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[摘要]针对系统发生执行器故障和/或传感器故障的情况，研究了含有状态时滞的线性系统的故障诊断方法和故障的可诊断性问题，提出了一种新颖的基于降维观测器的故障诊断方法，并给出故障可诊断性的判据。首先通过引入一种特殊的线性变换，将系统转换成无时滞系统。然后将故障诊断问题转化为状态观测问题，并证明了故障可诊断性的充分条件。最后通过构造一种新的不利用残差体现故障的故障诊断器，实现了故障的实时诊断。仿真实例验证了该方法的可行性和有效性。
[关键词]时滞系统 故障诊断 状态观测器 无时滞变换
[中图分类号]TP273 [文献标识码]A
引言
在现代实际的工业生产过程中，由于受信息传输技术和测量技术的影响，时滞现象普遍存在。时滞通常会导致系统不稳定、性能恶化，甚至可能造成整个系统的瘫痪。因此，对于时滞系统的研究已引起人们的广泛关注。同时，随着科学技术的快速发展，工程设备变得越来越复杂，这样使得故障诊断和容错控制问题的研究显得尤为重要。所以，研究时滞系统的故障诊断和容错控制问题，提高系统的可靠性及稳定性，具有十分重要的理论和现实意义。近些年来，有关时滞系统的故障诊断和容错控制问题的研究已成为控制领域的研究热点，并取得了一定的成果[1-8]，但相对于无时滞系统[9-11]来说还是较少。文[3]针对状态时滞系统，设计了一种故障检测的未知输入观测器，依据Razumikhin定理，给出了该观测器的存在条件及稳定性和收敛性的证明；文[7]针对状态时滞线性系统提出了一种基于观测器的故障诊断器以及自修复容错控制律的设计方法；文[8]研究了同时含有状态时滞和测量时滞的线性时滞系统的故障诊断器的设计问题。以上文献大都利用残差诊断时滞系统的故障，残差的存在会导致由于阈值选择不当而产生的漏报和误报的情况。为了避免此类不利情况的发生，本文综合考虑了系统发生执行器故障和/或传感器故障的情况，针对含有状态时滞的线性系统，研究了其基于观测器而不利用残差体现故障的故障诊断方法及其基于观测器的故障诊断方法的故障可诊断性问题，从而避免了故障误报和漏报情况的发生，同时具有响应速度快的优点。
二、系统描述和无时滞转换
（一）系统描述
考虑如下带有故障的线性时滞控制系统：
其中，x（t）∈Rn，u（t）∈Rp，y（t）∈Rq分别为系统的状态向量，控制输入向量和输出向量；f（t）∈Rm为故障信号向量且可以是不可测量的。A0，A1，B，C，D1和D2是具有适当维数的常量矩阵。d>0为状态滞后时间常数。
假定故障f（t）的动态特性是已知的且可由下列外系统来描述
为外系统（2）的状态向量，故障的初始时刻t0和初始状态 是未知的。G∈Rr×r和F∈Rm×r为常量矩阵。 和 fa∈Rm1分别代表执行器故障状态向量和执行器故障向量，执行器故障的初始时刻为ta； 和fs∈Rm2分别代表传感器故障状态向量和传感器故障向量，传感器故障的初始时刻为ts。当t 注1外系统（2）是阶跃故障、周期故障、衰减故障、发散故障等常见的连续变化故障的通用表达式。
（二）无时滞转换
时滞项的存在使系统的故障诊断和容错控制律的设计变得较为困难，为此，我们引入线性变换把时滞系统转化成无时滞系统。考虑依赖于矩阵 的线性变换
三、故障的可诊断性
为了能利用成熟的观测器理论进行故障诊断，我们把原系统和故障构成一个不显含故障的增广系统。令
众所周知，如果能观测出故障的状态，也就诊断出了故障，故对故障的诊断就转化为对系统中故障状态进行观测。
至此，我们已将含状态时滞系统的故障诊断问题转变为无时滞系统（9）的可观测性问题，只要观测出系统（9）的状态即可诊断出系统中的故障。
记S（*）为*的特征值集合，λ∈S（A2）为A2的任意的特征值；λA∈S（A）为A的任意的特征值；λG∈S（G）为G的任意的特征值。
定理1 （C2，A2）完全能观测，即故障可诊断的充分条件是：（（C（λI-A）-1D1F+D2F），G）、（DF，G）和（C，A）都是完全能观测的。其中D=[D1T D2T]T，λ∈（S（G）-S（A）∩S（G））为S（G）-S（A）∩S（G）的任意特征值。
下面我们根据特征值的不同，分三种情况讨论。
由能观性的PBH特征向量判据知，（C2，A2）是能观的。即当λ=λA≠λG时，若（C，A）是完全能观测的，则（C2，A2）是完全能观测的。
（Ⅱ） λ=λG∈（S（G）-S（A）∩S（G））即λ=λA≠λG时，
由能观性的PBH特征向量判据知（C2，A2）是能观的。即当λ=λA≠λG时，若（（C（λI-A）-1D1F+D2F），G）是完全能观测的，则（C2，A2）是完全能观测的。
由能观性的PBH特征向量判据知（C2，A2）是能观测的。即当λ=λA≠λG时，若（C，A）和（DF，G）都是完全能观测的，则（C2，A2）是完全能观测的。
证毕。
注2 当A和G没有相同的特征值时，（C2，A2）完全能观的充分条件就简化为：（C，A）和（（C（λI-A）-1D1F+D2F），G），λ∈S（G）都是完全能观测的。
四、故障诊断
构造一个非奇异矩阵
其中，H1∈R（n+r）×（n+r-q），H2∈R（n+r）×q；H11，H12，H21和H22都是适当维数的矩阵。则关于由（1）和（2）描述的线性时滞系统的故障诊断器的设计，我们给出如下定理：
