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摘要：采用整数编码遗传算法模拟工程问题中的离散变量优化问题，结合我国规范，对一个5层框架结构进行整体优化设计。优化效果好，效率高，无需圆整后处理，与实际工程相符。
关键词：遗传算法；整数编码；离散变量；R.C.框架优化设计
中图分类号：S611文献标识码： A
0 引言
遗传算法(Genetic Algorithm，GA)是近几年发展起来的一种崭新的全局优化算法。与传统优化算法相比，其具有隐行性、全局性和较好的鲁棒性的同时，又易于理解，操作简单的优点。采用二进制编码的标准遗传算法(SGA)在结构优化领域已经取得了一定的成果，但当变量数量和约束数量增加时，标准遗传算法由不一定能搜索到最优个体。本文尝试采用整数编码进行遗传算法编写，减少不同代码之间的转换工作，同时解决了离散化变量的优化问题，与实际工程更为相符。
1 R.C.框架优化模型
1.1目标函数和设计变量
以框架结构主体（主梁和柱）总造价为钢筋混凝土框架结构的目标函数：
(1.1)
NEB、NEC——分别为梁总数和柱总数；
——第i号主梁的造价，包括梁的混凝土成本、纵筋成本、箍筋成本、模板成本；
——第j号柱的造价，包括柱的混凝土成本、纵筋成本、箍筋成本、模板成本；
梁柱以截面编号分组，一组构件共享一个截面属性，每个截面属性有b、h两个变量。另外每层柱的砼号相同，每层柱共享一个砼等级变量。对于一个5层框架结构，若有梁柱截面分组各20个，则共有85非设设计变量。
1.2 约束条件
1）梁最大配筋率约束
要求支座两端和跨中的受压区高度满足相对界限受压区的高度要求，即
(1.2)
(1.3)
(1.4)
ξl 、ξr、ξm——为左支座、右支座、跨中的相对受压区高度；
ξb ——界限受压区高度。
2）梁最小截面约束
对于非抗震组合设计时钢筋混凝土梁受剪截面应满足如下约束：
(1.5)
V——梁剪力设计值；
βc——混凝土强度影响系数。
对于抗震组合设计时钢筋混凝土梁受剪截面应满足如下约束：
当l0/h > 2.5时，有：
(1.6)
当l0/h ≤ 2.5时，有：
(1.7)
3）梁挠度约束
(1.8)
f —— 准永久荷载组合下梁的挠度；
[f ] ——梁挠度限制。
4）梁截面高宽比约束
(1.9)
bbh——梁的截面高宽比，一般取4。
5）柱最大配筋率约束
(1.10)
Asb、Ash ——分别为b方向、h方向单偏压计算配筋面积。
ρmax —— 柱全截面最大配筋率，取5%。
6）柱最小截面约束
以h方向的抗剪截面要求为例，非抗震组合设计时钢筋混凝土梁受剪截面应满足如下约束：
(1.11)
抗震组合设计时钢筋混凝土梁受剪截面应满足如下约束：
当剪跨比λ大于2.5时，有：
(1.12)
当剪跨比λ不大于2.5时，有：
(1.13)
7）柱轴压比约束
(1.14)
αp ——轴压比限值。框架结构抗震等级为一级、二级、三级、四级时分别取0.65、0.75、0.85、0.90。
8）柱截面高宽比约束
以h方向截面高宽为例
(1.15)
cbh——柱的截面高宽比，一般取3。
9）楼层混凝土等级约束：
第i层的混凝土等级不大于第i-1层的混凝土等级，其约束表达式为：
(1.16)
2整数编码遗传算法设计
2.1初始种群生成和适应度函数
已知框架结构中的变量均为符合一定模数制的离散值。
设已有目标函数f (x)，有x=(x1，x2，x3……,xn)，x ∈ XD，(i=1,2,3……,n)，其中XD为离散空间。
对第i个变量，有vi ≤ xi ≤ui ，其中vi、ui为第i个变量的上下界，ci为xi在定义域内的间隔距离，vi ∈ N*、ui ∈ N*、ci ∈ N*，N*为正整数集合。
指定遗传算法中迭代种群规模为M时，则随机生成的个体变量如下：
(2.1)
