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[摘 要]本文论述了高等数学教学的弊端、实行数学模型案例法的意义、.数学模型案例的构建过程。
[关键词]数学模型案例；高等数学；运用
中图分类号：TQ018 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）36-0215-01
现代社会已进入科技引领社会发展的时代，自然科学和社会科学都获得了长足进展，人们的工作和生活也进入信息化、自动化、科学化的时代，这一切成就的获得都有数学在发挥着作用，可以这样说没有数学科学的发展就没有今天的社会进步，数学在当今成为科学技术的基石。
一、高等数学教学的弊端
1、教学思想和方法落后
大学教师认为大学生年龄接近成年，自治能力较强，在教学的过程中不用考虑学生的学习兴趣，造成教师在教学设计的过程中不考虑学生的基础和学习感受，教学过程还是填鸭式的满堂灌，大学一般都是两节课连排，两个小时老师一直不停的概念、定义的介绍，定理的证明，计算推导，学生感到的都是数学课的枯燥和乏味，造成对数学的厌学情绪[1]。
2、缺乏实践性
学习高等数学的作用除了培养学生的逻辑思维能力外，其实对于大多数学生来说学习数学的主要作用在于利用数学解决生产生活中的涉及数学的问题。但是在高等数学教学中老师并没有积极的融人实际问题，造成学生普遍对高等数学的实际应用价值认识不足，不能领悟到数学的魅力，最终导致学生学习缺乏目标和动力。
二、实行数学模型案例法的意义
面对上述的高等数学教育中出现的问题，高校教师有必要改变自己的教学模式，而数学模型案例法已受到教育专家的肯定和一线教师的欢迎，对改变传统高校数学教学的呆板沉闷有重要意义。
1、突出实用性特点有利于提升学生学习兴趣
由于就业压力的逐步增大，对大学生来说其学习带有非常强的目的性，如果让他感到学习是有用的就会激起学习热情和兴趣，如果认识不到学习数学的应用价值，就会对其学习懈怠。实行数学模型案例法教学的过程中，选取的模型一般都是生产、生活中的实际问题，在解决问题的过程中学生体会到数学的应用价值，因而能激发学生的学习热情。同时在数学模型案例教学中，需要调到学生主动的参与到模型构建过程中，学生成了学习的主人，在学习中处于主体地位也有利于提升学生学习兴趣[2]。
2、模型构建中培养学生理论联系实际的能力
问题的解决过程本身就是理论联系实际的过程，也是结合所学的数学知识，通过对具体案例的分析，构建一个解决问题的模型的过程。因此在高等数学的教学中引入数学模型案例教学，能帮助学生独立分析复杂的实际问题，抽离出涉及到的数学问题并通过数学模型的构建去解决实际的问题。在这个过程中即实现了培养学生理论联系实际对问题解决的能力，也培养了学生具体问题具体分析的创新能力。
3、模型构建的过程中有利于培养学生的综合素质
现代社会的用人的理念已经变得非常务实，不再注重文凭，而是侧重人才的综合素质。综合素质包括其专业知识、专业技能、解决实际问题的能力；组织管理能力、表达能力等多种能力的综合体。在数学建模的过程中也需要学生对具体问题分析、并利用这些知识解决问题、在这个过程中即巩固了知识又提高了解决问题的能力，也培养了学生通过恰当的途径进行表达的能力，同时这一过程中，学生易于形成实事求是的态度，养成良好的学习习惯，为学生的自主学习打下良好的基础，因此最终通过数学建模过程培养了学生的综合素质，实现了学生素质的全面发展[3]。
三、数学模型案例的构建过程和典例
1、数学模型案例的构建过程
（1）根据学习内容寻找典型案例，在对案例分析的基础上提出问题；（2）建模假设：作为.数学模型案例的原型都是复杂的、具体的，是质和量、现象和本质、偶然和必然的统一体。为了便于建立模型必须把它抽象化，抓住问题的本质忽略次要无关因素，形成对建模有用的信息资源和前提条件。（3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，首先区分哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知的量，哪些是未知的量，然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型。（4）模型分析与求解： 构造数学模型之后， 根据已知条件和数据的分析，结合模型的适用范围和模型的结构特点，并进行计算求解。（5）模型检验与应用：模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验。因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用[4]。
