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我们再调查忠实基于 Hilbert-Schmidt 内部产品并且给一种简化形式。忠实的几何意思被澄清。我们然后在 Hilbert 和 Liouville 空间给忠实危险性的分析表达式。由在 Liouville 空间使用对称的对数的衍生物的重建，我们在场与规范的密度向量表示一起的忠实危险性的时间衍生物。