(i=1,2,3……,n) (j=1,2,3……,M)
其中为在[0,1]内的随机数，INT为向下取整的计算。对目标函数为最小化的问题可构造如式2.2的适应度函数：
(2.2)
cmax可以是是当前所有代或最近K代中f(x)的最大值。
2.2自适应交叉算子
为了保障在种群进化过程中优良的个体不被破坏流失，同时保障有新的个体加入，本文不采用固定的交叉概率，而是根据需要交叉配对的两个个体的适应值计算自适应的交叉概率。假设和两个需要进行交叉计算的个体，其确定自适应交叉概率的公式为式2.3：
(2.3)
——为当前种群的平均适应值
——为这前种群中的最佳适应值
k1、k2——确定交叉变量Pc的相关常数，由计算人员确定，一般k2比k1略大
当和中适应值的较大者大于等于平均适应值时，调整减小交叉概率Pc。当和中适应值的较大者小于平均适应值时，交叉概率Pc等于较大的k2。
当交叉的随机判定数RND小于Pc时，个体和需要进行染色体交叉计算生成新的子代染色体，否则两者直接遗传到子代中，见式2.4，式中为程序自带产生的随机数。为了保证交叉产生的子代满足模数制，还需用式2.5进行修正。
(2.4)
以为例进行基于模数制的修正，有：
(2.5)
2.3自适应变异算子
本文同样不采用固定的变异概率，而是根据需要变异个体的适应值计算自适应的变异概率。假设个体需要进行变异计算，其确定自适应变异概率的公式为式2.6：
(2.6)
k3、k4——確定交叉变量Pm的相关常数，由计算人员确定，一般k4比k3略大
当个体的适应值的大于等于平均适应值时，根据式2.6-(1)调整减小交叉概率Pm。当的适应值的小于平均适应值时，根据2.6-(2)交叉概率Pm等于k4。
当交叉的随机判定数RND小于P m时，根据式2.7对基因进行非均匀变异：
(2.7)
、——系统程序自带产生的随机数。
2.4锦标赛选择算子
本文根据选用锦标赛选择作为主要选择方法。锦标赛选择，又称随机联赛选择，是每次随机从进化代种群中取出一定数量（Tour）个体，然后选择其中最佳个体进入下一代种群。重复操作，直到新的种群规模达到原来的种群规模。
3算例分析
3.1工程概况
算例框架结构，5层；层高3米；设防烈度7度(0.10g)；地震分组一组；Tg=0.9s；抗震等级为三级；基本风压为0.55kN/m2；地面粗糙程度B类。ETABS模型中每层分为4组梁截面和4组柱截面，平面布置规则以第5层平面图为例，每层构件分组见图1。各组梁截面属性的初始截面为300mm×700mm，柱截面属性的初始截面为500mm×500mm。最大层间位移角限值为1/550。梁混凝土等级统一采用C30，造价为465元/m3。柱混凝土等级共有1~5个代码，分别对应C30~C50的混凝土等级，各等级单价依此为583元/m3，604元/m3，626元/m3，648元/m3 ，676元/m3。梁模板的单价为82元/kg，梁钢筋单价为4793元/t，柱模板单价为99元/kg，柱钢筋单价为4918元/t。主要优化参数设置见表1。
图1ETABS模型三维视图图2第5层平面布置图
3.2整体优化流程
本文整体优化分为两部执行，第一部分冻结内力做结构尺寸的优化，第二部分在第一部分得到的新最优个体的基础上，更新模型内力，再次执行第一部分的操作，反复这个过程直到造价满足收敛条件，终止优化程序，
输出最终的优化结果。在第一部分优化又分两个级别。第一级为不考虑结构刚度对内力的影响，在梁柱构件约束和层间约束下执行遗传算法；第二级为在遗传算法优化得到的最佳个体后，回代入ETABS模型验算位移约束，如果不满足位移约束则执行行相应的调整策略不断更新ETABS模型直到满足位移约束。整体优化的步骤为：
①识别模型
②冻结内力，读取内力分析结果
③生成初始种群
④遗传算法操作：交叉、变异、选择
⑤评估新种群
⑥是否达到遗传算法收敛精度，是则进入下一步，否则返回执行④~⑤
