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【教学内容】人教版四年级上册第八单元“数学广角——烙饼问题”。
【教学目标】
1.通过生活中的烙饼事例，体会优化思想在解决实际问题中的应用。
2.认识解决问题策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优化方案的意识。
3.让学生感受到数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
【教学过程 】
一、情境引入，明确问题
1.创设情境
师：煮熟一个鸡蛋要5分钟，煮熟3个鸡蛋要多长时间呢？
生：要15分钟，每个5分钟，3个就用3×5=15（分钟）。
生：当3个鸡蛋能一起煮时，只需要5分钟。
师：这样既节省了时间，又节约了能源。看来煮鸡蛋这件小事都要讲究策略。
（评析：教师从学生的实际生活经验出发，设计了“煮鸡蛋”这样一个学生常见的问题情境，让学生感受到生活中蕴含着数学知识，为后面探究“烙饼问题”做好铺垫。）
2.明确问题
师：在日常生活和实际工作中，为了节省时间和能源，经常要运用最优策略。今天我们一起来研究最优策略在“烙饼问题”中的运用。（板书课题：烙饼问题）
师：（课件呈现主题图）从图中得到了哪些数学信息呢？题目中哪些词是解题的关键？
生：“最多”说明每次可以烙1张，也可以烙2张，但不能超过2张。
生：“烙两面”的意思是正面和反面都要烙。
生：每人一张是说有3个人要烙3张饼。
生：“尽快”就是用时要最少。
（评析：引导学生观察教材中的主题图，学会与文本对话。通过对“烙饼信息”中重点词语和数据的分析，明确了本节课要解决的主要问题。）
二、合作探究，解决问题
1.独立学习“烙”1张饼
师：烙1张饼需要多少时间？
生：我先烙饼的正面需要3分钟，再烙饼的反面需要3分钟，烙了2次，一共6分钟。
（评析：教师通过让学生描述烙1张饼的过程，明确每张饼要烙熟的话，两面都要烙，要烙两次，每次要3分钟，一共要6分钟，让学生再次明确“烙饼信息”，为继续探究做好准备。）
2.同桌学习“烙”2张饼
师：烙熟1张饼需要6分钟，烙熟2张饼需要几分钟呢？
生：1号饼先正面1次3分钟，再反面一次3分钟；2号饼先正面1次3分钟，再反面一次3分钟。烙了4次，一共12分钟。
生：先同时烙1号饼和2号饼正面，烙了1次需要3分钟，再同时烙1号饼和2号饼反面，又烙了1次需要3分钟，共烙了2次，一共用6分钟。
师：都是烙2张饼，为什么时间不一样？
生：一张一张地烙，锅里空了一半，既浪费了时间又浪费了能源。
生：锅里2张同时烙，锅里铺得满满的，既节约了时间，又节约了能源。（板书：2张同时烙）
（评析：教师根据学生烙两张饼的不同方法，通过追问“都是烙2张饼，为什么时间不一样”来激发学生的探究欲望。通过比较，明确锅里烙2张饼时，是充分利用了锅的空间，初步感悟了优化的思想，为接下来探究3张饼的烙法起到了铺垫作用。）
3.小组合作学习“烙”3张饼
（1）猜想
师：根据刚才烙1张饼和烙2张饼的经验，猜一猜烙3张饼需要多少时间呢？
生：18分钟。
生：12分钟。
生：9分钟。
（2）学生独立思考
①想一想：烙好3张饼，有哪些不同的烙法？
②摆一摆：把你想到的方法动手摆出来。
（3）小组合作交流
①说一说：把自己想到的方法在小组内交流。
②记一记：把每种烙饼的过程记录在学案上。
（4）全班汇报展示
师：哪个小组愿意当一当小厨师，上台展示一下你们小组烙饼的方法？
生：我们烙熟3张饼用了12分钟，先烙前两张饼的正面，再烙它们的反面，然后再烙第三张饼的正面，最后烙第三张饼的反面，一共烙了4次，共12分钟。
