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本文描述的方案一是我在平时教研活动中以及在各种杂志上经常看到的“乘法分配律”教学设计,比较后发现,各教学设计的情境多种多样,过程却惊人相似。仔细想来,这些设计是在实践课程标准所强调“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的教学模式,应该说这种设计方案有很多亮点,学生经历了整个探究发现乘法分配律的过程,但如果把它当作固定的教学模式,则未免有些机械化。蔡元培先生曾说过:“多歧为贵,不取苟同。” 做学问当如此,教学不也应如此吗?
方案二是我在学校一次课堂教学调查活动中所设计的,实践下来效果相当不错。一堂数学课的成功与否,当然主要看是否达成了教学目标,学生是否理解和掌握了所学的数学知识,包括对数学本质的理解、数学能力的形成等。
方案一:
(一)创设问题情境
1.电脑出示:一张桌子165元,一张椅子35元。
师:买3套这样的桌椅应付多少钱呢?你能用几种方法解答?请列式计算。
学生独立计算后反馈两种方法:(165 35)×3;165×3 35×3。
2.电脑出示:上衣80元,裤子40元。
师:买5套这样的衣服应付多少钱?你能用几种方法解答?
学生各自列式,并很快说出两种不同的思考方法和算式:(80 40)×5;80×5 40×5。
【反思:这一情境设计是恰如其分的,但要获得有效的教学资源,学生必须列综合算式解答。如果学生首选分步列式,问题是解决了,但无法生成有效的学习资源,这无形中增加了教学难度。其实,通过应用题的解答来得到两道算式的等量关系,学生关注的是算式的意义,注意力放在自己感觉陌生的解法上,而不会关注两道算式在形式上发生了什么变化。对于一题多解的应用题,我们会更倾向于方法的解释,而非方法的联系。】
(二)形成乘法分配律的表达式
1.观察、比较、验证。
师 (指上面两个算式) :这两个算式计算的结果相同,想一想这两个算式有什么关系?(这两个算式计算结果相等,教师在两个算式中间划“=”)
师:从上面的算式中,你有没有发现什么规律?(学生独立思考,交流自己发现的规律)
师:不过,你们所看到的也许只是一种偶然现象,是一种猜想而已。你们能再举些例子对自己的猜想进行验证吗?(学生举例计算,汇报自己的验证结果)
[从数学的实质看,对乘法分配律的解释应从乘法的意义入手,举例只能作为其合理性的一种说明,而不能成为证实的手段。]
2.符号表示。
师:这样的关系式能写完吗?你能用符号表示算式的这种关系吗?
[从学生个性化的符号表示到字母表示(a b)×c=a×c b×c,获得乘法分配律的表达式。]
3.语言描述。
师:你们发现的这个知识,叫做乘法分配律。什么叫乘法分配律?请同桌再交流一下。(学生积极地与同桌交流着,又踊跃地参加集体交流)
教师板书:两个数的和与一个数相乘,可以用两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
(三)熟练与应变(略)
(通过一定量的练习实现对数学知识的巩固与应用)
(四)小结与反思(略)
方案二:
(一)揭题
师:今天我们来研究几个数的和乘一个数的式子,我们从简单的入手。
(二)研究两个数的和乘一个数
1.A式 B式
(3 7)×C 3×C 7×C
(1)读上面两个式子。
(2)观察上面的式子,哪些地方相同,哪些地方不同?
(3)在上面的式子中,C表示一个数,如果要你证明两个算式的得数是否相等,你会用什么方法?
