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摘要：对教材的练习题的改编题，给出了多种不同的解法，体现与学生的对话交流与感悟。让数学的一提多解得以体现，从解法体现自然生成。在教学中体现坚持循序渐进、循环上升的原则。感受到在平时的教学中坚持启发和引导学生学习和理解解题分析，让学生深刻地领悟和认识这些基本概念的丰富内涵及相互联系，并形成一定的知识链。使得学生解题时，能自然生成。
关键词：一题多解；自然生成；循序渐进；转换；异曲同工
一、 题目
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点（点E与B，C不重合），∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF。
此题是在初三年级复习时所编拟的一道试题，它的原题是人教版八年级下册复习题18中的14题，只是把“点E是BC的中点”改为了“点E是BC边上的任意一点”而形成的，要求学生根据所复习过的知识给出此题的解答。
二、 解法与对话
以上是同学们给出的三种解法，下面先请完成解法1的同学谈谈解法1是怎样想到的。学生1：“以前曾经做过一道类似的试题，有一点不同的是‘点E是BC的中点’，其实不论点E在BC上的何处，∵AB=BC，只要截取BG=BE，总有AG=CE，有了一组边相等，再利用等边对等角的性质和题目的已知条件就可以得到：∠AGE=∠FCE=135°，∠EAB=∠FEC而获解。”
学生1能根据回顾并借用已有的方法而获得解答，那么解法2又是怎样产生的？学生2：“我的想法也是通过由两个三角形全等来证明AE=EF，而两个三角形全等必须至少有一组边相等，而CE恰好是同时与AE，EF都关联的线段，再加上正方形的对角线平分对角，就想到了添加辅助线AC，又由条件可知∠FCE=135°，其补角也是45°，在这样思维启发下，想到了过E作EH⊥BC，造就了△AEH与△FEC既有相等的边，又有了相等的角，也就形成了解法2。”学生3：“我的想法與学生2的想法基本一致，连接AC后，构造的△AEC的∠ACE=45°，又由于CF是正方形外角的平分线，分成的每一个角也恰好是45°，所以在保障EC作为三角形的边的前提下，过E作EM⊥BC与FC的延长线相交，这样也就有了解法3”。
以上三种解法，基本思路相同都是添加辅助线构造两个三角形全等而获解，解法1是一步到位，解法2、解法3虽然不是一步到位，但都是充分利用了正方形的性质，在第一次添加辅助线AC的基础上，再进一步认识和挖掘题设条件，作出了第二条辅助线，这样的联想产生流畅自然。
解法4、解法5类似，均应用了等腰三角形的判定。而这样的解法是怎样想到的，下面请一位同学谈一谈你的解法。学生4：“要证明两条线段相等，如果这两条线段是同一个三角形的边就可以通过等角对等边的关系来进行判断。而AE与EF在直线BC的同侧，∠EAB与∠FEC相等的关系不好利用，由于正方形是轴对称图形，能否利用对称性将AE、EF转化为直线BC异侧的两条线段，且又能利用∠EAB=∠FEC的关系，也就找到了解决问题的突破口。在这样的思考联想下，就形成了解法4”。刚才学生4对问题的分析说得很好，当面对的问题直接获解有困难时，可否寻找一个“中间量”进行“转化”。解法4、解法5，就是将直线BC同侧的AE、EF转换成了直线BC异侧的ME与EF或AE与EN，而实现转换目标的。就是通过对称变换，也就是作出了点A关于直线BC的对称点M，或点F关于直线BC的对称点N。这样的对称点也恰好就是通过正方形的对角线，或外角的平分线来实现的，这两种解法的同学，能充分认识正方形的性质，获取问题的解法当然也就自然生成了。
解答到这，还有学生提出：“因为∠AEF=90°，如果AE=EF，那么△AEF就是等腰直角三角形，因此要证明AE=EF，只需要∠AFE=45°即可。由正方形的性质可知∠ACB=45°，而要确定角的度数，只需要三角形相似就行了。这样就还有相似的解答方式一”。又有学生抢着说：“我的想法与解法1一样，也是想证明AE，EF分别所在的两个三角形全等，由条件可知∠EAB=∠FEC，且AE是Rt△ABE的斜边，所以就作了FK⊥BC，而构造出Rt△EKF与Rt△ABE没有相等的边可直接应用，但Rt△EKF与Rt△ABE相似，由相似三角形性质可以建立边与边的数量关系，又因为BE CE=AB，CF是正方形外角的平分线，也有CK=FK，从而也就生成相似解法方式二”。受篇幅限制，在此就不想写出来了。希望爱好的读者试一试。