⑦验算位移约束，不通过调整模型直到通过为止
⑧框架总造价是否整体收敛，是则输出内力，否则解冻内力，更新模型，返回执行②~⑦
3.3优化结果
部分优化参数取值见表1，优化过程中造价的下降曲线见图3。本案例共进行了5次整体优化计算，最终优化造价比原始设计造价下降30%，优化效果显著。由于本文引入了遗传算法的自适应参数调整，目标函数的下降速度快，整体优化的效率高。优化后的最大层间位移角出现在第二层为1/552（见表2），说明结构的刚度在满足规范要求的前提下，变得更合理。
表1优化参数取值
图3造价优化下降曲线
表2 优化后的层间位移角
5 结论
本文直接采用整数编码，能够良好得描述工程结构问题中离散变量在遗传算法中的种群生成、交叉、变异、选择。采用分部优化法，反应结构尺寸和结构内力的非线性关系。通过算例验证，本文的方法优化效果良好，优化效率高，给其他采用遗传算法优化设计的结构模型提供了有益的参考。
参考文献
[1] 张琦. 采用遗传算法对钢筋混凝土框架结构进行优化设计[D]. 山东大学硕士学位论文, 2006, 5.
[2]肖国涛. 基于遗传算法的钢管混凝土框架结构优化研究[D]. 华中科技大学硕士学位论文, 2005, 3.
[3] 陆海燕. 基于遗传算法和准则法的高层建筑结构优化设计研究[D]. 大连理工大学博士学位论文, 2009, 6.
[4] [19] 张思才, 张方晓. 自适应遗传算法在桁架结构优化设计中的应用[J].湘潭大学自然科学学报, 2002, 24(4): 37 - 411.
[5] M. Srinivas, L.M. Patnaik. Adaptive Probabilities of Crossover and Mutation in Genetic Algorithms[J]. Systems, Man and Cybernetics, 1994, 24(4): 656 – 667.
[6] 建筑抗震設计规范(GB50011-2010) [S]. 北京:中国建筑工业出版社, 2010.
关键词：遗传算法；整数编码；离散变量；R.C.框架优化设计
中图分类号：S611文献标识码： A
0 引言
遗传算法(Genetic Algorithm，GA)是近几年发展起来的一种崭新的全局优化算法。与传统优化算法相比，其具有隐行性、全局性和较好的鲁棒性的同时，又易于理解，操作简单的优点。采用二进制编码的标准遗传算法(SGA)在结构优化领域已经取得了一定的成果，但当变量数量和约束数量增加时，标准遗传算法由不一定能搜索到最优个体。本文尝试采用整数编码进行遗传算法编写，减少不同代码之间的转换工作，同时解决了离散化变量的优化问题，与实际工程更为相符。
1 R.C.框架优化模型
1.1目标函数和设计变量
以框架结构主体（主梁和柱）总造价为钢筋混凝土框架结构的目标函数：
(1.1)
NEB、NEC——分别为梁总数和柱总数；
——第i号主梁的造价，包括梁的混凝土成本、纵筋成本、箍筋成本、模板成本；
——第j号柱的造价，包括柱的混凝土成本、纵筋成本、箍筋成本、模板成本；
梁柱以截面编号分组，一组构件共享一个截面属性，每个截面属性有b、h两个变量。另外每层柱的砼号相同，每层柱共享一个砼等级变量。对于一个5层框架结构，若有梁柱截面分组各20个，则共有85非设设计变量。
1.2 约束条件
1）梁最大配筋率约束
要求支座两端和跨中的受压区高度满足相对界限受压区的高度要求，即
(1.2)
(1.3)
(1.4)
ξl 、ξr、ξm——为左支座、右支座、跨中的相对受压区高度；
ξb ——界限受压区高度。
2）梁最小截面约束
对于非抗震组合设计时钢筋混凝土梁受剪截面应满足如下约束：
(1.5)
V——梁剪力设计值；
βc——混凝土强度影响系数。
对于抗震组合设计时钢筋混凝土梁受剪截面应满足如下约束：