定理2考虑由（1）和（2）描述的线性时滞系统，在满足定理2的条件下，其故障诊断器可由下式描述 注3上述诊断器的优点是响应速度快，如果响应速度要求不是太高，则可以构造下列简单的基于全维观测器的故障诊断器，因此关于故障的可诊断性的讨论具有普遍性。
五、仿真例子
考虑由（1）式描述的系统，其中
考虑由（2）描述的故障，其中
其中传感器故障发生在ts=20s，执行器故障发生在ta=30s，所以t0=20s。
取故障诊断器的极点为-3、-3±j1、-1±j1。依照Ackermann公式，可得到故障诊断器的反馈增益矩阵L如下
采用式（25）所设计的故障诊断器，用MATLAB进行仿真。图1为系统的实际输出，图2为故障诊断器输出的执行器故障的诊断值和真实值的对比曲线图，图3为故障诊断器输出的传感器故障的诊断值和真实值的对比曲线图。
由图1可看出，在t=20s和t=30s时，系统中分别有故障发生.由图2和图3可看出，该故障诊断器诊断出的执行器故障值和传感器故障值均渐近趋近于它们各自的真实值，说明本文所提出的故障诊断方法及故障可诊断性判据是有效的和可靠的。
六、结论
本文针对含状态时滞的线性系统，研究了其故障诊断方法，给出并证明了基于观测器的故障可诊断性的充分条件，进而设计了无需残差体现故障即可实时诊断故障的故障诊断器。仿真结果证实了本文提出的故障诊断方法及故障可诊断性判据的可行性和有效性。
[参考文献]
[1]Koenig D，Bedjaoui N，Litrico X.Unknown Input Observers Design for Time-Delay Systems Application to an Open-Channel[A].Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control，and the European Control Conference [C].Piscataway，United States：Institute of Electrical and Electronics Engineers Computer Society，2005：5794-5799.
[2]Yang H L，Saif M.Observer Design and Fault Diagnosis for State-Retarded Dynamical Systems[J].Automatica，1998，34（2）：217-227.
[3]马传峰，钟麦英，何宁.线性时滞系统故障检测滤波器设计 优化方法 [J].控制与决策，2006，21（5）：550-554.
[4]Mao Z H，Jiang B.Fault Estimation and Accommodation for Networked Control Systems with Transfer Delay [J].Acta Automatica Sinica，2007，33（7）：738-743.
[5]Tang G.Y，Li J.Optimal fault diagnosis for systems with delayed measurements[J].IET Control Theory and Applications，2008，2（11）：990-998.
[6] Lv X，Li J.Fault Diagnosis and Self-Restore Fault-Tolerant Control for Systems with State Delays[A].Proceedings of the 21st Chinese Control and Decision Conference[C].Guilin，China，2009：914-918.
[7]李娟，吕新丽.含两类时滞的线性系统的故障诊断及故障可诊断性[J]. 计算机应用研究，2009，20（1）：151-155.
[8]Wu L，Yao X，Zheng W X.Generalized H2 fault detection for two-dimensional Markovian jump systems[J].Automatica，2012，48（8）： 1741-1750.
[9] Zhu Y，Jin X，Du Z.Fault diagnosis for senors in air handling unit based on neural network pre-processed by wavelet and fractal[J].Energy and Building，2012，44：7-16.
[10]Paoli A，Sartini M，Lafortune S.Active fault tolerant control of discrete event systems using online diagnostics[J].Automatica，2011，47（4）：639-649.
作者代表性论文及研究项目和成果：
[1]Lv X，Li J.Fault Diagnosis and Self-Restore Fault-Tolerant Control for Systems with State Delays[A].Proceedings of the 21st Chinese Control and Decision Conference[C].Guilin，China，2009：914-918.