2、哥尼斯堡七桥典型案例
（1）哥尼斯堡七桥问题：有一位哥尼斯堡人向大数学家欧拉提出了这样一个问题：在图1中，每座桥只许走一次，能否一次把所有桥走遍？如果可以走遍，应如何走？
（2）模型建立
我们的任务就是否一笔画出像如图2那样的由七条线四个点组成的图形。
（3）模型假设
為方便记，克内霍夫岛记A，河左岸的陆地记B，右岸的陆地记做C，上游两条支流之间的陆地记做D，我们将陆地视为平面上的一个点，而将桥视为连接陆地的边。
（4）模型分析与求解
不论以那一点作为起点或终点，在点A，B，C，D中至少有两点是中途点每穿过一次这样的点， 就要画一条进入的和一条离开的线，即画两条线，现在图中每个点处有三条或五条线，所以总要留下一条线没有画到。另一方面，一个图要在每个点处都有偶数条线，或只有两个例外的点处有奇数条线，那么只要它的各部分是连通的，就可以一笔画成。要证明偶点的情形，我们可以从任意一点开始.因为在每一个点处有进入的线就有离开的线，所以无论我们选择什么样的画法，整个路线必定以出发点作为终点。我们可以把整个路线看作一条闭合曲线；如果图上留下一部分未被画到，那么它也必定在某个点A处与路线连接；在点A处应有偶数条线属于已画的，此外，还有偶数条线未被画到。现在让我们从A处开始并以A为终点来画闭合曲线。因为A同时也属于另一部分，所以我们又可以画出另一条从A到A的闭合曲线，容易看出，具有公共点A的两条闭合曲线可以看作一条闭合曲线如果图仍未画完，那么这新的闭合曲线必定在某个点B处与其他部分连接；重新应用上面的推理，最后总能导致问题的彻底解决.有两个例外的奇阶点的情形，可以做类似讨论。我们只要从一个例外的点O开始，明显的是，无论怎样选择路线，它将总是以另一个奇阶点P作为终点.图的剩下部分不再有例外的点；因此有一条闭合曲线在某个点B处与第一条路线O—P连接。现在可以从点O开始先沿O—P到点B，然后沿闭合曲线回到点B，在沿第一条路线走完B—P。
（5）通过模型推导出定理：一个图能够不重复的一笔划出的充分必要条件是图重无奇阶点或者恰有两奇阶点。
参考文献
[1] 富成华，崔殿军.高职高等数学“案例与实验”教学法初探[J].辽宁高职学报.2009（06）.
[2] 武菊.案例教学在高等数学教学中的运用[J].内江科技.2012（09）.
[关键词]数学模型案例；高等数学；运用
中图分类号：TQ018 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）36-0215-01
现代社会已进入科技引领社会发展的时代，自然科学和社会科学都获得了长足进展，人们的工作和生活也进入信息化、自动化、科学化的时代，这一切成就的获得都有数学在发挥着作用，可以这样说没有数学科学的发展就没有今天的社会进步，数学在当今成为科学技术的基石。
一、高等数学教学的弊端
1、教学思想和方法落后
大学教师认为大学生年龄接近成年，自治能力较强，在教学的过程中不用考虑学生的学习兴趣，造成教师在教学设计的过程中不考虑学生的基础和学习感受，教学过程还是填鸭式的满堂灌，大学一般都是两节课连排，两个小时老师一直不停的概念、定义的介绍，定理的证明，计算推导，学生感到的都是数学课的枯燥和乏味，造成对数学的厌学情绪[1]。
2、缺乏实践性
学习高等数学的作用除了培养学生的逻辑思维能力外，其实对于大多数学生来说学习数学的主要作用在于利用数学解决生产生活中的涉及数学的问题。但是在高等数学教学中老师并没有积极的融人实际问题，造成学生普遍对高等数学的实际应用价值认识不足，不能领悟到数学的魅力，最终导致学生学习缺乏目标和动力。
二、实行数学模型案例法的意义
面对上述的高等数学教育中出现的问题，高校教师有必要改变自己的教学模式，而数学模型案例法已受到教育专家的肯定和一线教师的欢迎，对改变传统高校数学教学的呆板沉闷有重要意义。
1、突出实用性特点有利于提升学生学习兴趣
由于就业压力的逐步增大，对大学生来说其学习带有非常强的目的性，如果让他感到学习是有用的就会激起学习热情和兴趣，如果认识不到学习数学的应用价值，就会对其学习懈怠。实行数学模型案例法教学的过程中，选取的模型一般都是生产、生活中的实际问题，在解决问题的过程中学生体会到数学的应用价值，因而能激发学生的学习热情。同时在数学模型案例教学中，需要调到学生主动的参与到模型构建过程中，学生成了学习的主人，在学习中处于主体地位也有利于提升学生学习兴趣[2]。
2、模型构建中培养学生理论联系实际的能力