[乘法分配律的学习,针对式题讨论更有利于揭示规律,展开探索。这一素材力图引导学生关注算式的联系与变化,这是乘法分配律的本质。]
2.证明。
A.设数法,选择一个数代入式中。
B.从乘法意义入手。
左边3 7=10,表示10个C;右边3个C加7个C也等于10个C,所以(3 7)×C=3×C 7×C。
3.尝试探索。
师:请你将3和7换成其他数,写出变换数据后的式子,如(12 6)×C=12×C 6×C,并从乘法意义的角度说一说左右两边分别有几个C。
【反思:乘法分配律如果只是通过对有限个对象进行不完全归纳得出的,学生对此的理解可能只是形式上的把握。如何让学生知其然也知其所以然?我觉得要引导学生透过现象看本质,从乘法的意义入手解释分配律,使学生感受数学本身的逻辑性和结论的确定性。】
4.用符号表示。
师:能否用符号表示两个式的关系?如果我们用a表示其中一个加数,b表示另一个加数,c表示因数,则(a b)×c=a×c b×c。
语言叙述乘法分配律:两个数的和与一个数相乘,可以把它们与这个数分别相乘,再相加。
【反思:对于乘法分配律的教学,教师没有必要把重点放在数学语言的表达上,关键是要帮助学生加深对其本质的理解,熟练对其形式的把握。】
(三)式的展开与还原
1.式的展开。
(1)将以下式子展开变成B式。
(65 32)×86×(12 23)
(t k)×4(7 8)×a
(2)多个数的和乘一个数的展开形式。
(2 4 10)×25,写出你认为会出现的变式。
【反思:课本呈现的大都是两个数的和乘一个数的形式,乘法分配律应该从两个数的和乘一个数的研究到多个数的和乘一个数,这一过程不会加重学生的学习负担,反而会产生正迁移。课堂上,我发现大部分学生都能正确地写出它的展开形式。】
师:如果四个数的和乘一个数,你能写出变式吗?五个数呢?
(5 15 25 35)×4(36 21 17 6 5)×8
(3)能用字母表示关系式吗?
2.式的还原。
师:刚才我们是把A式展开得到B式,如果要你把B式还原成A式,你会吗?
学生独立完成:
B式 A式
7×15 13×15=(7 13)×15
100×37 2×37=(100 2)×37
15×23 15×47 15×30=(23 47 30)×15
400×25 40×25 4×25=(400 40 4)×25
师:比较A式与B式,如果要你完成计算,你会选择哪个式子?
【反思:学习乘法分配律,从长远看,可以为今后的代数运算打下基础;就眼前来说,可为一些式题的简便运算提供依据。而要使学生能正确合理地使用分配律进行简算,有两个前提:一是对算式能进行熟练应变;二是有意识地对两式在算法上进行择优。所以,当学生完成式的转化后引导学生把注意力放在具体算式的运算上,初步感受分配律在运算中的作用。】
师(小结):乘法分配律的运用,可以根据数据的特征选择一种形式完成计算。
(四)应用
根据数据的特征,合理变式,完成计算。
13×173 87×173(2 4 20)×25
(反馈讲评,适量巩固)
(五)课堂小结(略)
思考:
1.引入要不要情境
方案一通过情境引入,方案二用的是试题,乍一看,方案一的素材鲜活,方案二的试题略显呆板。哪个好?为什么?不可否认,在教学中创设生活情境对提高教学效果是有意义的,但把它作为一个固定的模式,那就不对了,因为这样的教学设计增加了很多非数学信息,冲淡了数学主题。学生为了学这么一点点数学,要先理解很多其他东西,把人搞的筋疲力尽。理解一点数学知识并不是要举很多很多生活中的例子,学生就会有兴趣,有时例子太多,把人搞糊涂了,反而没有了兴趣。“评价引入教学内容的效果,首先看它是否有利于揭示数学规律,展现或反映数学知识的实质;其次才是趣味性、挑战和参与互动性。”
2.内容要不要拓展
人教版实验教材删除了很多知识点,这种做法是否科学有待证实。但作为一线教师,我们肯定不能只教教材所呈现出来的内容,而要根据学生需要适当开发一些学习资源。如乘法分配律这一内容不能停留在只研究两个数的和乘一个数上,理由有二:(1)拓展是完善的过程,有助于学生对知识的理解,并不会加重学习负担;(2)这一定律在代数运算中常用于合并同类项,内容自然不可能停留在两项的合并上。我觉得不妨将乘分配律描述为:几个数的和与一个数相乘,等于把它们分别与这个数相乘,再相加。
3.是否过度形式化
课后有教师提出类似方案二的教学是否过度形式化了,一节课下来学生付出的智力代价太大。什么是形式化?先抽象出公式,再套用公式是形式化?灌输死套公式的技巧,没有讲公式的演化过程是形式化?既然规律是学生自己总结出来的,也理解了,怎么算是过度形式化?数学教育应该引导学生学会用数学的方式去思考、去探索,这才是最最重要的。
(责编杜华)
方案二是我在学校一次课堂教学调查活动中所设计的,实践下来效果相当不错。一堂数学课的成功与否,当然主要看是否达成了教学目标,学生是否理解和掌握了所学的数学知识,包括对数学本质的理解、数学能力的形成等。
方案一:
(一)创设问题情境
1.电脑出示:一张桌子165元,一张椅子35元。
师:买3套这样的桌椅应付多少钱呢?你能用几种方法解答?请列式计算。
学生独立计算后反馈两种方法:(165 35)×3;165×3 35×3。
2.电脑出示:上衣80元,裤子40元。
师:买5套这样的衣服应付多少钱?你能用几种方法解答?
