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【关键词】众筹筑屋;加权平均;层次分析;整数规划
【中图分类号】TP301 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2021）07-0032-05
1 问题背景
在互联网时代，房地产开发的花样不断翻新，其中众筹筑屋就是众多方式中别具一格的新型模式。众筹筑屋规划最优化模型方案设计，可以使购房者获得更多的购房规划优惠，因此受到购房者的青睐。在此背景下，2015年在我国举办的大学生数模竞赛高职高专组D题《“众筹筑屋规划”最优化模型方案的设计》应运而生。
2 问题再现
在建房规划和房地产规划方案设计中，除了需要重点考虑房屋的开发成本和预期收益，还要充分考虑税率、容积率等因素的影响。根据国家已经出台的相关文件和政策，在具体的核算上，不同房型的开发费用、开发成本、容积率等都是有区别的（具体核算方式和方法详见2015年的数模竞赛D题中的附件2和附件3）。
在互联网时代，众筹筑屋不失为一种最新型的房地产开发新模式。某众筹筑屋项目，占地总面积达102 077.6 m2（参见2015年数模競赛D题中的附件1），该众筹筑屋项目规定：凡参筹者每1户人家只能认购1套住房，现在已知购房者有超过1万户登记参筹。请根据具体要求和相关政策（参见竞赛D题的附件），建立数学模型，并解决以下3个问题。
（1）建立相关数学模型，对该众筹筑屋所在项目方案Ⅰ（即原方案）的容积率和增值税、成本与收益等进行全面的核算。
（2）为了最大限度地满足每一个参筹者的购买意愿，现需要对每一个参筹者开展和实施抽样调查，获得参筹者对“众筹筑屋”项目中11种房型的最真实购买意愿的具体数据和比例。请重新给出该众筹筑屋项目的最优建设方案（即方案Ⅱ），并对新的方案Ⅱ开展全面的核算。
（3）一般来说，只有当众筹筑屋项目投资回报率达到或超过25%时，才会被采纳和实施。请问上述众筹筑屋最新方案Ⅱ能否被采纳和实施？若不能被采纳和实施，又应如何调整该众筹筑屋方案，使之能被采纳和实施？若能，请说出具体理由。
3 问题分析
通过对整个问题的分析和研究发现，3个问题之间其实存在密切的联系：问题一是整个问题的基础;问题二是在问题一的基础上加以设计和修改，再以问题一的求解方式进行求解;问题三则需要对问题二的结果进行判断和分析，最终才能得到所需的结果。
问题一：要求我们对方案Ⅰ进行全面的核算。解决这个问题的关键在于准确核算增值额、房地产收入金额和扣除项目金额。根据国家已经出台的相关文件和政策，在具体的核算上，不同房型的开发费用、开发成本、容积率等都是有区别的，因此要解决这个问题，我们先对我国土地增值税暂行条例 [1]进行分析，了解土地增值税税额与增值额、相应税率之间的关系;增值额与扣除项目金额、纳税人转让房地产所取得的收入之间的关系;而扣除项目金额又包含房地产开发费用、房地产开发成本、与转让房地产有关税金、取得土地使用权所支付的金额及其他扣除项目。房地产开发费用虽能提供凭证，但是财务费用中的利息支出不能分摊到每一个具体的房地产项目，因此房地产开发费用按房地产公司在取得土地使用权后，按土地实际使用面积所应支付的金额和对房地产开发所支出的成本金额之和的10%计算;当住宅类型是“其他”时，先对普通宅和非普通宅的总建筑面积求和，再分别求出普通宅、非普通宅与总建筑面积之比，再对各“其他”类型的房型按照此面积比分摊后再计算;最后通过求解各个量之间的关系，遵循各种政策便可以得出方案Ⅰ全面的核算。
