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摘要：由于Markowitz投资组合模型过于严格的假设，它在中国证券市场的应用上存在一定的局限性。本文在Markowitz均值—方差模型的基础上，对模型中不符合中国证券市场的理想化假设进行修正，通过对预期收益率和风险进行优化度量，将交易费用、最小交易数量等限制条件引入模型，实现了对均值—方差模型的优化，得到了在不同优化背景下的新的数学模型。
关键词：投资组合；模型；优化
1952年美国著名经济学家哈里·马克维茨发表了论文《投资组合选择》，首次将人们在投资行为中最为关心的收益和风险两个因素，进行了数量化的描述和表示，开辟了将数学分析和统计方法应用到金融领域的先河，这篇著名的论文也标志着现代证券组合理论的开端。在随后的几十年里，众多的国内外学者对该模型进行了深入的研究和探讨，威廉·夏普、林特、摩森、里查德·罗尔、史蒂夫·罗斯等经济学家在Markowitz均值—方差模型的基础上，相继提出了“单因素模型”、“多因素模型”、“CAPM模型”以及“APT模型”等，不断地进行证券投资组合优化的理论创新，丰富和发展了现代证券投资理论。
然而，由于Markowitz投资组合模型过于严格的假设，导致其在中国证券市场的应用上存在一定的局限性。因而，如何将经典的均值—方差模型进行改进和优化，使其更符合中国证券市场的特点，便成为摆在中国证券投资学者面前的一道极具实际价值又充满了困难与挑战的课题。本文正是通过对投资组合的预期收益率和风险进行优化度量，以及修正Markowitz模型中关于交易费用和最小交易数量的假设，对均值—方差模型进行了多方位的改进和优化，得到了更为符合中国证券市场的各种优化模 型。
一、Markowitz均值—方差模型
马克维茨在《投资组合选择》一文中将证券组合选择的过程概括为两个阶段：第一阶段从观察和经验出发得到各种可投资证券未来的预期收益率、风险等，第二阶段则从各证券的预期表现出发得到一组最优的投资组合。马克维茨正是针对第二阶段提出了证券组合投资的均值—方差模型，将收益率、风险等参数进行了数量化的表示和度量，并对模型进行了求解分析。
1.模型假设
(1)证券市场是完全有效的。
(2)证券投资者都是理性的。
(3)证券的收益率可以视为随机变量且服从正态分布，其性质由均值和方差来描述。
(4)各种证券的收益率之间具有一定的相关性，这种相关程度可以用收益率的协方差来表示。
(5)每一种资产都是无限可分的。
(6)税收和交易成本等忽略不计。
(7)单一投资期。
(8)不存在卖空机制。
2.模型参数的估计与度量
假设ri是投资在第i种证券上的收益率，它是随机变量，ui是第i种证券的预期收益率，σij是ri和rj的协方差（σij是ri的方差），wi是投资在第i种证券上的投资比例，则投资组合的收益率是随机变量，wi是由投资者确定下来的非随机变量，显见，并且根据假设（8）有：wi≥0。则可得到投资组合的预期收益率为，方差为，或者用相关系数表示为 。
3.均值—方差（E-V）基本模型
(wi≥0,i=1,2,…,n)为组合的投资权重向量，为组合的预期收益率向量，为协方差阵，为给定的预期收益率，。
二、Markowitz投资组合模型的优化
1.预期收益率的估计方法
假设某种证券在最近n周内的收益率分别为，且，其中表示第i周第一天的开盘价，表示第i周最后一天的收盘价。由此可计算得该证券的预期收益率。
方法一：期望收益率。以最近时期内的样本期望值来估计得到第n+1周的预期收益率为，这也是Markowitz在《投资组合选择》中所采用的方法。
方法二：加权期望收益率。如果投资者认为据目标期时间越近则关系越密切，这样就可以将历史数据中的各时期的收益率进行加权平均，据目标期时间越近则权重越大。本文以指数平滑法为例阐述期望收益率的这种估计方法。假设某种证券在最近n周内的收益率分别为，则在估计该证券的预期收益率时，可以得到这些收益率的追溯预测值
其中，R表示预期收益率；α表示加权系数，介于0和1之间，由投资者决定。
注1:一般情况下如果收益率序列波动不大，则α应取小一点，比如0.1～0.3；如果收益率序列波动较大，则α应取大一点，比如0.6～0.8。