当l0/h > 2.5时，有：
(1.6)
当l0/h ≤ 2.5时，有：
(1.7)
3）梁挠度约束
(1.8)
f —— 准永久荷载组合下梁的挠度；
[f ] ——梁挠度限制。
4）梁截面高宽比约束
(1.9)
bbh——梁的截面高宽比，一般取4。
5）柱最大配筋率约束
(1.10)
Asb、Ash ——分别为b方向、h方向单偏压计算配筋面积。
ρmax —— 柱全截面最大配筋率，取5%。
6）柱最小截面约束
以h方向的抗剪截面要求为例，非抗震组合设计时钢筋混凝土梁受剪截面应满足如下约束：
(1.11)
抗震组合设计时钢筋混凝土梁受剪截面应满足如下约束：
当剪跨比λ大于2.5时，有：
(1.12)
当剪跨比λ不大于2.5时，有：
(1.13)
7）柱轴压比约束
(1.14)
αp ——轴压比限值。框架结构抗震等级为一级、二级、三级、四级时分别取0.65、0.75、0.85、0.90。
8）柱截面高宽比约束
以h方向截面高宽为例
(1.15)
cbh——柱的截面高宽比，一般取3。
9）楼层混凝土等级约束：
第i层的混凝土等级不大于第i-1层的混凝土等级，其约束表达式为：
(1.16)
2整数编码遗传算法设计
2.1初始种群生成和适应度函数
已知框架结构中的变量均为符合一定模数制的离散值。
设已有目标函数f (x)，有x=(x1，x2，x3……,xn)，x ∈ XD，(i=1,2,3……,n)，其中XD为离散空间。
对第i个变量，有vi ≤ xi ≤ui ，其中vi、ui为第i个变量的上下界，ci为xi在定义域内的间隔距离，vi ∈ N*、ui ∈ N*、ci ∈ N*，N*为正整数集合。
指定遗传算法中迭代种群规模为M时，则随机生成的个体变量如下：
(2.1)
(i=1,2,3……,n) (j=1,2,3……,M)
其中为在[0,1]内的随机数，INT为向下取整的计算。对目标函数为最小化的问题可构造如式2.2的适应度函数：
(2.2)
cmax可以是是当前所有代或最近K代中f(x)的最大值。
2.2自适应交叉算子
为了保障在种群进化过程中优良的个体不被破坏流失，同时保障有新的个体加入，本文不采用固定的交叉概率，而是根据需要交叉配对的两个个体的适应值计算自适应的交叉概率。假设和两个需要进行交叉计算的个体，其确定自适应交叉概率的公式为式2.3：
(2.3)
——为当前种群的平均适应值
——为这前种群中的最佳适应值
k1、k2——确定交叉变量Pc的相关常数，由计算人员确定，一般k2比k1略大
当和中适应值的较大者大于等于平均适应值时，调整减小交叉概率Pc。当和中适应值的较大者小于平均适应值时，交叉概率Pc等于较大的k2。
当交叉的随机判定数RND小于Pc时，个体和需要进行染色体交叉计算生成新的子代染色体，否则两者直接遗传到子代中，见式2.4，式中为程序自带产生的随机数。为了保证交叉产生的子代满足模数制，还需用式2.5进行修正。
(2.4)
以为例进行基于模数制的修正，有：
(2.5)
2.3自适应变异算子
本文同样不采用固定的变异概率，而是根据需要变异个体的适应值计算自适应的变异概率。假设个体需要进行变异计算，其确定自适应变异概率的公式为式2.6：
(2.6)
k3、k4——確定交叉变量Pm的相关常数，由计算人员确定，一般k4比k3略大
当个体的适应值的大于等于平均适应值时，根据式2.6-(1)调整减小交叉概率Pm。当的适应值的小于平均适应值时，根据2.6-(2)交叉概率Pm等于k4。
当交叉的随机判定数RND小于P m时，根据式2.7对基因进行非均匀变异：
(2.7)
、——系统程序自带产生的随机数。
2.4锦标赛选择算子
本文根据选用锦标赛选择作为主要选择方法。锦标赛选择，又称随机联赛选择，是每次随机从进化代种群中取出一定数量（Tour）个体，然后选择其中最佳个体进入下一代种群。重复操作，直到新的种群规模达到原来的种群规模。