问题二：为了最大限度地满足每一个参筹者的购买意愿，需要对每一个参筹者开展和实施抽样调查，并重新设计筑屋方案（即方案Ⅱ），并且对方案Ⅱ进行重新核算。根据参筹者对各种房型的满意比例，我们可以结合方案Ⅰ的数据重新设计方案Ⅱ。在筑屋规划和设计中，还需要考虑开发成本、预期收益、容积率、税率等因素;在规划方案的过程中，既要尽量使参筹者的购买意愿最大，又要使成本效益率最高，我们可以对这两个目标进行加权处理，以此建立多目标函数的优化模型。用Lingo软件求解得到方案Ⅱ，再结合问题一的求解方法，进而得到方案Ⅱ的核算结果。
问题三：本问题其实是问题二的延伸，我们可以对问题二的方案进行分析，首先求解出方案Ⅱ的投资回报率，然后依据该投资回报率判断是否达到或超过25%。若能达到或超过，则被采纳和实施;若不能达到，则需对方案Ⅱ进行调整。方案能否采纳和实施与投资回报率、成本效益率、满意度有着密切的关系，投资回报率、成本效益率、满意度又相互关联、相互制约，因此我们可以采用层次分析法建立模型，然后借用Matlab数学软件求得能采用或成功执行方案的各类房型的权重，再运用整数规划的方法求出能采纳和实施的方案。
4 符号说明
符号说明见表1。
5 模型假设
（1）假设扣除的项目金额都可以提供合法有效的凭证。
（2）假设没有因国家建设而依法收回、征用房地产。
（3）假设每套住房都有人购买。
（4）假设房地产产权全部发生转移，不存在自用或出租等商业用途。
（5）假设没有通过赠予、继承等无偿方式转让的房地产。
6 模型建立与求解
问题一：要解决的问题是对方案Ⅰ进行全面的核算。我们可运用四则运算及比例分配的方法建立一个初等模型。根据我国土地增值税暂行条例，得知每种房型增值额gi=hi-Ri 。每种房型转让房地产取得的收入hi=aibidi。每种房型土地增值税的扣除项目金额Ri=s1i+s2i+s3i+s4i+s5i。每种房型土地使用权所支付的金额s1i=777 179 627■。每种房型房地开发成本s2i=aibici。每种房型房地开发费用s3i=0.1（s1i+s2i）。每种房型与转让房地产有关税金s4i=0.0 565hi。每种房型其他扣除项目s5i=0.2（s1i+s2i）。转让房地产取得的总收入h=■hi 。
根据上述公式，在Excel软件中对数据进行处理，得到各种房型的增值额与扣除项目金额（见表2）。
提取普通标准住宅的信息（见表3），判断这些普通标准住宅能否免收土地增值税（判断标准为增值额和扣除项目金额之比是否超过0.2，若超过0.2，不能免收土地增值税，反之，则能免收土地增值税）。
由表2数据可知，房型1、房型3的增值额和扣除项目金额之比大于0.2，因此这两种房型不能免收土地增值税;而房型2、房型9（普通）、房型10（普通）的增值额和扣除项目金额之比小于0.2，因此这两种房型可以免收土地增值税。
由我国土地增值税暂行条例可以得到我国土地增值税四级超率累进税率表（见表4）。
根据表1结果并结合我国土地增值税实行四级超率累进税率（见表3），在Excel软件中对数据进行处理，得出各种房型的土地增值税额（见表5）。
我们设方案Ⅰ的总成本为P、容积率为Q、增值税为V、收益为W，可以列出公式（1）：
其中，ai为各房型的房型面积、bi为各房型的建房套数、ci各房型的开发成本、di为各房型的售价。
根据表4的数据及上述公式，计算得出方案Ⅰ的总成本为2 673 996 425元、容积率为2.275 23元、总增值税为229 429 247元、总收益为159 854 648元。
问题二：要解决的问题是重新设计筑屋方案（即方案Ⅱ），并对方案Ⅱ进行核算。要解决这个问题，既要考虑最大可能地满足参筹者的满意比例，又要考虑成本效益率（盈利与成本的比值）最高，因此此问题属于多目标规划问题。我们先使用加权平均法，建立多目标函数的优化模型，然后利用Lingo软件求解得到各种房型的建房套数;再根据问题一建立的初等模型，用四则运算及比例分配的方法，便可对方案Ⅱ进行全面核算。
