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使用教材:义务教育课程标准实验教科书数学(北师大版)九年级上册
教学目标:
(1)知识与能力:引导学生准确地建立三角形的中位线概念,掌握三角形的中位线定理,并能用它进行简单的计算和证明,及解决一些实际应用问题。
(2)过程与方法:通过动手操作、观察、思考体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程,从中发展几何直觉,进一步发展推理论证能力;体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。
(3)情感态度与价值观:通过对三角形中位线定理的自主探究、猜想、验证,让学生获得亲自参与研究、探索的情感体验,增强学习数学的热情;感受证明的严谨性,体会事物之间的内在联系;通过与人交流合作、解决问题的过程,使学生认识自我,建立自信,树立正确的价值观。
教学重点、难点:
重点是观察思考,了解三角形的中位线定义及定理;进一步发展学生的逻辑思维能力,促使学生能用综合法证明三角形的中位线定理。
难点是准确、合理地找出证明方法有条理地对三角形的中位线定理予以证明。
教学过程
一、创设情景,问题引入
师:请同学们拿出准备好的任意三角形纸片,用剪刀在纸片上只剪一刀,将分成的两块拼出一个平行四边形。(要求:同学之间可以交流合作,并请画出剪拼前后的示意图。)
生:分成学习小组,各组内部交流讨论,积极剪拼,画出示意图。
说明:创设操作探究环境,营造合作气氛,为学生提供自主探索的平台。
教师请小组推举发言代表中的生1、生2两位同学到讲台上描述、演示剪拼方案。并根据学生演示情况,用电脑模拟演示一种剪拼操作全过程,生成图形如下:(学生们仔细聆听,以好奇的心态欣赏电脑演示全过程)
(提示:位置关系和数量关系)
生4:DE∥BC和DE=1/2BC
说明:教师作为引导者,提出思考问题的方向,不全面“灌知”,符合新课标精神。
师:这一猜想是否准确呢?请同学们用量角器和刻度尺进一步验证该结论。
(学生们立即画图,投入到热烈的自主探索气氛之中。时过不久,学生陆续发言,肯定了生4的结论是正确的)
说明:在得出猜想的基础上,用新的操作方法予以检验,体现了“做数学”的思想。
师:那么,谁能用一句话概括我们的发现呢?
生5:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。(学生边回答,教师边板书,并刻意在命题前空下两格)
说明:仍然把提炼教学内容的任务交给学生,学生回答不够精练不要紧,教师可从旁指导,以培养学生的归纳、概括能力。
三、发散思维,严谨证明
师:我们通过实践操作检验了这一猜想的正确性,真是实践出真知呀,但我们不能时时处处都这样啊,你能对这一猜想加以证明吗?(请同学们独立思考)
说明:有开有合,在此提出独立思考的要求,可发现不同学生的不同思维特点,并为得出不同的解法创造契机。
(全体学生陷入沉思之中。其间,有的学生重新拼接,动手思索;有的学生画出草图,皱眉苦思;有的学生面对多媒体演示图形,会心而悟……几分钟后,学生开始窃窃私语)
师:下面请同学们举手发言,说说你的想法。
生6:首先,得写出已知,求证。
师:哦,思考缜密,很好!请继续说。(师边说边补写出)
说明:从教师的语气中可听出刚开始并没有意识到学生会这么答,可见,我们的学生多么聪明。
生6:我由D、E分别是AB、AC的中点,想到AD/AB=1/2,AE/AC=1/2,所以AD/AB=AE/AC,而AD、AE与AB、AC分别所夹的角是同一个角,所以△ADE与△ABC相似,那么∠ADE与∠B就相等,DE与BC就平行了。另外,可得出DE/BC=AD/AB=1/2,所以DE=1/2-BC。
师:太好了,你真聪明,能从中点条件产生比值,联想到在八年级学过的相似形知识,使问题得以解决。同学们,我们一起来为他鼓掌。(一时间,掌声响遍教室,师生精神为之一振,生6也在掌声中自豪地坐了下去。)
说明:教师对学生调用知识的思路作以简单剖析,并给予积极评价,使师生情感交融、和谐,体现了教师驾驭课堂的能力。
师:同学们还有其他的证法吗?(语声刚落,已有学生应声举手)
生7:我是这样想的,通过我们刚才剪拼图形的过程,我联想到作辅助线构造出平行四边形来解决,就像您用电脑演示的第三个图形那样。
师:哦,是这样想的呀,好!说说理由。(边说边根据学生回答用鼠标点出如下图形)
生7:过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F,则有∠F=∠ADE,又有∠CEF=∠AED,AE=CE,所以△CFE≌△ADE,那么CF=AD、EF=ED,而AD=BD,所以CF=BD,那么,四边形DBCF就是平行四边形,所以说DF与BC平行且相等,而DF=2DE,所以证得DE∥BC且 DE=1/2BC。
师:同学们说正确吗?