相似的解法与前面5种解法不同，没有受限于三角形全等，而是利用三角形相似来完成证明的，着力点之一在求∠AFE=45°，在通过认真审视四边形AECF的引领下，把三角形相似的判定与性质结合起来反复应用。这样的综合应用多见于全等形，这就是一种思维迁移，值得学习与借鉴。方式二利用三角形相似的判定和性质是对数和形相结合的一种展示。更主要的是突出了方程思想的应用理念，这种应用代数方法去完成几何问题的解法效果不错，也很新颖。当然建立平面直角坐标系也能进行求解，也是一种代数方法。只是受所学知识的限制，在求直线EF的解析式时还利用了三角形相似的判定和性质，因此略去了具体解答。喜欢的读者可以试一试。
三、 感悟
对于一道试题的改编题，学生们给出了多种不同的解法，特别是前几种解法，以及与学生的对话交流，我们有如下的一些感悟。第一、学生易于接受，并能掌握的解法，说明它符合学生的认知实际，这样的解法也就是自然解法。第二、解题方法能否有多样性与学生所掌握的知识有一定的必然联系，而且只要在教学中坚持循序渐进、循环上升的原则，解题教学的效果一定会提高。第三、获取自然解法的关键是学生理解掌握了对问题的求解分析，通过对求解分析的思维活动才可能成功地获取解题路径。同时也让我们感受到在平时的教学中坚持启发和引导学生学习和理解解题分析，在这个环节上多下功夫是可行的、有效的，必须坚持的。第四、从学生给出的解法与其对话中，还进一步肯定了在教学中重视对定义、定理、公式、法则等基本概念的教学，不仅让学生记住它们的题设与结论，更要让学生深刻地领悟和认识这些基本概念的丰富内涵及相互联系，并形成一定的知识链。例如在对勾股定理及其逆定理的教学中，不仅让学生记住这两定理，还让学生透过这两个定理进一步地理解认识平面几何所研究的两大对象“形”与“数”以及相互的关联性，即形可以用数来进行刻画，数在一定的法则下可进行运算，运算的结果又可以展示形的特征。因此学生们能给出解法7也就在情理之中了。
作者简介：
章伟，重庆市，重庆市第十八中学。
关键词：一题多解；自然生成；循序渐进；转换；异曲同工
一、 题目
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点（点E与B，C不重合），∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF。
此题是在初三年级复习时所编拟的一道试题，它的原题是人教版八年级下册复习题18中的14题，只是把“点E是BC的中点”改为了“点E是BC边上的任意一点”而形成的，要求学生根据所复习过的知识给出此题的解答。
二、 解法与对话
以上是同学们给出的三种解法，下面先请完成解法1的同学谈谈解法1是怎样想到的。学生1：“以前曾经做过一道类似的试题，有一点不同的是‘点E是BC的中点’，其实不论点E在BC上的何处，∵AB=BC，只要截取BG=BE，总有AG=CE，有了一组边相等，再利用等边对等角的性质和题目的已知条件就可以得到：∠AGE=∠FCE=135°，∠EAB=∠FEC而获解。”
学生1能根据回顾并借用已有的方法而获得解答，那么解法2又是怎样产生的？学生2：“我的想法也是通过由两个三角形全等来证明AE=EF，而两个三角形全等必须至少有一组边相等，而CE恰好是同时与AE，EF都关联的线段，再加上正方形的对角线平分对角，就想到了添加辅助线AC，又由条件可知∠FCE=135°，其补角也是45°，在这样思维启发下，想到了过E作EH⊥BC，造就了△AEH与△FEC既有相等的边，又有了相等的角，也就形成了解法2。”学生3：“我的想法與学生2的想法基本一致，连接AC后，构造的△AEC的∠ACE=45°，又由于CF是正方形外角的平分线，分成的每一个角也恰好是45°，所以在保障EC作为三角形的边的前提下，过E作EM⊥BC与FC的延长线相交，这样也就有了解法3”。