考虑成本效益率，为了方便建立模型，在方案Ⅰ中对各种房型的收入与建房套数取比值，再算出加权平均值，即为方案Ⅱ中各种房型的每套盈利额;利用Excel软件对数据进行处理，得到结果见表6。
同理，求出各房型单位成本，用Excel软件进行处理，结果见表7。
考虑满意度和成本效益率这两个目标的重要程度，确定满意度和成本效益率大致为三七开，这时可以将目标函数Z和N分别乘以0.3和0.7，组成一个新的目标函数Y，因此可以建立整数规划的优化模型：
通过Lingo[2]求解，得到方案Ⅱ的结果见表8。
根据问题一建立的模型，利用Excel软件对数据进行求解，得出方案Ⅱ的总成本为2 642 371 505元、容积率为2.279 941 927、总增值税为144 870 143.6元、总收益为202 220 741元。
问题三：投资回报率为总售出价和总成本之差与总成本之间的比值，我们通过Excel软件对问题二中的数据进行处理得到方案Ⅱ的投资回报率为20%（<25%），因此该方案不能被采纳和实施。要想方案能够被采纳和实施，需要满足投资回报率等于或超过25%，即成本效益率高、参筹者满意度高，因此我们可以通过建立层次分析模型解决这个问题。我们先列出层次结构模型（如图1所示）。
满意度、成本效益率、投资回报率权重评估：通过比较矩阵和权向量方法对投资回报率进行比较和权重，得到更贴近投资回报率为25%。通过对满意度、成本效益率、投资回报率数据进行比较，得到满意度、成本效益率、投资回报率的赋值比（见表9）。
根据赋值比得到满意度矩阵A1、成本效益率矩阵A2、投资回报率矩阵A3：
利用Matnab[4]软件求解得最大特征根λ1=10.91、λ2=11、λ3=10.14 5，一致性指标如下：
随机一致性指标均为RI=1.51（查表），一致性比率如下：
A1、A2、A3的不一致程度都落在容许的范围内，因此可用它们各自的特征向量当作各自相应的权向量，都通过了一致性检验。
相应得出每种房型满意度、成本效益率、投资回报率权重（见表10）。
γi=ω1i+ω2i+ω3i，定义γi为能使方案Ⅱ被采纳和实施的权重，因此我们可以以此用整数规划的方法建立出能够被采纳和实施的方案模型。
经过对方案Ⅱ的调整，将新方案定义为方案Ⅲ，得出方案Ⅲ的结果（见表11）。
根据问题一建立的模型，利用Excel软件对数据进行求解，得到方案Ⅲ的总成本为2 802 659 856元、容积率为2.279 785 183、总增值税为326 924 965.2元、總收益为241 533 130.7元。得到投资回报率为27%（>25%），因此可以被采纳和实施。
7 模型评价与推广
问题一利用Excel软件对方案进行核算，方便快捷，准确度高，通用性强。问题二用加权平均法简化模型，使得模型易于实现，方便求解，可靠性强。问题三用层次分析法及整数规划法得到能够执行的方案。该方法可靠性高，通用性强，但加权处理时存在主观人为因素，可能与最佳方案有一定偏差，因此模型还可以做进一步的改进。
这类模型解决了众筹筑屋规划的设计问题，具有一定的推广性，适用于解决一些财务统计、基础项目建设信息统计等经济问题。
参 考 文 献
[1]国务院.《中华人民共和国土地增值税暂行条例》（国务院令第138号）[Z].1993.
[2]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].北京：清华大学出版社，2005.
[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].第3版.北京：高等教育出版社，2008.