生:(兴奋的齐声回答)正确。
师:那好,我们也用掌声来感谢他为我们作的发言。
说明:至此,已有两名学生口述了两种不同的证法,口语表达能力培养的意图很明显。
师:下面请两位同学到讲台上把刚才两位同学的说理过程板书一遍,毛遂自荐者请上台。
(学生踊跃举手,最后生8、生9上台板书,其他学生在演草纸上书写)
(教师在巡视中,对学生书写中的问题予以指导纠正)
说明:进行到这里,是让学生口述说理的自然延续,不仅培养学生严谨的思维,更要注意证明的严密性。
教师在对两位同学的板书作以评讲后发言,同学们都较好地掌握了这一猜想的证明。这就是我们此堂课所要学习的重点内容:三角形的中位线定理(在前面书写的命题前用红色粉笔补写出“定理”二字)。下面请大家自阅课本第81页的内容。
说明:教师补写出前面刻意留下的两个字:“定理”,突显内容主题,使得整堂课自然流畅。通过阅读,用课本中的证法,进一步规范学生的书写过程。
四、辨析训练,巩固新知
师:请同学们把书翻到第82页,思考解答下方的随堂练习题。(稍停后,学生回答)
生10:因为在△ABC中,M、N分别是AC、BC的中点,所以MN是△ABC的中位线,那么MN=1/2AB,即AB=2MN,所以当小明测出MN的长,就可以算出AB长了。
说明:学以致用,解决较为简单的实际问题。
师:回答正确,你真棒!下面请同学们再把书翻到第80页,自己阅读此页上半部分。
(学生默默阅读、思考)
师:请问,图中的四个小三角形为什么全等呢?
(学生积极发言,能准确回答)
说明:灵活处理教材,使教材功用最大化。
师:同学们回答的很好,下面再看一例(电脑显示):
(学生积极思考,讨论分析)
生12:四边形EFGH是平行四边形。连接AC后,我们就知道HG、EF分别是△DAC和△BAC的中位线,由刚学的知识就可得出HG∥AC∥EF,且HG=1/2AC=EF,所以HG与EF平行且相等,那么四边形EFGH就是平行四边形了。(待口述完毕,教师用鼠标点出相应证明过程)
师:你能学以致用,联想到连接四边形的对角线,把四边形问题转化为三角形问题加以研究、解决,真聪明。像这样,在我们研究四边形问题时,通过作辅助线,把其转化为三角形问题的方法,在今后的学习中,运用还较多,请同学们细心体会这种思考问题的方法。
说明:必要的学习指导是一堂优质、高效的课必不可少的环节。此处,教师清晰明了地提出了研究数学问题的常用思想和方法。
教师用电脑显示上例变式题:在原例基础上,顺次连接四边形EFGH的各边中点,那么,所得四边形是什么形状的图形?如果再顺次连接所得四边形的各边中点,并像这样,无限连接下去,问所得四边形的形状会发生改变吗?
生13:仍然是平行四边形;不会发生改变,还是平行四边形。
说明:对原例加以拓展,并渗透了极限化的数学思想。
六、品尝收获,自我评价
师:这堂课中,同学们都能积极动手、勤于思考,回答问题清晰明白,这一切使老师很高兴,我相信大家一定会有很多收获。现在请同学们回想一下,今天你学到了什么?又有何感受呢?
