成以M点为中心的负折射色散态），也就是说，此时入射声波将受到晶体的微量负折射作用。于是，如果在图2（a）中复合体系的左侧放置一个频率为0.2694的点源，在声子晶体和散射栅的共同作用下，在复合体系的右侧我们将得到一束具有准直效果的出射声波[10]。为了验证以上分析，我们利用有限元方法数值模拟了图2（a）中复合体系对频率为0.2694的输入点源的作用效果，结果由图2（c）给出。从图中可以看到，在散射栅——声子晶体复合系统的作用下，我们得到了较好的声定向激发效果。以上的数值分析模拟过程能够使学生对本节教学内容产生形象的认识，从而加深他们对表面栅的相空间调控这一知识难点的理解和掌握。 三、結束语
计算机仿真教学能有效帮助学生形成对知识点的形象认识，是一项攻克知识难点的强有力的教学手段。文章以声子晶体表面栅结构对声波相空间的调控作用这一知识难点为例，探讨了仿真模拟教学在《理论声学》课程中的应用，通过将难以理解的知识点转化为模拟结果中生动形象的仿真结果，得到了较好的教学效果。
参考文献
[1]邢敏，黄岚.计算机模拟仿真教学的研究与实践[J].现代教育科学，2007，1：152.
[2]丘锡彬，唐昌建.基于计算机模拟技术的现代物理学教学研究[J].高等理科教育，2010，6，74.
[3]J. O. Vasseur， P. A. Deymier， B. Chenni et al.， Experimental and Theoretical Evidence for the Existence of Absolute Acoustic Band Gaps in Two-Dimensional Solid Phononic Crystals， Phys. Rev. Lett. 86， 3012（2001）.
[4]S. Yang， J. H. Page， Z. Liu et al.， Ultrasound Tunneling through 3D Phononic Crystals， Phys. Rev. Lett. 88， 104301（2002）.
[5]M. Ke， Z. Liu， C. Qiu et al.， Negative-refraction imaging with two-dimensional phononic crystals， Phys. Rev. B 72，064306（2005）.
[6]J. Li， Z. Liu， and C. Qiu， Negative refraction imaging of acoustic waves by a two-dimensional three-component phononic crystal， Phys. Rev. B 73， 054302（2006）.
[7]C. Y. Qiu， X. D. Zhang， and Z. Y. Liu， Far-field imaging of acoustic waves by a two-dimensional sonic crystal， Phys. Rev. B 71，054302（2005）.
[8]K. Deng， Y. Q. Ding， Z. J. He， et al， Graded negative index lens with designable focal length by phononic crystal， J. Phys. D： Appl. Phys. 42，185505（2009）.
[9]Z. He， K. Deng， H. Zhao， and X. Li， Designable hybrid sonic crystals for transportation and division of acoustic images， Appl. Phys. Lett. 101， 243510（2012）.
[10]Z. He， Y. Heng， S. Peng， Y. Ding， M. Ke， and Z. Liu， Acoustic collimating beams by negative refraction in two-dimen sional phononic crystal， J. Appl. Phys. 105， 116105（2009）.
关键词：计算机仿真教学；多物理有限元模拟；散射栅声子晶体
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）16-0072-02
Abstract： Taking photonic crystals with surface scattering gratings， this paper discusses the application of computer simulation in the teaching of "Theoretical Acoustics". On the basis of COMSOL Multiphysics software， this paper works out the transmitting properties of photonic crystals with surface scattering by using the finite element method.. It is demonstrated that acoustic phase modulation can be achieved by adding scattering gratings in a sonic crystal. Based on this mechanism， directional excitation of sound wave is fully realized within the gap frequency of photonic crystals. Such an analog-simulation-based teaching mode makes the abstract concept pictorial， thus will be effective and helpful in teaching process.