[4]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].第2版.北京，高等教育出版社，2003.
【中图分类号】TP301 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2021）07-0032-05
1 问题背景
在互联网时代，房地产开发的花样不断翻新，其中众筹筑屋就是众多方式中别具一格的新型模式。众筹筑屋规划最优化模型方案设计，可以使购房者获得更多的购房规划优惠，因此受到购房者的青睐。在此背景下，2015年在我国举办的大学生数模竞赛高职高专组D题《“众筹筑屋规划”最优化模型方案的设计》应运而生。
2 问题再现
在建房规划和房地产规划方案设计中，除了需要重点考虑房屋的开发成本和预期收益，还要充分考虑税率、容积率等因素的影响。根据国家已经出台的相关文件和政策，在具体的核算上，不同房型的开发费用、开发成本、容积率等都是有区别的（具体核算方式和方法详见2015年的数模竞赛D题中的附件2和附件3）。
在互联网时代，众筹筑屋不失为一种最新型的房地产开发新模式。某众筹筑屋项目，占地总面积达102 077.6 m2（参见2015年数模競赛D题中的附件1），该众筹筑屋项目规定：凡参筹者每1户人家只能认购1套住房，现在已知购房者有超过1万户登记参筹。请根据具体要求和相关政策（参见竞赛D题的附件），建立数学模型，并解决以下3个问题。
（1）建立相关数学模型，对该众筹筑屋所在项目方案Ⅰ（即原方案）的容积率和增值税、成本与收益等进行全面的核算。
（2）为了最大限度地满足每一个参筹者的购买意愿，现需要对每一个参筹者开展和实施抽样调查，获得参筹者对“众筹筑屋”项目中11种房型的最真实购买意愿的具体数据和比例。请重新给出该众筹筑屋项目的最优建设方案（即方案Ⅱ），并对新的方案Ⅱ开展全面的核算。
（3）一般来说，只有当众筹筑屋项目投资回报率达到或超过25%时，才会被采纳和实施。请问上述众筹筑屋最新方案Ⅱ能否被采纳和实施？若不能被采纳和实施，又应如何调整该众筹筑屋方案，使之能被采纳和实施？若能，请说出具体理由。
3 问题分析
通过对整个问题的分析和研究发现，3个问题之间其实存在密切的联系：问题一是整个问题的基础;问题二是在问题一的基础上加以设计和修改，再以问题一的求解方式进行求解;问题三则需要对问题二的结果进行判断和分析，最终才能得到所需的结果。
问题一：要求我们对方案Ⅰ进行全面的核算。解决这个问题的关键在于准确核算增值额、房地产收入金额和扣除项目金额。根据国家已经出台的相关文件和政策，在具体的核算上，不同房型的开发费用、开发成本、容积率等都是有区别的，因此要解决这个问题，我们先对我国土地增值税暂行条例 [1]进行分析，了解土地增值税税额与增值额、相应税率之间的关系;增值额与扣除项目金额、纳税人转让房地产所取得的收入之间的关系;而扣除项目金额又包含房地产开发费用、房地产开发成本、与转让房地产有关税金、取得土地使用权所支付的金额及其他扣除项目。房地产开发费用虽能提供凭证，但是财务费用中的利息支出不能分摊到每一个具体的房地产项目，因此房地产开发费用按房地产公司在取得土地使用权后，按土地实际使用面积所应支付的金额和对房地产开发所支出的成本金额之和的10%计算;当住宅类型是“其他”时，先对普通宅和非普通宅的总建筑面积求和，再分别求出普通宅、非普通宅与总建筑面积之比，再对各“其他”类型的房型按照此面积比分摊后再计算;最后通过求解各个量之间的关系，遵循各种政策便可以得出方案Ⅰ全面的核算。