说明:对同学们的表现作以积极评价,再让学生自主评价,体验收获的快乐。
生:我认识了三角形的中位线,并知道了它平行于第三边,且等于第三边的一半;
生6:我很自豪,我用了一种与课本证法不一样的方法证明了三角形的中位线定理;
生:我认识到三角形的中位线定理在证明和计算中的作用很大;
生:我觉得从实验操作的过程中可以寻找到解决问题的方法;
生:我认识到读题时,如题中有中点条件,不只要联想到三角形的中线,还要想到三角形的中位线;
生:我从同学们的发言中学到很多,希望老师能让我们多交流。
说明:实现不同的学生在数学上有不同的发展。
七、课后延伸,分类达标
教师安排作业:
基础题:习题3.3中第3、4两题。
开放题:请同学们根据所示图形,结合本节课所学习的内容或从前学过的数学知识,自己编一道数学题,并给出解答过程或说明理由。
说明:开放题是由课本中和题目变式出来的,问题解决方法多样化,同时也体现出数学从生活中来,又用到生活中去的新课程理念。
(责任编辑:张华伟)
教学目标:
(1)知识与能力:引导学生准确地建立三角形的中位线概念,掌握三角形的中位线定理,并能用它进行简单的计算和证明,及解决一些实际应用问题。
(2)过程与方法:通过动手操作、观察、思考体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程,从中发展几何直觉,进一步发展推理论证能力;体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。
(3)情感态度与价值观:通过对三角形中位线定理的自主探究、猜想、验证,让学生获得亲自参与研究、探索的情感体验,增强学习数学的热情;感受证明的严谨性,体会事物之间的内在联系;通过与人交流合作、解决问题的过程,使学生认识自我,建立自信,树立正确的价值观。
教学重点、难点:
重点是观察思考,了解三角形的中位线定义及定理;进一步发展学生的逻辑思维能力,促使学生能用综合法证明三角形的中位线定理。
难点是准确、合理地找出证明方法有条理地对三角形的中位线定理予以证明。
教学过程
一、创设情景,问题引入
师:请同学们拿出准备好的任意三角形纸片,用剪刀在纸片上只剪一刀,将分成的两块拼出一个平行四边形。(要求:同学之间可以交流合作,并请画出剪拼前后的示意图。)
生:分成学习小组,各组内部交流讨论,积极剪拼,画出示意图。
说明:创设操作探究环境,营造合作气氛,为学生提供自主探索的平台。
教师请小组推举发言代表中的生1、生2两位同学到讲台上描述、演示剪拼方案。并根据学生演示情况,用电脑模拟演示一种剪拼操作全过程,生成图形如下:(学生们仔细聆听,以好奇的心态欣赏电脑演示全过程)
(提示:位置关系和数量关系)
生4:DE∥BC和DE=1/2BC
说明:教师作为引导者,提出思考问题的方向,不全面“灌知”,符合新课标精神。
师:这一猜想是否准确呢?请同学们用量角器和刻度尺进一步验证该结论。
(学生们立即画图,投入到热烈的自主探索气氛之中。时过不久,学生陆续发言,肯定了生4的结论是正确的)
说明:在得出猜想的基础上,用新的操作方法予以检验,体现了“做数学”的思想。
师:那么,谁能用一句话概括我们的发现呢?
生5:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。(学生边回答,教师边板书,并刻意在命题前空下两格)
说明:仍然把提炼教学内容的任务交给学生,学生回答不够精练不要紧,教师可从旁指导,以培养学生的归纳、概括能力。
三、发散思维,严谨证明
师:我们通过实践操作检验了这一猜想的正确性,真是实践出真知呀,但我们不能时时处处都这样啊,你能对这一猜想加以证明吗?(请同学们独立思考)
说明:有开有合,在此提出独立思考的要求,可发现不同学生的不同思维特点,并为得出不同的解法创造契机。
(全体学生陷入沉思之中。其间,有的学生重新拼接,动手思索;有的学生画出草图,皱眉苦思;有的学生面对多媒体演示图形,会心而悟……几分钟后,学生开始窃窃私语)
师:下面请同学们举手发言,说说你的想法。
生6:首先,得写出已知,求证。
师:哦,思考缜密,很好!请继续说。(师边说边补写出)
说明:从教师的语气中可听出刚开始并没有意识到学生会这么答,可见,我们的学生多么聪明。
生6:我由D、E分别是AB、AC的中点,想到AD/AB=1/2,AE/AC=1/2,所以AD/AB=AE/AC,而AD、AE与AB、AC分别所夹的角是同一个角,所以△ADE与△ABC相似,那么∠ADE与∠B就相等,DE与BC就平行了。另外,可得出DE/BC=AD/AB=1/2,所以DE=1/2-BC。
师:太好了,你真聪明,能从中点条件产生比值,联想到在八年级学过的相似形知识,使问题得以解决。同学们,我们一起来为他鼓掌。(一时间,掌声响遍教室,师生精神为之一振,生6也在掌声中自豪地坐了下去。)
说明:教师对学生调用知识的思路作以简单剖析,并给予积极评价,使师生情感交融、和谐,体现了教师驾驭课堂的能力。
师:同学们还有其他的证法吗?(语声刚落,已有学生应声举手)
生7:我是这样想的,通过我们刚才剪拼图形的过程,我联想到作辅助线构造出平行四边形来解决,就像您用电脑演示的第三个图形那样。
师:哦,是这样想的呀,好!说说理由。(边说边根据学生回答用鼠标点出如下图形)
生7:过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F,则有∠F=∠ADE,又有∠CEF=∠AED,AE=CE,所以△CFE≌△ADE,那么CF=AD、EF=ED,而AD=BD,所以CF=BD,那么,四边形DBCF就是平行四边形,所以说DF与BC平行且相等,而DF=2DE,所以证得DE∥BC且 DE=1/2BC。
师:同学们说正确吗?
