在解分式方程时通常都是先把分式方程去分母，转化成整式方程，然后求整式方程的解，求解后还要进行验根。那么在教学中学生经常会有这样的疑问：解分式方程为什么必须要验根呢？增根是如何产生的？增根是分式方程所特有的吗？
　　分式方程的根与增根
　　能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的根；增根是在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。
　　例题1：解方程 ①
　　解：两边同乘以（x 3）（x-3），得
　　（x 3）（x-3）-18=3（x-3） ②
　　解这个方程得：x1=-3，x2=6
　　检验：当x=-3时，（x 3）（x-3）=0，所以x=-3不是原方程的解；
　　当x=6时，（x 3）（x-3）≠0，左边=，右边=，左边=右边。
　　所以：x=6是原方程的解。
　　说明：显然，方程①中未知数的取值范围是x≠3且x≠-3，而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数，所以求得的x值恰好使最简公分母为0，x的值就是增根。本题中方程②的解x=-3，恰好使公分母为0，所以x=-3是方程的增根，x=6是原方程的解。
　　增根是如何产生的
　　从例题1可以看出x=-3虽然是整式方程的根，但却使得最简公分母为0，所以不是分式方程的根，而是原分式方程的增根。也就是说，所得的整式方程与原方程已经不是同解方程了。那么，增根就是在去分母的过程中产生的。其实，去分母的依据是等式基本性质，即在等式的两边同时乘以一个不为0的整式，等式仍然成立，而在例题中两边同乘的是一个含有未知数x的整式，也就不能保证它的值一定不为0，我们去分母的时候就已经默许了条件（x 3）（x-3）≠0，才得到整式方程。即所得的整式方程与原方程已经不是同解方程，这样便产生了增根。
　　例题2：使关于x的方程产生增根的a的值是多少呢？
　　要正确解答此题就要理解增根是如何产生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母为零的未知数的值。
　　解：去分母并整理，得：
　　（a2-2）x-4=0
　　因为原方程的增根为x=2，
　　把x=2代入（a2-2）x-4=0，
　　得a2=4
　　所以a=±2
　　说明：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最好将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。其实也不仅是分式方程可以产生增根，类似的，可想到若在整式方程（x 3）=0两边同时乘以（x-4），得到（x 3）（x-4）=0也同样会产生增根。由此可知，增根并不是分式方程特有的。
　　解分式方程如何避免增根
　　以例题1为例，可将原方式方程通分整理如下：
　　对于上式中，当（x 3）=0时，分式的分母等于0，此时，分式无意义，所以（x 3）≠0；那么可以继续化简为，即（x-6）=0，得x=6。也就是说，我们可以先把方程的一切非零项移到左边，通过恒等变形将方程的左边化成一个分式，右边是零的形式。然后，再找出分子分母的公因式并约去，就可以得到一个新方程并且与原方程是同解方程。解新方程得到的根就是原方程的根，避免了增根的产生。
　　不容忽视的增根
　　分式方程的增根问题与一元二次方程根的几种情况相结合会使问题更加复杂化，也使得这一类问题的答案对学生们而言更加的扑朔迷离。下面通过几个例题解析一下与增根有关的此类问题。
　　例题3：当k为何值时，方程只有一个实数根，并求出此实数根。
　　解：原方程可化为：x2 2x-k=0
　　（1）要原方程只有一个实数根，只要方程x2 2x-k=0有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由Δ=4 4k=0，得k=-1。把k=-1代入x2 2x-k=0，解之得x1=x2=-1
　　（2）要原方程只有一个实数根，只要方程x2 2x-k=0有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，
　　所以由Δ=4 4k>0，得k>-1。
　　又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入x2 2x-k=0，得k=0，或k=3。把k=0代人x2 2x-k=0，解之得x1=0（增根），x2=-2；把k=3代人x2 2x-k=0，解之得x1=1（增根），x2=-3。
　　综上所述，原方程的根为：
　　（a）当k=-1时，原方程只有一个实数根x=-1；（b）当k=0时，原方程只有一个实数根x=-2；（c）当k=3时，原方程只有一个实数根x=-3。
　　在分式方程教学中，教师要深入钻研教材，全面完整地分析分式方程的增根是如何产生的，并引导学生正确理解、完整掌握、准确解答分式方程的增根问题，从而真正提高学生的解题能力，提高教学效果。
　　（作者单位：江苏省昆山市兵希中学）