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如何能够在激烈的市场竞争中立于不败之地，是每个企业面临的重大课题，企业只有注意细节，在每个细节上做足功夫，建立“细节优势“，才能保证基业常青，数学学习也是一样，在每一个细节上做足功夫，解决好数学中的每一个“细节“，学生才能真正学好数学，下面谈谈自己的一些体会.
1.细节培养学生良好的学习品质
细节总容易为人所忽略，所以往往最能反映一个人的真实状态，因而也最能表现一个人的习惯，数学学习中，让学生重视学习中的每一个细节，有利于学生良好的学习品质的形成.
例1 已知数列{an}，{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2，n∈N），求数列{an}的通项公式.
这是一道高考试题，学生的得分率很低，学生是这样解的：
解：由an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1，①
an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2，②
①-②得,an-an-1=（n-1）an-1 ∴an=nan-1，即： =n，
∴ =2， =3，…， • • •…• =2×3×4×…×n，即an=n!.
分析：不认真的进行思考，很难发现问题所在，学生只看表面现象，不深入研究其本质，对自然数n的变化心中无数，反映了学生做事马虎，遇事不能很好的研究分析，对细节不加以研究的不良学习习惯.
我们知道，当n≥2(n∈N)时有an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1，当n≥3(n∈N)时有an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2成立，学生对细节n≥3(n∈N)忽略了，∴an=nan-1n≥3(n∈N)，只能是 • •…• =3×4×…×n，由条件a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2，n∈N），可得a2=a1=1，
∴an=1（当n=1时） (当n≥2时)
作为教师，纠正学生解题错误是重要，但更为重要的是通过教学中的一些细节，使学生遇事能认真分析，能认真思考每一个环节的习惯 ，培养学生良好的学习品质.
例2 直线y=kx+m(k≠0，m≠0)与双曲线 -y2=1交于不同的两点C、D，且C、D两点同在以点A（0，-1）为圆心的一个圆上，求k、m的关系.
解：设线段CD的中点为M由 -y2=1y=kx+m消去y得(3k2-1)x2+6kmx+3(m2+1)=0，求出中点M( ， )，因为AC=AD，所以kCD×KMA=-1，即3k2=4m+1.没有良好的学习品质、做事不认真细致的学生往往得到这个结果，真是细节惹的祸.我们知道，直线与曲线有两个不同的交点，方程(3k2-1)x2+6kmx+3(m2+1)=0的判别式Δ>0即m2-3k2+1>0，只要加这个条件就行吗？学生往往少了一个条件3k2-1≠0.
这个例题中几个细节是我们培养学生良好学习品质的很好素材，我们把这些细节可当作一种宝贵的课程资源加以研究、开发、利用，我想不但能提高学生的学习成绩，也能提高学生的学习能力.
2.细节能培养学生的探索精神
海尔集团总裁张瑞敏曾经说过“探索存在于每一个细节之中“，数学学习也是一样，要培养学生勇于探索的精神，可以抓住数学问题的某些细节，让学生去思考、去发现有价值的东西.
例3 已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间（-∞，1- )上是减函数，求实数a得取值范围.
由学生给出如下解法：
令g(x)=x2-ax-a，要使f(x)=log2(x2-ax-a)在区间（-∞，1- )上是减函数，只要g(x)=x2-ax-a在区间（-∞，1- )上是减函数且在区间（-∞，1- )上g(x)>0，
由图2可知g(1- )>0 ≥1-（*）
解得2-2 ≤a<2.（答案不正确）
分析：从表面现象看g(1- )>0是理所当然得，问题就出在这里，g(1- )=0是否可行，这就是本题的一个细节.
作如下探索：（1）f(x)=log2(x2-ax-a)中x能取1- 吗？（显然不能，因为定义域为（-∞，1- ））.
（2）当g(1- )=0时，g(x)=x2-ax-a在（-∞，1- )上是否衡大于零且为减函数？（由图像可知成立）
（3）（*）式可改成什么？可以改为g(1- )≥0 ≥1-
解得：2-2 ≤a≤2.
探索：若区间改为（-∞，1- ]实数a得取值范围是什么？（因为x=1- 时，f(x)有意义，所以g(1- )≥0 ≥1- ，由以上分析知，要区分区间的开闭与取舍等号的情况.
3.细节能积累成一种功力
一心渴望伟大，追求伟大，伟大却了无踪迹；甘于平淡，认真做好每个细节，伟大却不期而至，学习数学也是一样，只要平时能注意并能解决好书学中的每个细节，数学功力就会很大，解数学题的能力就会很强，这就是细节的魅力，是水到渠成的惊喜.
例4 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在R上有极值，则实数a得取值范围是 .