注2:在实际操作中，可取多个α值进行试算，比较它们的，取较小者为准估计预期收益 率。
除了以上介绍的两种通过历史数据度量预期收益率的方法，不少学者还通过修正证券收益率服从正态分布这一假设，运用新的度量方法进行了进一步的改进和优化。如Merton通过假定股价变化服从Brown运动，提出了连续时间随机模型。此外，还可以运用灰度预测、模糊数学等方法进行预期收益率的度量和预测。
2.风险的优化度量方法
Markowitz均值—方差模型中使用方差进行风险度量，而在改进的模型中，可以用VaR和半方差等方法优化风险度量。
(1)引入VaR约束条件，优化方差度量。
VaR方法是用来测量给定投资工具或资产组合在未来资产价格波动下可能或潜在的损失。Jorion指出VaR是指在正常的市场条件下，在给定置信区间内，一种投资工具或资产组合在给定持有期内的最大预期损失。数学上，VaR可表示为投资工具或组合的回报率分布的α分位数的相反数，表达式为α，其中，表示组合P在持有期内市场价值的变化。上式说明投资组合在持有期内市场价值的损失值等于或大于VaR（在险值）的概率为α。在VaR的定义中，有两个重要的参数——持有期和置信水平1-α。于是Markowitz投资组合模型（2）的改进模型为：
VaR值的计算方法有很多种，大致分为参数模型和非参数模型。参数模型通过估计证券组合的收益率服从一定的分布来估计VaR，如标准正态法、移动平均法，GARCH模型等方法。而非参数模型则有历史模拟法等方法。
(2)用VaR代替方差度量风险，建立均值—VAR模型。
均值—VaR模型就是在Markowitz均值—方差模型的基础上，是用VaR代替收益率的方差来度量风险，即寻找在给定的收益约束下，使组合的VaR最小的投资组合。Markowitz投资组合模型（2）的改进模型为：
(3)用半方差代替方差度量风险，建立均值—半方差模型。在Markowitz投资组合模型中，收益率的风险是由方差来描述的，但方差并不是一种很适合的衡量方法，因为用这种方法度量不但包括了实际收益中低于期望收益的部分，而且包括了实际收益中高于期望收益的部分，而实际投资实践中，投资者往往只关注低于期望收益的风险。为此，我们用下方风险（down-side Risk）作为新的风险测量手段。我们引入低位部分距(Lower Partial moments) , 对证券回报是离散的情形，被定义为：
其中R0是投资者的目标回报，qi是证券回报为Rj时的概率，n由财富效用函数的类型所表示。并且我们认为当n=2时，适合具有偏斜偏好的风险避免型投资者。因此，我们得到均值—半方差模型为：
(4)其他方法。
风险还可通过运用绝对离差、半绝对离差、极差等工具来进行度量，他们往往比用方差度量风险更符合投资者心理和证券市场实际。此外，由于政治、经济、社会等诸多因素和股市的难预测性的特点，还可运用灰度预测或者三角模糊数等方法度量预期收益率和风险。
3.交易费用的考虑
交易费用是投资者在进行证券投资交易过程所需要交纳的一笔费用，通常包括交给国家的印花税、交给券商的佣金等。
情况一：投资组合中只有股票，则每种证券的交易费用率恒定。
假设进行证券交易买入和卖出都需要支付交易费用，且单笔交易费用为交易金额的α倍，证券k在ti时刻的价格为。若某投资者在时刻ti买入一单位证券k，则需投入资金；在时刻tj卖出该证券k，则可获得收益。在不考虑交易费用时，我们有证券k在时间内的收益率为；而在考虑交易费用之后，证券k在时间内的收益率为：
以下分析在考虑交易费用时证券投资组合的收益率和方差。假设我们选定了n种证券构成投资组合，并且在第k种证券上的投资比例为，则组合收益率为：。若记，其中为的期望值，且的组合风险为，则组合期望收益率可以写为：，相应的组合风险为：。
假设给定的预期收益率为，则由以上分析可得，在Markowitz均值—方差模型（B）的基础上，考虑交易费用后的改进模型为：
情况二：投资组合不但包括股票还包括各种基金，则不同证券的交易费用率不同。
假设投资组合中还包括各种基金，那么根据中国证券市场的交易规则，投资于不同基金所需交纳的交易费用率不同。于是对于投资组合中的n种证券，我们假设投资于证券i的交易费用是交易金额的αi倍（i=1,2,...,n），即交易费用率为αi。同时我们保留“情况一”中的其他假设不变。则得到Markowitz均值—方差模型（A）的改进模型：
