初中教材，对二次函数作了较详细的讲述，但是初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中阶段后，尤其是高考要求学生对二次函数的基本概念和基本性质要灵活应用，所以对二次函数进一步深入学习，就显得非常重要。那么，如何深入学习二次函数呢？笔者认为，应该从以下方面进行。
　　一、对函数概念要进一步理解
　　高中阶段学生是在学习集合的基础上学习了映射，接着重新学习函数概念，之所以如此，主要是用映射观点来阐明函数，这样学生就可以用已有的知识进一步了解的函数，特别是运用二次函数的知识来更加深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f ：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f （x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　例一：已知f （x）= 2x2+x+2，求f （x+1）
　　这里不能把f （x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　例二：设f （x+1）=x2-4x+1，求f （x）
　　这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
　　一般有两种方法：
　　（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　f （x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得f （x）=x2-6x+6
　　（2） 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
　　令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而f （x）= x2-6x+6
　　二、二次函数的单调性，最值与图象
　　高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（―∞， ]及[ ，+∞]上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
　　例三：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
　　（1）y=x2+2|x-1|-1
　　（2）y=|x2-1|
　　（3）= x2+2|x|-1
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
　　例四.设f （x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。
　　求：g（t）并画出 y=g（t）的图象
　　解：f （x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2
　　当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2
　　当t>1时，g（t）=f （t）=t2-2t-1
　　当t<0时，g（t）=f （t+1）=t2-2
　　首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
　　如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域。
　　三、二次函数能反映学生的数学思维
　　例五：设二次函数f （x）=ax2+bx+c（a>0）方程f （x）-x=0的两个根x1，x2滿足0　　（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X　　（Ⅱ）设函数f （x）的图象关于直线x=x0对称，证明
　　解题思路：
　　本题要证明的是x　　（Ⅰ）先证明x　　因为00，又a>0，因此f （x） >0，即f （x）-x>0.至此，证得x　　根据韦达定理，有 又c=f （0），∴f （0）f （0），所以当x∈（0，x1）时f （x）　　即x　　二次函数，有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
　　二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，在后面的教学中，我还会和广大同行关注这方面知识，更加深入研究学生在这一问题学习上存在的问题，从而大面积提高教学质量。