生:(兴奋的齐声回答)正确。
师:那好,我们也用掌声来感谢他为我们作的发言。
说明:至此,已有两名学生口述了两种不同的证法,口语表达能力培养的意图很明显。
师:下面请两位同学到讲台上把刚才两位同学的说理过程板书一遍,毛遂自荐者请上台。
(学生踊跃举手,最后生8、生9上台板书,其他学生在演草纸上书写)
(教师在巡视中,对学生书写中的问题予以指导纠正)
说明:进行到这里,是让学生口述说理的自然延续,不仅培养学生严谨的思维,更要注意证明的严密性。
教师在对两位同学的板书作以评讲后发言,同学们都较好地掌握了这一猜想的证明。这就是我们此堂课所要学习的重点内容:三角形的中位线定理(在前面书写的命题前用红色粉笔补写出“定理”二字)。下面请大家自阅课本第81页的内容。
说明:教师补写出前面刻意留下的两个字:“定理”,突显内容主题,使得整堂课自然流畅。通过阅读,用课本中的证法,进一步规范学生的书写过程。
四、辨析训练,巩固新知
师:请同学们把书翻到第82页,思考解答下方的随堂练习题。(稍停后,学生回答)
生10:因为在△ABC中,M、N分别是AC、BC的中点,所以MN是△ABC的中位线,那么MN=1/2AB,即AB=2MN,所以当小明测出MN的长,就可以算出AB长了。
说明:学以致用,解决较为简单的实际问题。
师:回答正确,你真棒!下面请同学们再把书翻到第80页,自己阅读此页上半部分。
(学生默默阅读、思考)
师:请问,图中的四个小三角形为什么全等呢?
(学生积极发言,能准确回答)
说明:灵活处理教材,使教材功用最大化。
师:同学们回答的很好,下面再看一例(电脑显示):
(学生积极思考,讨论分析)
生12:四边形EFGH是平行四边形。连接AC后,我们就知道HG、EF分别是△DAC和△BAC的中位线,由刚学的知识就可得出HG∥AC∥EF,且HG=1/2AC=EF,所以HG与EF平行且相等,那么四边形EFGH就是平行四边形了。(待口述完毕,教师用鼠标点出相应证明过程)
师:你能学以致用,联想到连接四边形的对角线,把四边形问题转化为三角形问题加以研究、解决,真聪明。像这样,在我们研究四边形问题时,通过作辅助线,把其转化为三角形问题的方法,在今后的学习中,运用还较多,请同学们细心体会这种思考问题的方法。
说明:必要的学习指导是一堂优质、高效的课必不可少的环节。此处,教师清晰明了地提出了研究数学问题的常用思想和方法。
教师用电脑显示上例变式题:在原例基础上,顺次连接四边形EFGH的各边中点,那么,所得四边形是什么形状的图形?如果再顺次连接所得四边形的各边中点,并像这样,无限连接下去,问所得四边形的形状会发生改变吗?
生13:仍然是平行四边形;不会发生改变,还是平行四边形。
说明:对原例加以拓展,并渗透了极限化的数学思想。
六、品尝收获,自我评价
师:这堂课中,同学们都能积极动手、勤于思考,回答问题清晰明白,这一切使老师很高兴,我相信大家一定会有很多收获。现在请同学们回想一下,今天你学到了什么?又有何感受呢?
说明:对同学们的表现作以积极评价,再让学生自主评价,体验收获的快乐。
生:我认识了三角形的中位线,并知道了它平行于第三边,且等于第三边的一半;
生6:我很自豪,我用了一种与课本证法不一样的方法证明了三角形的中位线定理;
生:我认识到三角形的中位线定理在证明和计算中的作用很大;
生:我觉得从实验操作的过程中可以寻找到解决问题的方法;
生:我认识到读题时,如题中有中点条件,不只要联想到三角形的中线,还要想到三角形的中位线;
生:我从同学们的发言中学到很多,希望老师能让我们多交流。
说明:实现不同的学生在数学上有不同的发展。
七、课后延伸,分类达标
教师安排作业:
基础题:习题3.3中第3、4两题。
开放题:请同学们根据所示图形,结合本节课所学习的内容或从前学过的数学知识,自己编一道数学题,并给出解答过程或说明理由。
说明:开放题是由课本中和题目变式出来的,问题解决方法多样化,同时也体现出数学从生活中来,又用到生活中去的新课程理念。
(责任编辑:张华伟)