4.最小交易数量的限制
在实际的中国证券市场中，股票交易的最小单位是100股，且必须是100的整数倍，因而Markowitz模型中关于证券无限可分的假设（5）便很难正确模拟实际的投资过程。于是，我们假设Q为规定的投资在每种证券上的最小数量单位，Pi为第i种证券的股价，K为投资者的实际投资总金额，则得到Markowitz均值—方差模型（A）的改进模型：
5.其他
此外，还可通过修正原模型中的其他假设对模型进行进一步优化。例如马柯维茨模型假设证券组合中两证券之间存在较为稳定的相关关系，然而实际证券市场的数据并不能很好地验证这一假设，于是可以通过假设各种证券收益率之间的关联关系是随机的来建立时变证券组合投资模型。
三、结语
Markowitz均值—方差模型在理想化的假设下很难较精确地反映当前的证券市场实际，而通过对模型中预期收益率和风险的度量方法进行优化，对模型假设进行修正，将交易费用、最小交易数量等限制条件定量化的引入模型中，便可以得到更为符合中国证券市场实际的证券组合投资模型，为投资者进行投资决策提供更为有效的参考。然而，Markowitz投资组合模型的优化研究依然存在很多问题亟待解决，大量的假设和影响证券收益的因素难以定量化处理，如完全市场性、投资者理性、宏观经济政策出台对股价的影响等；此外，如何对优化模型开发出有效的快速算法进行数值求解也是一个很有价值的课题方向。我们相信随着证券投资理论的发展和计算机软件等工具的不断开发和应用，Markowitz证券组合投资模型一定能得到更好的优化和改进，从而在证券投资中发挥更大的应用价值。
作者单位：厦门大学数学科学学院
参考文献：
[1]Harry Markowitz.Portfolio Selection [J].The Journal of Finance,1952,7(1):77-91.
[2]海英,邓玮.Markowitz均值-方差理论的局限及其在我国的适用性[J].南方金融,2004,(10):30-32.
[3]郭晓辉.基于VAR的无卖空投资组合分析及实证研究[J].北京工商大学学报(自然科学版),2007,25(2):72-74.
[4]吴孟铎,荣喜民,李践.有交易成本的组合证券投资[J].天津大学学报,2002,35(2):196-198.
关键词：投资组合；模型；优化
1952年美国著名经济学家哈里·马克维茨发表了论文《投资组合选择》，首次将人们在投资行为中最为关心的收益和风险两个因素，进行了数量化的描述和表示，开辟了将数学分析和统计方法应用到金融领域的先河，这篇著名的论文也标志着现代证券组合理论的开端。在随后的几十年里，众多的国内外学者对该模型进行了深入的研究和探讨，威廉·夏普、林特、摩森、里查德·罗尔、史蒂夫·罗斯等经济学家在Markowitz均值—方差模型的基础上，相继提出了“单因素模型”、“多因素模型”、“CAPM模型”以及“APT模型”等，不断地进行证券投资组合优化的理论创新，丰富和发展了现代证券投资理论。
然而，由于Markowitz投资组合模型过于严格的假设，导致其在中国证券市场的应用上存在一定的局限性。因而，如何将经典的均值—方差模型进行改进和优化，使其更符合中国证券市场的特点，便成为摆在中国证券投资学者面前的一道极具实际价值又充满了困难与挑战的课题。本文正是通过对投资组合的预期收益率和风险进行优化度量，以及修正Markowitz模型中关于交易费用和最小交易数量的假设，对均值—方差模型进行了多方位的改进和优化，得到了更为符合中国证券市场的各种优化模 型。
一、Markowitz均值—方差模型
马克维茨在《投资组合选择》一文中将证券组合选择的过程概括为两个阶段：第一阶段从观察和经验出发得到各种可投资证券未来的预期收益率、风险等，第二阶段则从各证券的预期表现出发得到一组最优的投资组合。马克维茨正是针对第二阶段提出了证券组合投资的均值—方差模型，将收益率、风险等参数进行了数量化的表示和度量，并对模型进行了求解分析。
1.模型假设
(1)证券市场是完全有效的。
(2)证券投资者都是理性的。
(3)证券的收益率可以视为随机变量且服从正态分布，其性质由均值和方差来描述。