问题的解决过程本身就是理论联系实际的过程，也是结合所学的数学知识，通过对具体案例的分析，构建一个解决问题的模型的过程。因此在高等数学的教学中引入数学模型案例教学，能帮助学生独立分析复杂的实际问题，抽离出涉及到的数学问题并通过数学模型的构建去解决实际的问题。在这个过程中即实现了培养学生理论联系实际对问题解决的能力，也培养了学生具体问题具体分析的创新能力。
3、模型构建的过程中有利于培养学生的综合素质
现代社会的用人的理念已经变得非常务实，不再注重文凭，而是侧重人才的综合素质。综合素质包括其专业知识、专业技能、解决实际问题的能力；组织管理能力、表达能力等多种能力的综合体。在数学建模的过程中也需要学生对具体问题分析、并利用这些知识解决问题、在这个过程中即巩固了知识又提高了解决问题的能力，也培养了学生通过恰当的途径进行表达的能力，同时这一过程中，学生易于形成实事求是的态度，养成良好的学习习惯，为学生的自主学习打下良好的基础，因此最终通过数学建模过程培养了学生的综合素质，实现了学生素质的全面发展[3]。
三、数学模型案例的构建过程和典例
1、数学模型案例的构建过程
（1）根据学习内容寻找典型案例，在对案例分析的基础上提出问题；（2）建模假设：作为.数学模型案例的原型都是复杂的、具体的，是质和量、现象和本质、偶然和必然的统一体。为了便于建立模型必须把它抽象化，抓住问题的本质忽略次要无关因素，形成对建模有用的信息资源和前提条件。（3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，首先区分哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知的量，哪些是未知的量，然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型。（4）模型分析与求解： 构造数学模型之后， 根据已知条件和数据的分析，结合模型的适用范围和模型的结构特点，并进行计算求解。（5）模型检验与应用：模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验。因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用[4]。
2、哥尼斯堡七桥典型案例
（1）哥尼斯堡七桥问题：有一位哥尼斯堡人向大数学家欧拉提出了这样一个问题：在图1中，每座桥只许走一次，能否一次把所有桥走遍？如果可以走遍，应如何走？
（2）模型建立
我们的任务就是否一笔画出像如图2那样的由七条线四个点组成的图形。
（3）模型假设
為方便记，克内霍夫岛记A，河左岸的陆地记B，右岸的陆地记做C，上游两条支流之间的陆地记做D，我们将陆地视为平面上的一个点，而将桥视为连接陆地的边。
（4）模型分析与求解
不论以那一点作为起点或终点，在点A，B，C，D中至少有两点是中途点每穿过一次这样的点， 就要画一条进入的和一条离开的线，即画两条线，现在图中每个点处有三条或五条线，所以总要留下一条线没有画到。另一方面，一个图要在每个点处都有偶数条线，或只有两个例外的点处有奇数条线，那么只要它的各部分是连通的，就可以一笔画成。要证明偶点的情形，我们可以从任意一点开始.因为在每一个点处有进入的线就有离开的线，所以无论我们选择什么样的画法，整个路线必定以出发点作为终点。我们可以把整个路线看作一条闭合曲线；如果图上留下一部分未被画到，那么它也必定在某个点A处与路线连接；在点A处应有偶数条线属于已画的，此外，还有偶数条线未被画到。现在让我们从A处开始并以A为终点来画闭合曲线。因为A同时也属于另一部分，所以我们又可以画出另一条从A到A的闭合曲线，容易看出，具有公共点A的两条闭合曲线可以看作一条闭合曲线如果图仍未画完，那么这新的闭合曲线必定在某个点B处与其他部分连接；重新应用上面的推理，最后总能导致问题的彻底解决.有两个例外的奇阶点的情形，可以做类似讨论。我们只要从一个例外的点O开始，明显的是，无论怎样选择路线，它将总是以另一个奇阶点P作为终点.图的剩下部分不再有例外的点；因此有一条闭合曲线在某个点B处与第一条路线O—P连接。现在可以从点O开始先沿O—P到点B，然后沿闭合曲线回到点B，在沿第一条路线走完B—P。
（5）通过模型推导出定理：一个图能够不重复的一笔划出的充分必要条件是图重无奇阶点或者恰有两奇阶点。
参考文献
[1] 富成华，崔殿军.高职高等数学“案例与实验”教学法初探[J].辽宁高职学报.2009（06）.
[2] 武菊.案例教学在高等数学教学中的运用[J].内江科技.2012（09）.