问题二：为了最大限度地满足每一个参筹者的购买意愿，需要对每一个参筹者开展和实施抽样调查，并重新设计筑屋方案（即方案Ⅱ），并且对方案Ⅱ进行重新核算。根据参筹者对各种房型的满意比例，我们可以结合方案Ⅰ的数据重新设计方案Ⅱ。在筑屋规划和设计中，还需要考虑开发成本、预期收益、容积率、税率等因素;在规划方案的过程中，既要尽量使参筹者的购买意愿最大，又要使成本效益率最高，我们可以对这两个目标进行加权处理，以此建立多目标函数的优化模型。用Lingo软件求解得到方案Ⅱ，再结合问题一的求解方法，进而得到方案Ⅱ的核算结果。
问题三：本问题其实是问题二的延伸，我们可以对问题二的方案进行分析，首先求解出方案Ⅱ的投资回报率，然后依据该投资回报率判断是否达到或超过25%。若能达到或超过，则被采纳和实施;若不能达到，则需对方案Ⅱ进行调整。方案能否采纳和实施与投资回报率、成本效益率、满意度有着密切的关系，投资回报率、成本效益率、满意度又相互关联、相互制约，因此我们可以采用层次分析法建立模型，然后借用Matlab数学软件求得能采用或成功执行方案的各类房型的权重，再运用整数规划的方法求出能采纳和实施的方案。
4 符号说明
符号说明见表1。
5 模型假设
（1）假设扣除的项目金额都可以提供合法有效的凭证。
（2）假设没有因国家建设而依法收回、征用房地产。
（3）假设每套住房都有人购买。
（4）假设房地产产权全部发生转移，不存在自用或出租等商业用途。
（5）假设没有通过赠予、继承等无偿方式转让的房地产。
6 模型建立与求解
问题一：要解决的问题是对方案Ⅰ进行全面的核算。我们可运用四则运算及比例分配的方法建立一个初等模型。根据我国土地增值税暂行条例，得知每种房型增值额gi=hi-Ri 。每种房型转让房地产取得的收入hi=aibidi。每种房型土地增值税的扣除项目金额Ri=s1i+s2i+s3i+s4i+s5i。每种房型土地使用权所支付的金额s1i=777 179 627■。每种房型房地开发成本s2i=aibici。每种房型房地开发费用s3i=0.1（s1i+s2i）。每种房型与转让房地产有关税金s4i=0.0 565hi。每种房型其他扣除项目s5i=0.2（s1i+s2i）。转让房地产取得的总收入h=■hi 。
根据上述公式，在Excel软件中对数据进行处理，得到各种房型的增值额与扣除项目金额（见表2）。
提取普通标准住宅的信息（见表3），判断这些普通标准住宅能否免收土地增值税（判断标准为增值额和扣除项目金额之比是否超过0.2，若超过0.2，不能免收土地增值税，反之，则能免收土地增值税）。
由表2数据可知，房型1、房型3的增值额和扣除项目金额之比大于0.2，因此这两种房型不能免收土地增值税;而房型2、房型9（普通）、房型10（普通）的增值额和扣除项目金额之比小于0.2，因此这两种房型可以免收土地增值税。
由我国土地增值税暂行条例可以得到我国土地增值税四级超率累进税率表（见表4）。
根据表1结果并结合我国土地增值税实行四级超率累进税率（见表3），在Excel软件中对数据进行处理，得出各种房型的土地增值税额（见表5）。
我们设方案Ⅰ的总成本为P、容积率为Q、增值税为V、收益为W，可以列出公式（1）：
其中，ai为各房型的房型面积、bi为各房型的建房套数、ci各房型的开发成本、di为各房型的售价。
根据表4的数据及上述公式，计算得出方案Ⅰ的总成本为2 673 996 425元、容积率为2.275 23元、总增值税为229 429 247元、总收益为159 854 648元。
问题二：要解决的问题是重新设计筑屋方案（即方案Ⅱ），并对方案Ⅱ进行核算。要解决这个问题，既要考虑最大可能地满足参筹者的满意比例，又要考虑成本效益率（盈利与成本的比值）最高，因此此问题属于多目标规划问题。我们先使用加权平均法，建立多目标函数的优化模型，然后利用Lingo软件求解得到各种房型的建房套数;再根据问题一建立的初等模型，用四则运算及比例分配的方法，便可对方案Ⅱ进行全面核算。