生：我们这组用9分钟就可以烙熟3张饼，先烙第一张饼和第二张饼的正面，把第二张饼拿出来，把第三张饼放进去，再烙第一张饼的反面和第三张饼的正面，这个时候第一张饼就烙熟了，把它拿出来，把第二张饼放进去，同时烙第二张饼和第三张饼的反面，这样一共烙了3次，共9分钟。
（评析：烙3张饼的最佳方法是解决烙饼问题的关键，教师让学生猜想，学生根据烙1张饼和烙2张饼的经验，得出了18分钟、12分钟、9分钟等不同的时间。到底哪一种方法才是最合理、最省时的呢？接着让学生以小组合作的方式进行探究。先让学生独立思考，在让每位学生有了自己的想法后再组织小组内的合作交流，学生带着自己的想法、观点与同伴进行思维的碰撞，在反对、欣赏、接纳的过程中不断修正自己的观点，最终在合作中解决了问题，这样的探究才是实实在在的。）
（5）辨析明确本质
师：12分钟的这种烙法比9分钟的这种烙法时间浪费在什么地方？或者说9分钟的这种烙法比12分钟的这种烙法时间节省在什么地方？
生：12分钟的这种烙法，在烙第三张饼时，因为是单独烙的，锅里不是2张饼。
生：9分钟这种烙法，锅里每次都是铺“满”了的，时间就是最少的了。
（评析：学生解决了烙3张饼的最佳方法后，教师再次提出时间到底节省在哪里？学生对于这个问题，大多数的回答是次数的减少就节省时间了。很多教师在教学时也觉得问到了这一步也就抓住了问题的本质。教师通过追问并配合课件演示等，让学生进一步理解了时间真正减少的原因是空间上的充分利用，每次总烙2张饼，别让锅空着，这才是节省时间的真正本质。） 三、探索规律，建立模型
1.思考烙4、5、6、7张饼所需的最少时间
师：烙3张饼最少需要9分钟，如果要烙4张饼、5张饼、6张饼、7张饼呢，最少需要多少时间？先静静地独立思考后再填表。
学生静静地思考，并填表。
2.建立模型
师：从表中你发现了什么规律？
生：烙饼所需最少时间=烙饼张数×烙每面饼的时间。
3.操作优化
师：烙6张饼时，既可以用2张同时烙的方法，也可以用3张轮换烙的方法，你更喜欢哪种方法？为什么？
生：2张同时烙，操作更方便一些。
师：看来烙饼既可以从时间上优化，还可以从方法上优化。双数张饼尽量用2张同时烙的方法，单数张饼先用2张同时烙的方法，最后剩余的3张饼用3张轮换烙的方法，这样更方便、快捷。
（评析：学习烙4、5、6、7张饼时，放手让学生用2张同时烙和3张轮换烙的方法进行推理，同时把理论计算和实践操作有机结合起来探索规律，得出烙饼张数×烙每面饼的时间=烙饼所用的最少时间，使学生不仅知其然，还知其所以然。再通过6张饼既可以2张同时烙，也可以3张轮换烙的比较，让学生进一步明确在操作程序上烙2张饼比烙3张饼要方便一些，而且省心很多，不需要考虑取进取出，不需要考虑不同号码饼的正反面，这也是运筹，是面对很多张饼时所应采取的运筹策略：如果要烙的饼的张数是双数，2张2张地烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，则可以先2张2张地烙，最后3张饼按照3张轮换烙的最优方法烙，最节省时间。）
四、联系生活，拓展应用
1.教材第105页的“做一做”第2题
2.用这节课的烙饼方法给在座的42位同学每人烙一张饼，最少需要多少分钟？
（评析：练习设计既体现了对知识的巩固，又体现了拓展与创新，为学生提供了应用与实践的机会。不但可以加深对优化思想的认识，而且培养了学生的数学应用意识，提高了学生解决实际问题的能力。）
五、全课总结 ，盘点收获
师：说说这节课你有什么收获？（生畅谈各种收获）