学生各自列式,并很快说出两种不同的思考方法和算式:(80 40)×5;80×5 40×5。
【反思:这一情境设计是恰如其分的,但要获得有效的教学资源,学生必须列综合算式解答。如果学生首选分步列式,问题是解决了,但无法生成有效的学习资源,这无形中增加了教学难度。其实,通过应用题的解答来得到两道算式的等量关系,学生关注的是算式的意义,注意力放在自己感觉陌生的解法上,而不会关注两道算式在形式上发生了什么变化。对于一题多解的应用题,我们会更倾向于方法的解释,而非方法的联系。】
(二)形成乘法分配律的表达式
1.观察、比较、验证。
师 (指上面两个算式) :这两个算式计算的结果相同,想一想这两个算式有什么关系?(这两个算式计算结果相等,教师在两个算式中间划“=”)
师:从上面的算式中,你有没有发现什么规律?(学生独立思考,交流自己发现的规律)
师:不过,你们所看到的也许只是一种偶然现象,是一种猜想而已。你们能再举些例子对自己的猜想进行验证吗?(学生举例计算,汇报自己的验证结果)
[从数学的实质看,对乘法分配律的解释应从乘法的意义入手,举例只能作为其合理性的一种说明,而不能成为证实的手段。]
2.符号表示。
师:这样的关系式能写完吗?你能用符号表示算式的这种关系吗?
[从学生个性化的符号表示到字母表示(a b)×c=a×c b×c,获得乘法分配律的表达式。]
3.语言描述。
师:你们发现的这个知识,叫做乘法分配律。什么叫乘法分配律?请同桌再交流一下。(学生积极地与同桌交流着,又踊跃地参加集体交流)
教师板书:两个数的和与一个数相乘,可以用两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
(三)熟练与应变(略)
(通过一定量的练习实现对数学知识的巩固与应用)
(四)小结与反思(略)
方案二:
(一)揭题
师:今天我们来研究几个数的和乘一个数的式子,我们从简单的入手。
(二)研究两个数的和乘一个数
1.A式 B式
(3 7)×C 3×C 7×C
(1)读上面两个式子。
(2)观察上面的式子,哪些地方相同,哪些地方不同?
(3)在上面的式子中,C表示一个数,如果要你证明两个算式的得数是否相等,你会用什么方法?
