论文部分内容阅读
数学史上一共发生过三次危机，今天我们来说说第一次危机，这次危机的出现，冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
一、毕达哥拉斯学派的起源
毕达哥拉斯生于爱琴海东部萨莫斯岛一个家境殷实的家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学，是古希腊伟大的数学家、哲学家。
毕达哥拉斯除了钻研出直角三角形的边长关系外，还在数论上贡献巨大，他将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等，当时的毕达哥拉斯被大家认为是神话人物赫尔墨斯的转世，拥有某种神秘的力量，在公元前580～前568年之间的古希腊，他建立了毕达哥拉斯学派，这是一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别，也是一个唯心主义流派。
二、毕达哥拉斯的成就
毕达哥拉斯研究出，以直角三角形的两短边为边长作方形，其面积之和正好等于以斜边为边长的方形面积，简单的来说就是我们现在的勾股定理，
虽然古巴比伦人早就有所记载，不过毕达哥拉斯却给出了系统的证明，这算是一个伟大贡献，
作为一个唯心主义派的领头人，毕达哥拉斯在发现这个定理后，还杀了100头牛来祭祀缪斯女神，以敬谢神灵的启示，因此这个定理又被称作“百牛定理”，除去在数学方面的成就，在音乐上，毕达哥拉斯也颇有造诣，他发现琴弦的长度反比于琴弦的频率，两个长度呈简单整数比的琴弦能够发出和谐的声音，例如一组长度比为2的琴弦同时弹奏发出的声音就特别的和谐，但是，这样的组合过于和谐以至于失去了一些变化，于是毕达哥拉斯想出了新玩法，他以一根固定长度的琴弦为基础，以3：2或4：3这样的比值制作了其它的琴弦。
毕达哥拉斯用这种方法创造了一套互相有明确数学关系的音律，被称作五度相生律，这套定律不仅成为了毕达哥拉斯学派各种艺术活动中的基石，也流传至后世一直影响着现代的音乐理论。
三、第一次数学危机
毕达哥拉斯学派中有一个成员叫希帕索斯，是毕达哥拉斯的忠实崇拜者，有一天，爱学习的希帕索斯打算再研究研究毕达哥拉斯定理，他先是假设了一个边长为1的正方形，准备运用老师所教授的知识算出对角线。
经过计算，他发现有一个解决不了的问题：对角线的长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
但根据毕达哥拉斯的观点，这个数字是不存在的，希帕索斯兴奋地把这个发现告诉了毕达哥拉斯，
毕达哥拉斯知道这件事情后，让希帕索斯不要把这件事告诉其他人，希帕索斯感到不解，认为这是一个重大的发现，但毕达哥拉斯对此没有作任何解释，其实毕达哥拉斯早就知道这个无法表示的数字的存在，但是为了面子，他选择沉默，希帕索斯在询问老师而未得到解释后，更加好奇，最后他将这个消息传了出去，结果当然是引得毕达哥拉斯勃然大怒，称希帕索斯是叛徒，有意破坏学派的和谐，于是毕达哥拉斯派出其他的门徒捉拿希帕索斯，并准备将其处以极刑——活埋，希帕索斯听到了一些风声，打算连夜乘船流亡他乡，可没想到还是被毕达哥拉斯的门徒追上，他们将希帕索斯五花大绑，溺人了冰冷的地中海之中，
小小根号2的出现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
虽然倒下了一个希帕索斯，但是还有千千万万个希帕索斯站出来，毕竟真理是无法被淹没的，
人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”（irrationalnumber），之前毕达哥拉斯所认为是宇宙全部的数（整数和两个整数之比），称为有理数。
在约公元前490年～前425年，古希腊著名哲学家芝诺又提出了四条著名的悖论。
1.二分法
运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。
2.阿基里斯永远追不上乌龟
阿基里斯是希腊跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢，但是芝诺却证明，在赛跑中跑得最陕的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者必定永远领先。
3.飞矢不动
任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在，飞矢通过一段路程的时间可被分成无数个瞬间，在每一个瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。
4.运动场
有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾，芝諾认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间，
以上四条悖论从根本上再一次挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。