师：今天我们学习的烙饼问题，就是优化问题，也就是华罗庚爷爷说的优选法。老师希望大家能够运用今天所学的知识，科学、合理地安排好自己的生活和学习，提高效率，让我们的学习更优，生活更精彩！
（评析：课尾的总结和回顾，不仅仅是对知识的再现，更是对知识的提炼和升华。）
【思考】
“烙饼问题”是人教版教材四年级上册第八单元“数学广角”中例2的内容，主要通过讨论烙饼时怎样合理安排操作最节省时间，让学生体会在解决问题中优化思想的应用。教材呈现了学习过程中学生的想法和问题，反映了学生的认知基础和学习起点。烙饼的图示则凸显了直观优势，有助于学生理解最优的烙饼方法。
整节课设计自然、衔接连贯，在教学内容的处理上条理清晰、层次清楚。主要有以下几个方面的特点。
1.创设有效情境，实现数学与生活的有机结合
教学情境是学生掌握知识、形成能力、发展心理品质的重要源泉，是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁。知识需要融入情境之中，才能显示出活力和美感。上课开始，教师用“煮熟一个鸡蛋要5分钟，煮熟3个鸡蛋要多长时间”这样一个常见的生活问题引入，让学生有话可说，有话想说，营造了宽松、活泼的学习氛围。同时以“煮鸡蛋”为话题，用“谈话法”巧妙地点出做事要讲究“策略”，为后面探究“烙饼问题”做好铺垫。在联系生活，拓展应用环节，教师设计了“给在座的42位同学每人烙一张饼，最少需要多少时间”的问题，让学生再次体会运用数学知识解决生活实际问题的乐趣。课尾的总结回顾，把学生的视野引向了更广阔的生活世界，不仅是对知识的再现，更是对知识的提炼与升华，从而让学生感受到学习数学的重要价值，培养了学生对数学的良好情感。
2.充分利用图示，让学生触摸数学问题的本质
在学生探究出3张饼的最佳烙法后，教师提出了一个非常具有思考价值的问题，12分钟的这种烙法比9分钟的这种烙法时间浪费在什么地方？或者说9分钟的这种烙法比12分钟的这种烙法时间节省在什么地方？学生对于这个问题的回答是次数的减少就节省时间了，很多教师在教学时也觉得问到这一步就是抓住了问题的本质，那么到底是怎样的本质呢？教师结合学生的操作与表述，再次用课件呈现了这样一个思维导图：
让学生对两种烙法进行分析和对比，不仅让学生从次数的维度上进行考虑，而且能够更直观地从空间的维度进行更深一步的挖掘，从而让学生理解时间真正减少的原因是空间上的充分利用，这才是节省时间的真正本质。
再以烙6张饼为例，既可以2张同时烙，也可以3张轮换烙，你更喜欢哪种烙法？为什么？学生通过比较，结合生活实际得出：虽然这些方法都可以得到烙饼的最短时间，但烙2张饼的方法与烙3张饼的方法是有区别的，在操作程序上很显然烙2张较烙3张要方便一些，而且省心很多，不需要考虑取进取出，不需要考虑不同号码饼的正反面。如果要烙的饼的张数是双数，2张2张地烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，可以先2张2张地烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。这样让优化的思想得到了进一步的拓展与深化。
3.发挥主体作用，重视学生的自主探索与合作交流
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。烙3张饼怎样最节省时间是这节课的难点，教师在学生独立解决烙1张饼、同桌解决烙2张饼后，让学生进行大胆猜想：根据刚才烙1张饼和烙2张饼的经验，猜一猜烙3张饼最少需要多少时间呢？学生通过独立思考后，带着自己的想法、观点与同伴进行思维的碰撞，在反对、欣赏、接纳的过程中不断修正自己的观点，最终在合作中解决了问题，这样的探究才是实实在在的。