(4)各种证券的收益率之间具有一定的相关性，这种相关程度可以用收益率的协方差来表示。
(5)每一种资产都是无限可分的。
(6)税收和交易成本等忽略不计。
(7)单一投资期。
(8)不存在卖空机制。
2.模型参数的估计与度量
假设ri是投资在第i种证券上的收益率，它是随机变量，ui是第i种证券的预期收益率，σij是ri和rj的协方差（σij是ri的方差），wi是投资在第i种证券上的投资比例，则投资组合的收益率是随机变量，wi是由投资者确定下来的非随机变量，显见，并且根据假设（8）有：wi≥0。则可得到投资组合的预期收益率为，方差为，或者用相关系数表示为 。
3.均值—方差（E-V）基本模型
(wi≥0,i=1,2,…,n)为组合的投资权重向量，为组合的预期收益率向量，为协方差阵，为给定的预期收益率，。
二、Markowitz投资组合模型的优化
1.预期收益率的估计方法
假设某种证券在最近n周内的收益率分别为，且，其中表示第i周第一天的开盘价，表示第i周最后一天的收盘价。由此可计算得该证券的预期收益率。
方法一：期望收益率。以最近时期内的样本期望值来估计得到第n+1周的预期收益率为，这也是Markowitz在《投资组合选择》中所采用的方法。
方法二：加权期望收益率。如果投资者认为据目标期时间越近则关系越密切，这样就可以将历史数据中的各时期的收益率进行加权平均，据目标期时间越近则权重越大。本文以指数平滑法为例阐述期望收益率的这种估计方法。假设某种证券在最近n周内的收益率分别为，则在估计该证券的预期收益率时，可以得到这些收益率的追溯预测值
其中，R表示预期收益率；α表示加权系数，介于0和1之间，由投资者决定。
注1:一般情况下如果收益率序列波动不大，则α应取小一点，比如0.1～0.3；如果收益率序列波动较大，则α应取大一点，比如0.6～0.8。
注2:在实际操作中，可取多个α值进行试算，比较它们的，取较小者为准估计预期收益 率。
除了以上介绍的两种通过历史数据度量预期收益率的方法，不少学者还通过修正证券收益率服从正态分布这一假设，运用新的度量方法进行了进一步的改进和优化。如Merton通过假定股价变化服从Brown运动，提出了连续时间随机模型。此外，还可以运用灰度预测、模糊数学等方法进行预期收益率的度量和预测。
2.风险的优化度量方法
Markowitz均值—方差模型中使用方差进行风险度量，而在改进的模型中，可以用VaR和半方差等方法优化风险度量。
(1)引入VaR约束条件，优化方差度量。
VaR方法是用来测量给定投资工具或资产组合在未来资产价格波动下可能或潜在的损失。Jorion指出VaR是指在正常的市场条件下，在给定置信区间内，一种投资工具或资产组合在给定持有期内的最大预期损失。数学上，VaR可表示为投资工具或组合的回报率分布的α分位数的相反数，表达式为α，其中，表示组合P在持有期内市场价值的变化。上式说明投资组合在持有期内市场价值的损失值等于或大于VaR（在险值）的概率为α。在VaR的定义中，有两个重要的参数——持有期和置信水平1-α。于是Markowitz投资组合模型（2）的改进模型为：
VaR值的计算方法有很多种，大致分为参数模型和非参数模型。参数模型通过估计证券组合的收益率服从一定的分布来估计VaR，如标准正态法、移动平均法，GARCH模型等方法。而非参数模型则有历史模拟法等方法。
(2)用VaR代替方差度量风险，建立均值—VAR模型。
均值—VaR模型就是在Markowitz均值—方差模型的基础上，是用VaR代替收益率的方差来度量风险，即寻找在给定的收益约束下，使组合的VaR最小的投资组合。Markowitz投资组合模型（2）的改进模型为：
(3)用半方差代替方差度量风险，建立均值—半方差模型。在Markowitz投资组合模型中，收益率的风险是由方差来描述的，但方差并不是一种很适合的衡量方法，因为用这种方法度量不但包括了实际收益中低于期望收益的部分，而且包括了实际收益中高于期望收益的部分，而实际投资实践中，投资者往往只关注低于期望收益的风险。为此，我们用下方风险（down-side Risk）作为新的风险测量手段。我们引入低位部分距(Lower Partial moments) , 对证券回报是离散的情形，被定义为：