以上三种解法，基本思路相同都是添加辅助线构造两个三角形全等而获解，解法1是一步到位，解法2、解法3虽然不是一步到位，但都是充分利用了正方形的性质，在第一次添加辅助线AC的基础上，再进一步认识和挖掘题设条件，作出了第二条辅助线，这样的联想产生流畅自然。
解法4、解法5类似，均应用了等腰三角形的判定。而这样的解法是怎样想到的，下面请一位同学谈一谈你的解法。学生4：“要证明两条线段相等，如果这两条线段是同一个三角形的边就可以通过等角对等边的关系来进行判断。而AE与EF在直线BC的同侧，∠EAB与∠FEC相等的关系不好利用，由于正方形是轴对称图形，能否利用对称性将AE、EF转化为直线BC异侧的两条线段，且又能利用∠EAB=∠FEC的关系，也就找到了解决问题的突破口。在这样的思考联想下，就形成了解法4”。刚才学生4对问题的分析说得很好，当面对的问题直接获解有困难时，可否寻找一个“中间量”进行“转化”。解法4、解法5，就是将直线BC同侧的AE、EF转换成了直线BC异侧的ME与EF或AE与EN，而实现转换目标的。就是通过对称变换，也就是作出了点A关于直线BC的对称点M，或点F关于直线BC的对称点N。这样的对称点也恰好就是通过正方形的对角线，或外角的平分线来实现的，这两种解法的同学，能充分认识正方形的性质，获取问题的解法当然也就自然生成了。
解答到这，还有学生提出：“因为∠AEF=90°，如果AE=EF，那么△AEF就是等腰直角三角形，因此要证明AE=EF，只需要∠AFE=45°即可。由正方形的性质可知∠ACB=45°，而要确定角的度数，只需要三角形相似就行了。这样就还有相似的解答方式一”。又有学生抢着说：“我的想法与解法1一样，也是想证明AE，EF分别所在的两个三角形全等，由条件可知∠EAB=∠FEC，且AE是Rt△ABE的斜边，所以就作了FK⊥BC，而构造出Rt△EKF与Rt△ABE没有相等的边可直接应用，但Rt△EKF与Rt△ABE相似，由相似三角形性质可以建立边与边的数量关系，又因为BE CE=AB，CF是正方形外角的平分线，也有CK=FK，从而也就生成相似解法方式二”。受篇幅限制，在此就不想写出来了。希望爱好的读者试一试。
相似的解法与前面5种解法不同，没有受限于三角形全等，而是利用三角形相似来完成证明的，着力点之一在求∠AFE=45°，在通过认真审视四边形AECF的引领下，把三角形相似的判定与性质结合起来反复应用。这样的综合应用多见于全等形，这就是一种思维迁移，值得学习与借鉴。方式二利用三角形相似的判定和性质是对数和形相结合的一种展示。更主要的是突出了方程思想的应用理念，这种应用代数方法去完成几何问题的解法效果不错，也很新颖。当然建立平面直角坐标系也能进行求解，也是一种代数方法。只是受所学知识的限制，在求直线EF的解析式时还利用了三角形相似的判定和性质，因此略去了具体解答。喜欢的读者可以试一试。
三、 感悟
对于一道试题的改编题，学生们给出了多种不同的解法，特别是前几种解法，以及与学生的对话交流，我们有如下的一些感悟。第一、学生易于接受，并能掌握的解法，说明它符合学生的认知实际，这样的解法也就是自然解法。第二、解题方法能否有多样性与学生所掌握的知识有一定的必然联系，而且只要在教学中坚持循序渐进、循环上升的原则，解题教学的效果一定会提高。第三、获取自然解法的关键是学生理解掌握了对问题的求解分析，通过对求解分析的思维活动才可能成功地获取解题路径。同时也让我们感受到在平时的教学中坚持启发和引导学生学习和理解解题分析，在这个环节上多下功夫是可行的、有效的，必须坚持的。第四、从学生给出的解法与其对话中，还进一步肯定了在教学中重视对定义、定理、公式、法则等基本概念的教学，不仅让学生记住它们的题设与结论，更要让学生深刻地领悟和认识这些基本概念的丰富内涵及相互联系，并形成一定的知识链。例如在对勾股定理及其逆定理的教学中，不仅让学生记住这两定理，还让学生透过这两个定理进一步地理解认识平面几何所研究的两大对象“形”与“数”以及相互的关联性，即形可以用数来进行刻画，数在一定的法则下可进行运算，运算的结果又可以展示形的特征。因此学生们能给出解法7也就在情理之中了。
作者简介：
章伟，重庆市，重庆市第十八中学。