（重庆开县汉丰第二中心小学 405499
重庆开县教师进修学校 405400）
【教学目标】
1.通过生活中的烙饼事例，体会优化思想在解决实际问题中的应用。
2.认识解决问题策略的多样性，初步形成寻找解决问题最优化方案的意识。
3.让学生感受到数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
【教学过程 】
一、情境引入，明确问题
1.创设情境
师：煮熟一个鸡蛋要5分钟，煮熟3个鸡蛋要多长时间呢？
生：要15分钟，每个5分钟，3个就用3×5=15（分钟）。
生：当3个鸡蛋能一起煮时，只需要5分钟。
师：这样既节省了时间，又节约了能源。看来煮鸡蛋这件小事都要讲究策略。
（评析：教师从学生的实际生活经验出发，设计了“煮鸡蛋”这样一个学生常见的问题情境，让学生感受到生活中蕴含着数学知识，为后面探究“烙饼问题”做好铺垫。）
2.明确问题
师：在日常生活和实际工作中，为了节省时间和能源，经常要运用最优策略。今天我们一起来研究最优策略在“烙饼问题”中的运用。（板书课题：烙饼问题）
师：（课件呈现主题图）从图中得到了哪些数学信息呢？题目中哪些词是解题的关键？
生：“最多”说明每次可以烙1张，也可以烙2张，但不能超过2张。
生：“烙两面”的意思是正面和反面都要烙。
生：每人一张是说有3个人要烙3张饼。
生：“尽快”就是用时要最少。
（评析：引导学生观察教材中的主题图，学会与文本对话。通过对“烙饼信息”中重点词语和数据的分析，明确了本节课要解决的主要问题。）
二、合作探究，解决问题
1.独立学习“烙”1张饼
师：烙1张饼需要多少时间？
生：我先烙饼的正面需要3分钟，再烙饼的反面需要3分钟，烙了2次，一共6分钟。
（评析：教师通过让学生描述烙1张饼的过程，明确每张饼要烙熟的话，两面都要烙，要烙两次，每次要3分钟，一共要6分钟，让学生再次明确“烙饼信息”，为继续探究做好准备。）
2.同桌学习“烙”2张饼
师：烙熟1张饼需要6分钟，烙熟2张饼需要几分钟呢？
生：1号饼先正面1次3分钟，再反面一次3分钟；2号饼先正面1次3分钟，再反面一次3分钟。烙了4次，一共12分钟。
生：先同时烙1号饼和2号饼正面，烙了1次需要3分钟，再同时烙1号饼和2号饼反面，又烙了1次需要3分钟，共烙了2次，一共用6分钟。
师：都是烙2张饼，为什么时间不一样？
生：一张一张地烙，锅里空了一半，既浪费了时间又浪费了能源。
生：锅里2张同时烙，锅里铺得满满的，既节约了时间，又节约了能源。（板书：2张同时烙）
（评析：教师根据学生烙两张饼的不同方法，通过追问“都是烙2张饼，为什么时间不一样”来激发学生的探究欲望。通过比较，明确锅里烙2张饼时，是充分利用了锅的空间，初步感悟了优化的思想，为接下来探究3张饼的烙法起到了铺垫作用。）
3.小组合作学习“烙”3张饼
（1）猜想
师：根据刚才烙1张饼和烙2张饼的经验，猜一猜烙3张饼需要多少时间呢？
生：18分钟。
生：12分钟。
生：9分钟。
（2）学生独立思考
①想一想：烙好3张饼，有哪些不同的烙法？
②摆一摆：把你想到的方法动手摆出来。
（3）小组合作交流
①说一说：把自己想到的方法在小组内交流。
②记一记：把每种烙饼的过程记录在学案上。
（4）全班汇报展示
师：哪个小组愿意当一当小厨师，上台展示一下你们小组烙饼的方法？
生：我们烙熟3张饼用了12分钟，先烙前两张饼的正面，再烙它们的反面，然后再烙第三张饼的正面，最后烙第三张饼的反面，一共烙了4次，共12分钟。