这道题看起来不难，但功夫不深的学生容易出错，由学生是这样解得：
f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1，令f′(x)=0，即3x2+2ax+a+6=0再R上有实数解，∴Δ≥0即a≥6或a≤3即（答案不正确）.
分析：f(x)在R上有极值，就是方程f′(x)=0在R上有解，从三次函数图像的各种形式来看，结合极值点左右两侧所要满足的条件（极大值左侧导数大于零，右侧导数小于零，而f(x)=x3在R上是没有极值点的），如果三次函数有极值点，那么一定有极大值和极小值点，即x3+ax2+(a+6)x+1方程在R上有不等的实数解，Δ>0即a>6或a<3.本题的细节是“判别式Δ=0行吗？“经常对这些细节问题研究，慢慢就会形成一种功力，学生不但能有效的解决数学中的一些问题，学习能力也会得到进一步的提高.
4.细节隐藏机会
一个公司在产品或服务上有某种细节上的改进也许只给用户增加了1%的方便，然而在市场占有比例上，这1%的细节会引出几倍的市场差别，原因很简单，当用户对两个产品作比较时，相同的功能都被抵消了，对决策起作用的就是那1%的细节.当今学生的水平在知识能力等方面差距不大，要想在高考或其他升学考试中获胜，实际上还是那百分之几的细节，因此说细节隐藏机会.
例5 设F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的两个焦点，O为坐标原点，直线y=kx+b与以F1、F2为直径的圆相切，并与双曲线交于两点，则k,b应满足的条件为.
填空题的结果只有正确或不正确两种情况，不可能分步给分，学生利用圆x2+y2=2与直线y=kx+b相切很快写出答案b2=2(k2+1)，这个答案正确吗？仔细分析是错误的，因为问题中的细节“直线与双曲线交于两点”被忽略了，可以说有相当一部分同学结果是错误的，只有做事一丝不苟、能认真审题的学生可做出正确答案，这是学生取得较好成绩的一个很好的机会，但由于忽略了一些细节，该得到的分数没有得到，细节隐藏着很好的机会，本题正确答案应该是b2=2(k2+1)且k≠±1（当k≠±1时，y=kx+b与双曲线x2-y2=1的渐近线平行）
有句话说得好：“细节决定成败”，可能一两天觉察不出细节的重要性，但经过一个月、半年、一年，细节的重要性就会充分体现，必须重视每一节课的细节，从小事做起，让学生掌握好数学中的每一个细节，久而久之，能培养学生良好的学习品质，能培养学生的探索精神，学生能积累成一种动力，这样不但能很好地掌握基础知识，而且能力也提高了.
1.细节培养学生良好的学习品质
细节总容易为人所忽略，所以往往最能反映一个人的真实状态，因而也最能表现一个人的习惯，数学学习中，让学生重视学习中的每一个细节，有利于学生良好的学习品质的形成.
例1 已知数列{an}，{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2，n∈N），求数列{an}的通项公式.
这是一道高考试题，学生的得分率很低，学生是这样解的：
解：由an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1，①
an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2，②
①-②得,an-an-1=（n-1）an-1 ∴an=nan-1，即： =n，
∴ =2， =3，…， • • •…• =2×3×4×…×n，即an=n!.
分析：不认真的进行思考，很难发现问题所在，学生只看表面现象，不深入研究其本质，对自然数n的变化心中无数，反映了学生做事马虎，遇事不能很好的研究分析，对细节不加以研究的不良学习习惯.
我们知道，当n≥2(n∈N)时有an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1，当n≥3(n∈N)时有an-1=a1+2a2+3a3+…+（n-2）an-2成立，学生对细节n≥3(n∈N)忽略了，∴an=nan-1n≥3(n∈N)，只能是 • •…• =3×4×…×n，由条件a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2，n∈N），可得a2=a1=1，
∴an=1（当n=1时） (当n≥2时)
作为教师，纠正学生解题错误是重要，但更为重要的是通过教学中的一些细节，使学生遇事能认真分析，能认真思考每一个环节的习惯 ，培养学生良好的学习品质.
例2 直线y=kx+m(k≠0，m≠0)与双曲线 -y2=1交于不同的两点C、D，且C、D两点同在以点A（0，-1）为圆心的一个圆上，求k、m的关系.
解：设线段CD的中点为M由 -y2=1y=kx+m消去y得(3k2-1)x2+6kmx+3(m2+1)=0，求出中点M( ， )，因为AC=AD，所以kCD×KMA=-1，即3k2=4m+1.没有良好的学习品质、做事不认真细致的学生往往得到这个结果，真是细节惹的祸.我们知道，直线与曲线有两个不同的交点，方程(3k2-1)x2+6kmx+3(m2+1)=0的判别式Δ>0即m2-3k2+1>0，只要加这个条件就行吗？学生往往少了一个条件3k2-1≠0.