Keywords： computer simulation teaching； Multiphysics finite element simulation； sonic crystal with scattering grating
一、概述
聲波在周期性复合介质（即声子晶体）中的传播行为是《理论声学》课程中非常重要的一块教学内容。声波在声子晶体中传播时，受到单体麦氏散射和周期性布拉格散射的共同作用，形成独特的能带结构。如何在能带结构对应的相空间实现声波调控是教学中的一大难点。比如，学生通常很难理解声子晶体模式在表面栅结构散射下波矢量平行分量的增加效应。文章提出在声子晶体教学中引入计算机仿真模拟[1，2]，基于COMSOL Multiphysics软件开展有限元数值计算，以带有表面散射栅的声子晶体的透射性质为例，向学生清晰展示了通过添加表面栅结构实现的声波相空间的有效调控，并以此为基础在声子晶体带隙频率范围内实现了声波的定向激发，为新型声学器件的设计提供了有意的理论指导[3-9]。在这种仿真模拟教学环境下，学生能很方便的自主设置各种参数并查看结果，有利于加深学生对声波在复合介质中折射性质的理解和掌握，具有较好的教学效果。
二、仿真教学模型的设计及结果分析
我们考虑一个由水圆柱四方排列于水银基体中而形成的二维声子晶体，水圆柱的半径被设定为0.4mm，晶体排列的周期被设定为a=1mm。首先我们利用COMSOL Multiphysics有限元软件数值计算了该声子晶体的带结构，图1给出了计算所得的第一条能带。在计算中所用的材料参数如下：水银的密度为p=1.35×104kg/m3、纵波波速为c=1.45×103m/s；水的密度为p=1.0×103kg/m3、纵波波速为cw=1.49×103m/s。从图中可以看到，该声子晶体在归一化频率0.2到0.28之间存在着一个沿X方向的方向带隙。根据作者多年的教学经验，此时，在参照《理论声学》中有关声波带隙的知识点“晶体中的带隙是声波被禁止传播的频率范围”后，多数学生很容易武断地得出结论，认为位于此频率范围的声波在任何情况下都不能沿着晶体的X方向传播。事实上，通过引入表面栅结构，入射声波波矢的平行分量将获得增量，这种相空间的调制作用将使晶体中原本禁止声波传播的方向变为允许传播的状态，从而实现由禁带向导带的转变。在传统的教学中，带有表面栅结构的声子晶体其色散计算比较复杂，很难给出解析结果，通常只能通过光学中的光栅方程作简单的类比，于是进一步向学生分析以上“由禁带向导带”的转变将变得比较困难。
在此，我们提出利用基于COMSOL Multiphysics软件的有限元方法数值计算带有表面栅结构的声子晶体色散性质，利用该软件的“本征模态分析”模块可以计算出声子晶体本征模式相空间的等频色散线图。该图保留了声子晶体相空间中的所有模式信息，并可利用COMSOL软件非常方面地调出每一个单独模式进行分析，从而进一步确定每种模式对应的物理图像。具体过程如下，我们在一块沿着X方向排列的声子晶体板系统中引入如图2（a）所示的散射栅结构。该散射栅结构由位于声子晶体板左右两侧对称分布的两排水圆柱组成。散射栅的半径被设定为0.24mm，栅结构沿着平行于声子晶体板方向的周期为2mm（等于两倍晶体周期），栅结构与声子晶体板之间的距离被设定为0.15mm。考虑归一化频率为0.2694的声波从图2（a）中左面入射。在没有散射栅结构时，入射声波将遇到晶体-基体沿X方向的界面。图2（b）中深黑色的虚线半圆给出了归一化频率为0.2694的声波在水银基体中的等频色散线，图2（b）中实线圆则代表该频率下声子晶体中对应的等频色散线。从图2（b）中我们可以看出，由于此时频率较低，声波在水银基体中的等频色散圆沿X方向与晶体中等频色散线没有任何交点，这意味着当没有散射栅时，在该频率下从基体中以任意角度入射的声波都将在声子晶体板界面被全反射，这一分析结果验证了我们从图1中获得的带隙结论（此时的分析结果与学生在课本中学习到的带隙的概念是一致的）；当存在散射栅时，由于栅结构在平行晶体板方向具有周期性，栅结构带来的周期性散射使得入射波矢的平行分量获得一个增量？啄k=n（2？仔/T），此处T=2a为散射栅沿平行晶体方向的周期，n为任意整数。对于一阶情形（n=1），当频率为0.2694时，从基体中以任意角度入射的声波首先将在左侧散射栅的作用下获得一个平行于晶体界面的波矢增量？啄k=0.5（2？仔/a），这在图2（b）中相当于左侧的深黑色虚线半圆集体向上平移了0.5（2？仔/a）的距离，于是本来该全反射的入射声波将按照广义的折射定律参照图2（b）中的晶体等频色散线（实线圆）发生折射。