生：我们这组用9分钟就可以烙熟3张饼，先烙第一张饼和第二张饼的正面，把第二张饼拿出来，把第三张饼放进去，再烙第一张饼的反面和第三张饼的正面，这个时候第一张饼就烙熟了，把它拿出来，把第二张饼放进去，同时烙第二张饼和第三张饼的反面，这样一共烙了3次，共9分钟。
（评析：烙3张饼的最佳方法是解决烙饼问题的关键，教师让学生猜想，学生根据烙1张饼和烙2张饼的经验，得出了18分钟、12分钟、9分钟等不同的时间。到底哪一种方法才是最合理、最省时的呢？接着让学生以小组合作的方式进行探究。先让学生独立思考，在让每位学生有了自己的想法后再组织小组内的合作交流，学生带着自己的想法、观点与同伴进行思维的碰撞，在反对、欣赏、接纳的过程中不断修正自己的观点，最终在合作中解决了问题，这样的探究才是实实在在的。）
（5）辨析明确本质
师：12分钟的这种烙法比9分钟的这种烙法时间浪费在什么地方？或者说9分钟的这种烙法比12分钟的这种烙法时间节省在什么地方？
生：12分钟的这种烙法，在烙第三张饼时，因为是单独烙的，锅里不是2张饼。
生：9分钟这种烙法，锅里每次都是铺“满”了的，时间就是最少的了。
（评析：学生解决了烙3张饼的最佳方法后，教师再次提出时间到底节省在哪里？学生对于这个问题，大多数的回答是次数的减少就节省时间了。很多教师在教学时也觉得问到了这一步也就抓住了问题的本质。教师通过追问并配合课件演示等，让学生进一步理解了时间真正减少的原因是空间上的充分利用，每次总烙2张饼，别让锅空着，这才是节省时间的真正本质。） 三、探索规律，建立模型
1.思考烙4、5、6、7张饼所需的最少时间
师：烙3张饼最少需要9分钟，如果要烙4张饼、5张饼、6张饼、7张饼呢，最少需要多少时间？先静静地独立思考后再填表。
学生静静地思考，并填表。
2.建立模型
师：从表中你发现了什么规律？
生：烙饼所需最少时间=烙饼张数×烙每面饼的时间。
3.操作优化
师：烙6张饼时，既可以用2张同时烙的方法，也可以用3张轮换烙的方法，你更喜欢哪种方法？为什么？
生：2张同时烙，操作更方便一些。
师：看来烙饼既可以从时间上优化，还可以从方法上优化。双数张饼尽量用2张同时烙的方法，单数张饼先用2张同时烙的方法，最后剩余的3张饼用3张轮换烙的方法，这样更方便、快捷。
（评析：学习烙4、5、6、7张饼时，放手让学生用2张同时烙和3张轮换烙的方法进行推理，同时把理论计算和实践操作有机结合起来探索规律，得出烙饼张数×烙每面饼的时间=烙饼所用的最少时间，使学生不仅知其然，还知其所以然。再通过6张饼既可以2张同时烙，也可以3张轮换烙的比较，让学生进一步明确在操作程序上烙2张饼比烙3张饼要方便一些，而且省心很多，不需要考虑取进取出，不需要考虑不同号码饼的正反面，这也是运筹，是面对很多张饼时所应采取的运筹策略：如果要烙的饼的张数是双数，2张2张地烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，则可以先2张2张地烙，最后3张饼按照3张轮换烙的最优方法烙，最节省时间。）
四、联系生活，拓展应用
1.教材第105页的“做一做”第2题
2.用这节课的烙饼方法给在座的42位同学每人烙一张饼，最少需要多少分钟？
（评析：练习设计既体现了对知识的巩固，又体现了拓展与创新，为学生提供了应用与实践的机会。不但可以加深对优化思想的认识，而且培养了学生的数学应用意识，提高了学生解决实际问题的能力。）
五、全课总结 ，盘点收获
师：说说这节课你有什么收获？（生畅谈各种收获）
师：今天我们学习的烙饼问题，就是优化问题，也就是华罗庚爷爷说的优选法。老师希望大家能够运用今天所学的知识，科学、合理地安排好自己的生活和学习，提高效率，让我们的学习更优，生活更精彩！