其中R0是投资者的目标回报，qi是证券回报为Rj时的概率，n由财富效用函数的类型所表示。并且我们认为当n=2时，适合具有偏斜偏好的风险避免型投资者。因此，我们得到均值—半方差模型为：
(4)其他方法。
风险还可通过运用绝对离差、半绝对离差、极差等工具来进行度量，他们往往比用方差度量风险更符合投资者心理和证券市场实际。此外，由于政治、经济、社会等诸多因素和股市的难预测性的特点，还可运用灰度预测或者三角模糊数等方法度量预期收益率和风险。
3.交易费用的考虑
交易费用是投资者在进行证券投资交易过程所需要交纳的一笔费用，通常包括交给国家的印花税、交给券商的佣金等。
情况一：投资组合中只有股票，则每种证券的交易费用率恒定。
假设进行证券交易买入和卖出都需要支付交易费用，且单笔交易费用为交易金额的α倍，证券k在ti时刻的价格为。若某投资者在时刻ti买入一单位证券k，则需投入资金；在时刻tj卖出该证券k，则可获得收益。在不考虑交易费用时，我们有证券k在时间内的收益率为；而在考虑交易费用之后，证券k在时间内的收益率为：
以下分析在考虑交易费用时证券投资组合的收益率和方差。假设我们选定了n种证券构成投资组合，并且在第k种证券上的投资比例为，则组合收益率为：。若记，其中为的期望值，且的组合风险为，则组合期望收益率可以写为：，相应的组合风险为：。
假设给定的预期收益率为，则由以上分析可得，在Markowitz均值—方差模型（B）的基础上，考虑交易费用后的改进模型为：
情况二：投资组合不但包括股票还包括各种基金，则不同证券的交易费用率不同。
假设投资组合中还包括各种基金，那么根据中国证券市场的交易规则，投资于不同基金所需交纳的交易费用率不同。于是对于投资组合中的n种证券，我们假设投资于证券i的交易费用是交易金额的αi倍（i=1,2,...,n），即交易费用率为αi。同时我们保留“情况一”中的其他假设不变。则得到Markowitz均值—方差模型（A）的改进模型：
4.最小交易数量的限制
在实际的中国证券市场中，股票交易的最小单位是100股，且必须是100的整数倍，因而Markowitz模型中关于证券无限可分的假设（5）便很难正确模拟实际的投资过程。于是，我们假设Q为规定的投资在每种证券上的最小数量单位，Pi为第i种证券的股价，K为投资者的实际投资总金额，则得到Markowitz均值—方差模型（A）的改进模型：
5.其他
此外，还可通过修正原模型中的其他假设对模型进行进一步优化。例如马柯维茨模型假设证券组合中两证券之间存在较为稳定的相关关系，然而实际证券市场的数据并不能很好地验证这一假设，于是可以通过假设各种证券收益率之间的关联关系是随机的来建立时变证券组合投资模型。
三、结语
Markowitz均值—方差模型在理想化的假设下很难较精确地反映当前的证券市场实际，而通过对模型中预期收益率和风险的度量方法进行优化，对模型假设进行修正，将交易费用、最小交易数量等限制条件定量化的引入模型中，便可以得到更为符合中国证券市场实际的证券组合投资模型，为投资者进行投资决策提供更为有效的参考。然而，Markowitz投资组合模型的优化研究依然存在很多问题亟待解决，大量的假设和影响证券收益的因素难以定量化处理，如完全市场性、投资者理性、宏观经济政策出台对股价的影响等；此外，如何对优化模型开发出有效的快速算法进行数值求解也是一个很有价值的课题方向。我们相信随着证券投资理论的发展和计算机软件等工具的不断开发和应用，Markowitz证券组合投资模型一定能得到更好的优化和改进，从而在证券投资中发挥更大的应用价值。
作者单位：厦门大学数学科学学院
参考文献：
[1]Harry Markowitz.Portfolio Selection [J].The Journal of Finance,1952,7(1):77-91.
[2]海英,邓玮.Markowitz均值-方差理论的局限及其在我国的适用性[J].南方金融,2004,(10):30-32.
[3]郭晓辉.基于VAR的无卖空投资组合分析及实证研究[J].北京工商大学学报(自然科学版),2007,25(2):72-74.
[4]吴孟铎,荣喜民,李践.有交易成本的组合证券投资[J].天津大学学报,2002,35(2):196-198.