无理数的发现与“芝诺悖论”掀起了一场数学思想的大革命，科学史上称之为“第一次数学危机”。
一、毕达哥拉斯学派的起源
毕达哥拉斯生于爱琴海东部萨莫斯岛一个家境殷实的家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学，是古希腊伟大的数学家、哲学家。
毕达哥拉斯除了钻研出直角三角形的边长关系外，还在数论上贡献巨大，他将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等，当时的毕达哥拉斯被大家认为是神话人物赫尔墨斯的转世，拥有某种神秘的力量，在公元前580～前568年之间的古希腊，他建立了毕达哥拉斯学派，这是一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别，也是一个唯心主义流派。
二、毕达哥拉斯的成就
毕达哥拉斯研究出，以直角三角形的两短边为边长作方形，其面积之和正好等于以斜边为边长的方形面积，简单的来说就是我们现在的勾股定理，
虽然古巴比伦人早就有所记载，不过毕达哥拉斯却给出了系统的证明，这算是一个伟大贡献，
作为一个唯心主义派的领头人，毕达哥拉斯在发现这个定理后，还杀了100头牛来祭祀缪斯女神，以敬谢神灵的启示，因此这个定理又被称作“百牛定理”，除去在数学方面的成就，在音乐上，毕达哥拉斯也颇有造诣，他发现琴弦的长度反比于琴弦的频率，两个长度呈简单整数比的琴弦能够发出和谐的声音，例如一组长度比为2的琴弦同时弹奏发出的声音就特别的和谐，但是，这样的组合过于和谐以至于失去了一些变化，于是毕达哥拉斯想出了新玩法，他以一根固定长度的琴弦为基础，以3：2或4：3这样的比值制作了其它的琴弦。
毕达哥拉斯用这种方法创造了一套互相有明确数学关系的音律，被称作五度相生律，这套定律不仅成为了毕达哥拉斯学派各种艺术活动中的基石，也流传至后世一直影响着现代的音乐理论。
三、第一次数学危机
毕达哥拉斯学派中有一个成员叫希帕索斯，是毕达哥拉斯的忠实崇拜者，有一天，爱学习的希帕索斯打算再研究研究毕达哥拉斯定理，他先是假设了一个边长为1的正方形，准备运用老师所教授的知识算出对角线。
经过计算，他发现有一个解决不了的问题：对角线的长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
但根据毕达哥拉斯的观点，这个数字是不存在的，希帕索斯兴奋地把这个发现告诉了毕达哥拉斯，
毕达哥拉斯知道这件事情后，让希帕索斯不要把这件事告诉其他人，希帕索斯感到不解，认为这是一个重大的发现，但毕达哥拉斯对此没有作任何解释，其实毕达哥拉斯早就知道这个无法表示的数字的存在，但是为了面子，他选择沉默，希帕索斯在询问老师而未得到解释后，更加好奇，最后他将这个消息传了出去，结果当然是引得毕达哥拉斯勃然大怒，称希帕索斯是叛徒，有意破坏学派的和谐，于是毕达哥拉斯派出其他的门徒捉拿希帕索斯，并准备将其处以极刑——活埋，希帕索斯听到了一些风声，打算连夜乘船流亡他乡，可没想到还是被毕达哥拉斯的门徒追上，他们将希帕索斯五花大绑，溺人了冰冷的地中海之中，
小小根号2的出现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
虽然倒下了一个希帕索斯，但是还有千千万万个希帕索斯站出来，毕竟真理是无法被淹没的，
人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”（irrationalnumber），之前毕达哥拉斯所认为是宇宙全部的数（整数和两个整数之比），称为有理数。
在约公元前490年～前425年，古希腊著名哲学家芝诺又提出了四条著名的悖论。
1.二分法
运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。
2.阿基里斯永远追不上乌龟
阿基里斯是希腊跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢，但是芝诺却证明，在赛跑中跑得最陕的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者必定永远领先。
3.飞矢不动
任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在，飞矢通过一段路程的时间可被分成无数个瞬间，在每一个瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。
4.运动场
有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾，芝諾认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间，
以上四条悖论从根本上再一次挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。
无理数的发现与“芝诺悖论”掀起了一场数学思想的大革命，科学史上称之为“第一次数学危机”。