这个例题中几个细节是我们培养学生良好学习品质的很好素材，我们把这些细节可当作一种宝贵的课程资源加以研究、开发、利用，我想不但能提高学生的学习成绩，也能提高学生的学习能力.
2.细节能培养学生的探索精神
海尔集团总裁张瑞敏曾经说过“探索存在于每一个细节之中“，数学学习也是一样，要培养学生勇于探索的精神，可以抓住数学问题的某些细节，让学生去思考、去发现有价值的东西.
例3 已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间（-∞，1- )上是减函数，求实数a得取值范围.
由学生给出如下解法：
令g(x)=x2-ax-a，要使f(x)=log2(x2-ax-a)在区间（-∞，1- )上是减函数，只要g(x)=x2-ax-a在区间（-∞，1- )上是减函数且在区间（-∞，1- )上g(x)>0，
由图2可知g(1- )>0 ≥1-（*）
解得2-2 ≤a<2.（答案不正确）
分析：从表面现象看g(1- )>0是理所当然得，问题就出在这里，g(1- )=0是否可行，这就是本题的一个细节.
作如下探索：（1）f(x)=log2(x2-ax-a)中x能取1- 吗？（显然不能，因为定义域为（-∞，1- ））.
（2）当g(1- )=0时，g(x)=x2-ax-a在（-∞，1- )上是否衡大于零且为减函数？（由图像可知成立）
（3）（*）式可改成什么？可以改为g(1- )≥0 ≥1-
解得：2-2 ≤a≤2.
探索：若区间改为（-∞，1- ]实数a得取值范围是什么？（因为x=1- 时，f(x)有意义，所以g(1- )≥0 ≥1- ，由以上分析知，要区分区间的开闭与取舍等号的情况.
3.细节能积累成一种功力
一心渴望伟大，追求伟大，伟大却了无踪迹；甘于平淡，认真做好每个细节，伟大却不期而至，学习数学也是一样，只要平时能注意并能解决好书学中的每个细节，数学功力就会很大，解数学题的能力就会很强，这就是细节的魅力，是水到渠成的惊喜.
例4 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在R上有极值，则实数a得取值范围是 .
这道题看起来不难，但功夫不深的学生容易出错，由学生是这样解得：
f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1，令f′(x)=0，即3x2+2ax+a+6=0再R上有实数解，∴Δ≥0即a≥6或a≤3即（答案不正确）.
分析：f(x)在R上有极值，就是方程f′(x)=0在R上有解，从三次函数图像的各种形式来看，结合极值点左右两侧所要满足的条件（极大值左侧导数大于零，右侧导数小于零，而f(x)=x3在R上是没有极值点的），如果三次函数有极值点，那么一定有极大值和极小值点，即x3+ax2+(a+6)x+1方程在R上有不等的实数解，Δ>0即a>6或a<3.本题的细节是“判别式Δ=0行吗？“经常对这些细节问题研究，慢慢就会形成一种功力，学生不但能有效的解决数学中的一些问题，学习能力也会得到进一步的提高.
4.细节隐藏机会
一个公司在产品或服务上有某种细节上的改进也许只给用户增加了1%的方便，然而在市场占有比例上，这1%的细节会引出几倍的市场差别，原因很简单，当用户对两个产品作比较时，相同的功能都被抵消了，对决策起作用的就是那1%的细节.当今学生的水平在知识能力等方面差距不大，要想在高考或其他升学考试中获胜，实际上还是那百分之几的细节，因此说细节隐藏机会.
例5 设F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的两个焦点，O为坐标原点，直线y=kx+b与以F1、F2为直径的圆相切，并与双曲线交于两点，则k,b应满足的条件为.
填空题的结果只有正确或不正确两种情况，不可能分步给分，学生利用圆x2+y2=2与直线y=kx+b相切很快写出答案b2=2(k2+1)，这个答案正确吗？仔细分析是错误的，因为问题中的细节“直线与双曲线交于两点”被忽略了，可以说有相当一部分同学结果是错误的，只有做事一丝不苟、能认真审题的学生可做出正确答案，这是学生取得较好成绩的一个很好的机会，但由于忽略了一些细节，该得到的分数没有得到，细节隐藏着很好的机会，本题正确答案应该是b2=2(k2+1)且k≠±1（当k≠±1时，y=kx+b与双曲线x2-y2=1的渐近线平行）
有句话说得好：“细节决定成败”，可能一两天觉察不出细节的重要性，但经过一个月、半年、一年，细节的重要性就会充分体现，必须重视每一节课的细节，从小事做起，让学生掌握好数学中的每一个细节，久而久之，能培养学生良好的学习品质，能培养学生的探索精神，学生能积累成一种动力，这样不但能很好地掌握基础知识，而且能力也提高了.