（评析：课尾的总结和回顾，不仅仅是对知识的再现，更是对知识的提炼和升华。）
【思考】
“烙饼问题”是人教版教材四年级上册第八单元“数学广角”中例2的内容，主要通过讨论烙饼时怎样合理安排操作最节省时间，让学生体会在解决问题中优化思想的应用。教材呈现了学习过程中学生的想法和问题，反映了学生的认知基础和学习起点。烙饼的图示则凸显了直观优势，有助于学生理解最优的烙饼方法。
整节课设计自然、衔接连贯，在教学内容的处理上条理清晰、层次清楚。主要有以下几个方面的特点。
1.创设有效情境，实现数学与生活的有机结合
教学情境是学生掌握知识、形成能力、发展心理品质的重要源泉，是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁。知识需要融入情境之中，才能显示出活力和美感。上课开始，教师用“煮熟一个鸡蛋要5分钟，煮熟3个鸡蛋要多长时间”这样一个常见的生活问题引入，让学生有话可说，有话想说，营造了宽松、活泼的学习氛围。同时以“煮鸡蛋”为话题，用“谈话法”巧妙地点出做事要讲究“策略”，为后面探究“烙饼问题”做好铺垫。在联系生活，拓展应用环节，教师设计了“给在座的42位同学每人烙一张饼，最少需要多少时间”的问题，让学生再次体会运用数学知识解决生活实际问题的乐趣。课尾的总结回顾，把学生的视野引向了更广阔的生活世界，不仅是对知识的再现，更是对知识的提炼与升华，从而让学生感受到学习数学的重要价值，培养了学生对数学的良好情感。
2.充分利用图示，让学生触摸数学问题的本质
在学生探究出3张饼的最佳烙法后，教师提出了一个非常具有思考价值的问题，12分钟的这种烙法比9分钟的这种烙法时间浪费在什么地方？或者说9分钟的这种烙法比12分钟的这种烙法时间节省在什么地方？学生对于这个问题的回答是次数的减少就节省时间了，很多教师在教学时也觉得问到这一步就是抓住了问题的本质，那么到底是怎样的本质呢？教师结合学生的操作与表述，再次用课件呈现了这样一个思维导图：
让学生对两种烙法进行分析和对比，不仅让学生从次数的维度上进行考虑，而且能够更直观地从空间的维度进行更深一步的挖掘，从而让学生理解时间真正减少的原因是空间上的充分利用，这才是节省时间的真正本质。
再以烙6张饼为例，既可以2张同时烙，也可以3张轮换烙，你更喜欢哪种烙法？为什么？学生通过比较，结合生活实际得出：虽然这些方法都可以得到烙饼的最短时间，但烙2张饼的方法与烙3张饼的方法是有区别的，在操作程序上很显然烙2张较烙3张要方便一些，而且省心很多，不需要考虑取进取出，不需要考虑不同号码饼的正反面。如果要烙的饼的张数是双数，2张2张地烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，可以先2张2张地烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。这样让优化的思想得到了进一步的拓展与深化。
3.发挥主体作用，重视学生的自主探索与合作交流
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。烙3张饼怎样最节省时间是这节课的难点，教师在学生独立解决烙1张饼、同桌解决烙2张饼后，让学生进行大胆猜想：根据刚才烙1张饼和烙2张饼的经验，猜一猜烙3张饼最少需要多少时间呢？学生通过独立思考后，带着自己的想法、观点与同伴进行思维的碰撞，在反对、欣赏、接纳的过程中不断修正自己的观点，最终在合作中解决了问题，这样的探究才是实实在在的。
（重庆开县汉丰第二中心小学 405499
重庆开县教师进修学校 405400）