[乘法分配律的学习,针对式题讨论更有利于揭示规律,展开探索。这一素材力图引导学生关注算式的联系与变化,这是乘法分配律的本质。]
2.证明。
A.设数法,选择一个数代入式中。
B.从乘法意义入手。
左边3 7=10,表示10个C;右边3个C加7个C也等于10个C,所以(3 7)×C=3×C 7×C。
3.尝试探索。
师:请你将3和7换成其他数,写出变换数据后的式子,如(12 6)×C=12×C 6×C,并从乘法意义的角度说一说左右两边分别有几个C。
【反思:乘法分配律如果只是通过对有限个对象进行不完全归纳得出的,学生对此的理解可能只是形式上的把握。如何让学生知其然也知其所以然?我觉得要引导学生透过现象看本质,从乘法的意义入手解释分配律,使学生感受数学本身的逻辑性和结论的确定性。】
4.用符号表示。
师:能否用符号表示两个式的关系?如果我们用a表示其中一个加数,b表示另一个加数,c表示因数,则(a b)×c=a×c b×c。
语言叙述乘法分配律:两个数的和与一个数相乘,可以把它们与这个数分别相乘,再相加。
【反思:对于乘法分配律的教学,教师没有必要把重点放在数学语言的表达上,关键是要帮助学生加深对其本质的理解,熟练对其形式的把握。】
(三)式的展开与还原
1.式的展开。
(1)将以下式子展开变成B式。
(65 32)×86×(12 23)
(t k)×4(7 8)×a
(2)多个数的和乘一个数的展开形式。
(2 4 10)×25,写出你认为会出现的变式。
【反思:课本呈现的大都是两个数的和乘一个数的形式,乘法分配律应该从两个数的和乘一个数的研究到多个数的和乘一个数,这一过程不会加重学生的学习负担,反而会产生正迁移。课堂上,我发现大部分学生都能正确地写出它的展开形式。】
师:如果四个数的和乘一个数,你能写出变式吗?五个数呢?
(5 15 25 35)×4(36 21 17 6 5)×8
(3)能用字母表示关系式吗?
2.式的还原。
师:刚才我们是把A式展开得到B式,如果要你把B式还原成A式,你会吗?
学生独立完成:
B式 A式
7×15 13×15=(7 13)×15
100×37 2×37=(100 2)×37
15×23 15×47 15×30=(23 47 30)×15
400×25 40×25 4×25=(400 40 4)×25
师:比较A式与B式,如果要你完成计算,你会选择哪个式子?
【反思:学习乘法分配律,从长远看,可以为今后的代数运算打下基础;就眼前来说,可为一些式题的简便运算提供依据。而要使学生能正确合理地使用分配律进行简算,有两个前提:一是对算式能进行熟练应变;二是有意识地对两式在算法上进行择优。所以,当学生完成式的转化后引导学生把注意力放在具体算式的运算上,初步感受分配律在运算中的作用。】
师(小结):乘法分配律的运用,可以根据数据的特征选择一种形式完成计算。
(四)应用
根据数据的特征,合理变式,完成计算。
13×173 87×173(2 4 20)×25
(反馈讲评,适量巩固)
(五)课堂小结(略)
思考:
1.引入要不要情境
方案一通过情境引入,方案二用的是试题,乍一看,方案一的素材鲜活,方案二的试题略显呆板。哪个好?为什么?不可否认,在教学中创设生活情境对提高教学效果是有意义的,但把它作为一个固定的模式,那就不对了,因为这样的教学设计增加了很多非数学信息,冲淡了数学主题。学生为了学这么一点点数学,要先理解很多其他东西,把人搞的筋疲力尽。理解一点数学知识并不是要举很多很多生活中的例子,学生就会有兴趣,有时例子太多,把人搞糊涂了,反而没有了兴趣。“评价引入教学内容的效果,首先看它是否有利于揭示数学规律,展现或反映数学知识的实质;其次才是趣味性、挑战和参与互动性。”
2.内容要不要拓展
人教版实验教材删除了很多知识点,这种做法是否科学有待证实。但作为一线教师,我们肯定不能只教教材所呈现出来的内容,而要根据学生需要适当开发一些学习资源。如乘法分配律这一内容不能停留在只研究两个数的和乘一个数上,理由有二:(1)拓展是完善的过程,有助于学生对知识的理解,并不会加重学习负担;(2)这一定律在代数运算中常用于合并同类项,内容自然不可能停留在两项的合并上。我觉得不妨将乘分配律描述为:几个数的和与一个数相乘,等于把它们分别与这个数相乘,再相加。
3.是否过度形式化
课后有教师提出类似方案二的教学是否过度形式化了,一节课下来学生付出的智力代价太大。什么是形式化?先抽象出公式,再套用公式是形式化?灌输死套公式的技巧,没有讲公式的演化过程是形式化?既然规律是学生自己总结出来的,也理解了,怎么算是过度形式化?数学教育应该引导学生学会用数学的方式去思考、去探索,这才是最最重要的。
(责编杜华)