3算例分析
3.1工程概况
算例框架结构，5层；层高3米；设防烈度7度(0.10g)；地震分组一组；Tg=0.9s；抗震等级为三级；基本风压为0.55kN/m2；地面粗糙程度B类。ETABS模型中每层分为4组梁截面和4组柱截面，平面布置规则以第5层平面图为例，每层构件分组见图1。各组梁截面属性的初始截面为300mm×700mm，柱截面属性的初始截面为500mm×500mm。最大层间位移角限值为1/550。梁混凝土等级统一采用C30，造价为465元/m3。柱混凝土等级共有1~5个代码，分别对应C30~C50的混凝土等级，各等级单价依此为583元/m3，604元/m3，626元/m3，648元/m3 ，676元/m3。梁模板的单价为82元/kg，梁钢筋单价为4793元/t，柱模板单价为99元/kg，柱钢筋单价为4918元/t。主要优化参数设置见表1。
图1ETABS模型三维视图图2第5层平面布置图
3.2整体优化流程
本文整体优化分为两部执行，第一部分冻结内力做结构尺寸的优化，第二部分在第一部分得到的新最优个体的基础上，更新模型内力，再次执行第一部分的操作，反复这个过程直到造价满足收敛条件，终止优化程序，
输出最终的优化结果。在第一部分优化又分两个级别。第一级为不考虑结构刚度对内力的影响，在梁柱构件约束和层间约束下执行遗传算法；第二级为在遗传算法优化得到的最佳个体后，回代入ETABS模型验算位移约束，如果不满足位移约束则执行行相应的调整策略不断更新ETABS模型直到满足位移约束。整体优化的步骤为：
①识别模型
②冻结内力，读取内力分析结果
③生成初始种群
④遗传算法操作：交叉、变异、选择
⑤评估新种群
⑥是否达到遗传算法收敛精度，是则进入下一步，否则返回执行④~⑤
⑦验算位移约束，不通过调整模型直到通过为止
⑧框架总造价是否整体收敛，是则输出内力，否则解冻内力，更新模型，返回执行②~⑦
3.3优化结果
部分优化参数取值见表1，优化过程中造价的下降曲线见图3。本案例共进行了5次整体优化计算，最终优化造价比原始设计造价下降30%，优化效果显著。由于本文引入了遗传算法的自适应参数调整，目标函数的下降速度快，整体优化的效率高。优化后的最大层间位移角出现在第二层为1/552（见表2），说明结构的刚度在满足规范要求的前提下，变得更合理。
表1优化参数取值
图3造价优化下降曲线
表2 优化后的层间位移角
5 结论
本文直接采用整数编码，能够良好得描述工程结构问题中离散变量在遗传算法中的种群生成、交叉、变异、选择。采用分部优化法，反应结构尺寸和结构内力的非线性关系。通过算例验证，本文的方法优化效果良好，优化效率高，给其他采用遗传算法优化设计的结构模型提供了有益的参考。
参考文献
[1] 张琦. 采用遗传算法对钢筋混凝土框架结构进行优化设计[D]. 山东大学硕士学位论文, 2006, 5.
[2]肖国涛. 基于遗传算法的钢管混凝土框架结构优化研究[D]. 华中科技大学硕士学位论文, 2005, 3.
[3] 陆海燕. 基于遗传算法和准则法的高层建筑结构优化设计研究[D]. 大连理工大学博士学位论文, 2009, 6.
[4] [19] 张思才, 张方晓. 自适应遗传算法在桁架结构优化设计中的应用[J].湘潭大学自然科学学报, 2002, 24(4): 37 - 411.
[5] M. Srinivas, L.M. Patnaik. Adaptive Probabilities of Crossover and Mutation in Genetic Algorithms[J]. Systems, Man and Cybernetics, 1994, 24(4): 656 – 667.
[6] 建筑抗震設计规范(GB50011-2010) [S]. 北京:中国建筑工业出版社, 2010.