根据作者的教学经验，通常分析至此时，学生已经能够对由散射栅导致的“禁带向导带”的转变有了一个较为清楚的认识。我们进一步注意到，在该频率下实线圆半径相对于深黑色虚线半圆来说比较小，而且此时晶体中等频色散线随频率增加逐渐向M点汇聚（形成以M点为中心的负折射色散态），也就是说，此时入射声波将受到晶体的微量负折射作用。于是，如果在图2（a）中复合体系的左侧放置一个频率为0.2694的点源，在声子晶体和散射栅的共同作用下，在复合体系的右侧我们将得到一束具有准直效果的出射声波[10]。为了验证以上分析，我们利用有限元方法数值模拟了图2（a）中复合体系对频率为0.2694的输入点源的作用效果，结果由图2（c）给出。从图中可以看到，在散射栅——声子晶体复合系统的作用下，我们得到了较好的声定向激发效果。以上的数值分析模拟过程能够使学生对本节教学内容产生形象的认识，从而加深他们对表面栅的相空间调控这一知识难点的理解和掌握。 三、結束语
计算机仿真教学能有效帮助学生形成对知识点的形象认识，是一项攻克知识难点的强有力的教学手段。文章以声子晶体表面栅结构对声波相空间的调控作用这一知识难点为例，探讨了仿真模拟教学在《理论声学》课程中的应用，通过将难以理解的知识点转化为模拟结果中生动形象的仿真结果，得到了较好的教学效果。
参考文献
[1]邢敏，黄岚.计算机模拟仿真教学的研究与实践[J].现代教育科学，2007，1：152.
[2]丘锡彬，唐昌建.基于计算机模拟技术的现代物理学教学研究[J].高等理科教育，2010，6，74.
[3]J. O. Vasseur， P. A. Deymier， B. Chenni et al.， Experimental and Theoretical Evidence for the Existence of Absolute Acoustic Band Gaps in Two-Dimensional Solid Phononic Crystals， Phys. Rev. Lett. 86， 3012（2001）.
[4]S. Yang， J. H. Page， Z. Liu et al.， Ultrasound Tunneling through 3D Phononic Crystals， Phys. Rev. Lett. 88， 104301（2002）.
[5]M. Ke， Z. Liu， C. Qiu et al.， Negative-refraction imaging with two-dimensional phononic crystals， Phys. Rev. B 72，064306（2005）.
[6]J. Li， Z. Liu， and C. Qiu， Negative refraction imaging of acoustic waves by a two-dimensional three-component phononic crystal， Phys. Rev. B 73， 054302（2006）.
[7]C. Y. Qiu， X. D. Zhang， and Z. Y. Liu， Far-field imaging of acoustic waves by a two-dimensional sonic crystal， Phys. Rev. B 71，054302（2005）.
[8]K. Deng， Y. Q. Ding， Z. J. He， et al， Graded negative index lens with designable focal length by phononic crystal， J. Phys. D： Appl. Phys. 42，185505（2009）.
[9]Z. He， K. Deng， H. Zhao， and X. Li， Designable hybrid sonic crystals for transportation and division of acoustic images， Appl. Phys. Lett. 101， 243510（2012）.
[10]Z. He， Y. Heng， S. Peng， Y. Ding， M. Ke， and Z. Liu， Acoustic collimating beams by negative refraction in two-dimen sional phononic crystal， J. Appl. Phys. 105， 116105（2009）.