[2]李娟，吕新丽.含两类时滞的线性系统的故障诊断及故障可诊断性 [J]. 计算机应用研究，2009，20（1）：151-155.
[3]时滞非线性系统的故障诊断方法研究.2010年山东高等学校优秀科研成果三等奖（自然科学）.2010年.
（作者单位：青岛农业大学海都学院 工程系 山东莱阳）
[关键词]时滞系统 故障诊断 状态观测器 无时滞变换
[中图分类号]TP273 [文献标识码]A
引言
在现代实际的工业生产过程中，由于受信息传输技术和测量技术的影响，时滞现象普遍存在。时滞通常会导致系统不稳定、性能恶化，甚至可能造成整个系统的瘫痪。因此，对于时滞系统的研究已引起人们的广泛关注。同时，随着科学技术的快速发展，工程设备变得越来越复杂，这样使得故障诊断和容错控制问题的研究显得尤为重要。所以，研究时滞系统的故障诊断和容错控制问题，提高系统的可靠性及稳定性，具有十分重要的理论和现实意义。近些年来，有关时滞系统的故障诊断和容错控制问题的研究已成为控制领域的研究热点，并取得了一定的成果[1-8]，但相对于无时滞系统[9-11]来说还是较少。文[3]针对状态时滞系统，设计了一种故障检测的未知输入观测器，依据Razumikhin定理，给出了该观测器的存在条件及稳定性和收敛性的证明；文[7]针对状态时滞线性系统提出了一种基于观测器的故障诊断器以及自修复容错控制律的设计方法；文[8]研究了同时含有状态时滞和测量时滞的线性时滞系统的故障诊断器的设计问题。以上文献大都利用残差诊断时滞系统的故障，残差的存在会导致由于阈值选择不当而产生的漏报和误报的情况。为了避免此类不利情况的发生，本文综合考虑了系统发生执行器故障和/或传感器故障的情况，针对含有状态时滞的线性系统，研究了其基于观测器而不利用残差体现故障的故障诊断方法及其基于观测器的故障诊断方法的故障可诊断性问题，从而避免了故障误报和漏报情况的发生，同时具有响应速度快的优点。
二、系统描述和无时滞转换
（一）系统描述
考虑如下带有故障的线性时滞控制系统：
其中，x（t）∈Rn，u（t）∈Rp，y（t）∈Rq分别为系统的状态向量，控制输入向量和输出向量；f（t）∈Rm为故障信号向量且可以是不可测量的。A0，A1，B，C，D1和D2是具有适当维数的常量矩阵。d>0为状态滞后时间常数。
假定故障f（t）的动态特性是已知的且可由下列外系统来描述
为外系统（2）的状态向量，故障的初始时刻t0和初始状态 是未知的。G∈Rr×r和F∈Rm×r为常量矩阵。 和 fa∈Rm1分别代表执行器故障状态向量和执行器故障向量，执行器故障的初始时刻为ta； 和fs∈Rm2分别代表传感器故障状态向量和传感器故障向量，传感器故障的初始时刻为ts。当t
（二）无时滞转换
时滞项的存在使系统的故障诊断和容错控制律的设计变得较为困难，为此，我们引入线性变换把时滞系统转化成无时滞系统。考虑依赖于矩阵 的线性变换
三、故障的可诊断性
为了能利用成熟的观测器理论进行故障诊断，我们把原系统和故障构成一个不显含故障的增广系统。令
众所周知，如果能观测出故障的状态，也就诊断出了故障，故对故障的诊断就转化为对系统中故障状态进行观测。
至此，我们已将含状态时滞系统的故障诊断问题转变为无时滞系统（9）的可观测性问题，只要观测出系统（9）的状态即可诊断出系统中的故障。
记S（*）为*的特征值集合，λ∈S（A2）为A2的任意的特征值；λA∈S（A）为A的任意的特征值；λG∈S（G）为G的任意的特征值。
定理1 （C2，A2）完全能观测，即故障可诊断的充分条件是：（（C（λI-A）-1D1F+D2F），G）、（DF，G）和（C，A）都是完全能观测的。其中D=[D1T D2T]T，λ∈（S（G）-S（A）∩S（G））为S（G）-S（A）∩S（G）的任意特征值。
下面我们根据特征值的不同，分三种情况讨论。
由能观性的PBH特征向量判据知，（C2，A2）是能观的。即当λ=λA≠λG时，若（C，A）是完全能观测的，则（C2，A2）是完全能观测的。
（Ⅱ） λ=λG∈（S（G）-S（A）∩S（G））即λ=λA≠λG时，
由能观性的PBH特征向量判据知（C2，A2）是能观的。即当λ=λA≠λG时，若（（C（λI-A）-1D1F+D2F），G）是完全能观测的，则（C2，A2）是完全能观测的。
由能观性的PBH特征向量判据知（C2，A2）是能观测的。即当λ=λA≠λG时，若（C，A）和（DF，G）都是完全能观测的，则（C2，A2）是完全能观测的。
证毕。
注2 当A和G没有相同的特征值时，（C2，A2）完全能观的充分条件就简化为：（C，A）和（（C（λI-A）-1D1F+D2F），G），λ∈S（G）都是完全能观测的。
四、故障诊断
构造一个非奇异矩阵
其中，H1∈R（n+r）×（n+r-q），H2∈R（n+r）×q；H11，H12，H21和H22都是适当维数的矩阵。则关于由（1）和（2）描述的线性时滞系统的故障诊断器的设计，我们给出如下定理：
定理2考虑由（1）和（2）描述的线性时滞系统，在满足定理2的条件下，其故障诊断器可由下式描述 注3上述诊断器的优点是响应速度快，如果响应速度要求不是太高，则可以构造下列简单的基于全维观测器的故障诊断器，因此关于故障的可诊断性的讨论具有普遍性。
五、仿真例子
考虑由（1）式描述的系统，其中
考虑由（2）描述的故障，其中
其中传感器故障发生在ts=20s，执行器故障发生在ta=30s，所以t0=20s。