考虑成本效益率，为了方便建立模型，在方案Ⅰ中对各种房型的收入与建房套数取比值，再算出加权平均值，即为方案Ⅱ中各种房型的每套盈利额;利用Excel软件对数据进行处理，得到结果见表6。
同理，求出各房型单位成本，用Excel软件进行处理，结果见表7。
考虑满意度和成本效益率这两个目标的重要程度，确定满意度和成本效益率大致为三七开，这时可以将目标函数Z和N分别乘以0.3和0.7，组成一个新的目标函数Y，因此可以建立整数规划的优化模型：
通过Lingo[2]求解，得到方案Ⅱ的结果见表8。
根据问题一建立的模型，利用Excel软件对数据进行求解，得出方案Ⅱ的总成本为2 642 371 505元、容积率为2.279 941 927、总增值税为144 870 143.6元、总收益为202 220 741元。
问题三：投资回报率为总售出价和总成本之差与总成本之间的比值，我们通过Excel软件对问题二中的数据进行处理得到方案Ⅱ的投资回报率为20%（<25%），因此该方案不能被采纳和实施。要想方案能够被采纳和实施，需要满足投资回报率等于或超过25%，即成本效益率高、参筹者满意度高，因此我们可以通过建立层次分析模型解决这个问题。我们先列出层次结构模型（如图1所示）。
满意度、成本效益率、投资回报率权重评估：通过比较矩阵和权向量方法对投资回报率进行比较和权重，得到更贴近投资回报率为25%。通过对满意度、成本效益率、投资回报率数据进行比较，得到满意度、成本效益率、投资回报率的赋值比（见表9）。
根据赋值比得到满意度矩阵A1、成本效益率矩阵A2、投资回报率矩阵A3：
利用Matnab[4]软件求解得最大特征根λ1=10.91、λ2=11、λ3=10.14 5，一致性指标如下：
随机一致性指标均为RI=1.51（查表），一致性比率如下：
A1、A2、A3的不一致程度都落在容许的范围内，因此可用它们各自的特征向量当作各自相应的权向量，都通过了一致性检验。
相应得出每种房型满意度、成本效益率、投资回报率权重（见表10）。
γi=ω1i+ω2i+ω3i，定义γi为能使方案Ⅱ被采纳和实施的权重，因此我们可以以此用整数规划的方法建立出能够被采纳和实施的方案模型。
经过对方案Ⅱ的调整，将新方案定义为方案Ⅲ，得出方案Ⅲ的结果（见表11）。
根据问题一建立的模型，利用Excel软件对数据进行求解，得到方案Ⅲ的总成本为2 802 659 856元、容积率为2.279 785 183、总增值税为326 924 965.2元、總收益为241 533 130.7元。得到投资回报率为27%（>25%），因此可以被采纳和实施。
7 模型评价与推广
问题一利用Excel软件对方案进行核算，方便快捷，准确度高，通用性强。问题二用加权平均法简化模型，使得模型易于实现，方便求解，可靠性强。问题三用层次分析法及整数规划法得到能够执行的方案。该方法可靠性高，通用性强，但加权处理时存在主观人为因素，可能与最佳方案有一定偏差，因此模型还可以做进一步的改进。
这类模型解决了众筹筑屋规划的设计问题，具有一定的推广性，适用于解决一些财务统计、基础项目建设信息统计等经济问题。
参 考 文 献
[1]国务院.《中华人民共和国土地增值税暂行条例》（国务院令第138号）[Z].1993.
[2]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].北京：清华大学出版社，2005.
[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].第3版.北京：高等教育出版社，2008.
[4]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].第2版.北京，高等教育出版社，2003.