取故障诊断器的极点为-3、-3±j1、-1±j1。依照Ackermann公式，可得到故障诊断器的反馈增益矩阵L如下
采用式（25）所设计的故障诊断器，用MATLAB进行仿真。图1为系统的实际输出，图2为故障诊断器输出的执行器故障的诊断值和真实值的对比曲线图，图3为故障诊断器输出的传感器故障的诊断值和真实值的对比曲线图。
由图1可看出，在t=20s和t=30s时，系统中分别有故障发生.由图2和图3可看出，该故障诊断器诊断出的执行器故障值和传感器故障值均渐近趋近于它们各自的真实值，说明本文所提出的故障诊断方法及故障可诊断性判据是有效的和可靠的。
六、结论
本文针对含状态时滞的线性系统，研究了其故障诊断方法，给出并证明了基于观测器的故障可诊断性的充分条件，进而设计了无需残差体现故障即可实时诊断故障的故障诊断器。仿真结果证实了本文提出的故障诊断方法及故障可诊断性判据的可行性和有效性。
[参考文献]
[1]Koenig D，Bedjaoui N，Litrico X.Unknown Input Observers Design for Time-Delay Systems Application to an Open-Channel[A].Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control，and the European Control Conference [C].Piscataway，United States：Institute of Electrical and Electronics Engineers Computer Society，2005：5794-5799.
[2]Yang H L，Saif M.Observer Design and Fault Diagnosis for State-Retarded Dynamical Systems[J].Automatica，1998，34（2）：217-227.
[3]马传峰，钟麦英，何宁.线性时滞系统故障检测滤波器设计 优化方法 [J].控制与决策，2006，21（5）：550-554.
[4]Mao Z H，Jiang B.Fault Estimation and Accommodation for Networked Control Systems with Transfer Delay [J].Acta Automatica Sinica，2007，33（7）：738-743.
[5]Tang G.Y，Li J.Optimal fault diagnosis for systems with delayed measurements[J].IET Control Theory and Applications，2008，2（11）：990-998.
[6] Lv X，Li J.Fault Diagnosis and Self-Restore Fault-Tolerant Control for Systems with State Delays[A].Proceedings of the 21st Chinese Control and Decision Conference[C].Guilin，China，2009：914-918.
[7]李娟，吕新丽.含两类时滞的线性系统的故障诊断及故障可诊断性[J]. 计算机应用研究，2009，20（1）：151-155.
[8]Wu L，Yao X，Zheng W X.Generalized H2 fault detection for two-dimensional Markovian jump systems[J].Automatica，2012，48（8）： 1741-1750.
[9] Zhu Y，Jin X，Du Z.Fault diagnosis for senors in air handling unit based on neural network pre-processed by wavelet and fractal[J].Energy and Building，2012，44：7-16.
[10]Paoli A，Sartini M，Lafortune S.Active fault tolerant control of discrete event systems using online diagnostics[J].Automatica，2011，47（4）：639-649.
作者代表性论文及研究项目和成果：
[1]Lv X，Li J.Fault Diagnosis and Self-Restore Fault-Tolerant Control for Systems with State Delays[A].Proceedings of the 21st Chinese Control and Decision Conference[C].Guilin，China，2009：914-918.
[2]李娟，吕新丽.含两类时滞的线性系统的故障诊断及故障可诊断性 [J]. 计算机应用研究，2009，20（1）：151-155.
[3]时滞非线性系统的故障诊断方法研究.2010年山东高等学校优秀科研成果三等奖（自然科学）.2010年.
（作者单位：青岛农业大学海都学院 工程系 山东莱阳）