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摘 要：阐述了径向四自由度永磁偏置磁轴承的系统结构及工作原理，采用機理建模法建立了控制系统的数学模型并进行简要分析。应用H∞混合灵敏度控制方法和MATLAB鲁棒控制工具箱设计了永磁偏置磁轴承控制器，并在MATLAB/Simulink平台下对控制系统性能进行了仿真，仿真结果表明：H∞混合灵敏度控制系统的鲁棒稳定性及抗干扰能力均达到预期指标。
关键词：永磁偏置磁轴承;H∞混合灵敏度控制
The H∞ mixed-sensitivity Control of Permanent Magnetic biased Magnetic Bearings
JIANG Hao，DOU Ke
（NO. 710 R&D Institute CSIC， Yichang 443003， China）
Abstract： The structure and principle of the four-DOF radial Permanent Magnet biased Magnetic Bearings is described.The mathematic model of the control system is established by the physical theory. the control system is designed by The H∞ mixed-sensitivity control approach and the MATLAB Robust Control Toolbox， and under the MATLAB/Simulink platform， the performance of the designed controller is simulated， the simulation results show that the prospective robust stability and disturbance suppression performance of the H∞ mixed-sensitivity control system are both reached.
Key words： Permanent Magnets Biased Magnetic Bearings; H∞ mixed-sensitivity Control
0 引言
磁轴承（又称磁力轴承、磁悬浮轴承）是一种能进行主动控制的机电一体化轴承。其基本原理是利用磁场力将转轴悬浮在磁场中，使转轴在空间无机械接触、无磨损的旋转。与传统的滚动轴承和滑动轴承相比，磁轴承不存在机械接触，转子可以达到很高的旋转速度.具有无磨损、能耗低、噪声小、寿命长、无需润滑、无油污染等优点，具有广泛的应用前景[1] [2]。
永磁偏置磁轴承是一种混合磁路型磁轴承，利用永磁材料替代主动磁悬浮轴承中的偏置电流产生静态偏置磁场，具有耗能低、线圈匝数少等特点，具有一定的研究和应用价值。近年来，随着高磁能积稀土永磁材料的发展和成熟，对永磁偏置磁轴承的研究逐渐成为国内外磁轴承领域的研究热点之一[3]。
控制系统是磁轴承系统的核心，不但决定能否实现系统的稳定而且决定系统的刚度和阻尼，影响系统的动态特性和鲁棒性[2]。考虑到永磁偏置磁轴承系统被控对象存在以下特点：1）控制电流和转子位移的强烈非线性;2）各自由度之间存在较强的惯性耦合和陀螺效应;3）转子密度不均引起的干扰力及较大负载力变化，因而在永磁偏置磁轴承的控制系统设计中鲁棒稳定性问题和抗干扰问题异常突出。
针对这种存在较大不确定性的系统，理论和试验均表明经典PID控制往往难以取得好的控制效果，因而本文尝试采用H∞控制理论中的混合灵敏度方法进行研究。
1 永磁偏置磁轴承的工作原理及模型描述
径向四自由度永磁偏置磁轴承系统主要包括位移传感器、控制器、功率放大器、永磁体、电磁铁芯和转子六部分，其任一自由度工作原理如图1所示：永磁体和电磁线圈分别用于在定子铁心、气隙和转子铁芯形成的磁场回路中产生偏置磁通和控制磁通。当转子向下偏离中心位置时，上气隙变大，磁阻增加，偏置磁通
减小，同理，偏置磁通
增加，由于
<
永磁体产生的偏置磁通不能使转子回到中心位置，这时通过闭环控制在上下气隙产生相同控制磁通
，使气隙较大一侧总磁通为
，使气隙较小一侧总磁通为
，当控制磁通满足
时，转子受到的电磁力
>
，使被控转子返回到平衡位置。
1.2 控制系統数学模型
参考文献[4]所述主动磁轴承模型建立永磁偏置磁轴承模型。为了简化系统模型、便于分析先作如下假设：1）径向四个自由度的结构和电气参数认为完全一致;2）转子为轴向对称刚性转子，绕X、Y两个轴的转动惯量相等;3）忽略重力对转子的影响。基于以上假设，运用刚体动量定理、动量矩定理及有关线性化的电磁力计算公式，得到转子四个平动自由度的时域模型如式（1）所示。
（1）
采取单自由度分散控制策略，在数学模型中略去陀螺耦合和惯性耦合，对转子运动模型进行强制解耦，对解耦后时域微分方程进行拉普拉斯变换即可得到径向四个平动自由度上线圈电流和转子位移之间的传递函数模型如式（2）所示。
（2）
将实际系统中的陀螺耦合与惯性耦合视作受控对象的不确定性，对系统每个径向自由度模型分别设计鲁棒控制器。
根据四自由度转子运动模型、位移传感器模型、电流型功率放大器模型和AD转化模块的数学模型，得到受控对象的名义模型为：
（3）
2 基于H∞混合灵敏度方法的控制器设计
采用混合灵敏度方法设计控制器一方面可以使系统具有鲁棒稳定性的同时能较好地兼顾一定的干扰抑制能力，是H∞控制理论的典型设计方法。混合灵敏度设计问题的H∞控制标准化框架如图3.4所示：
图中
、
、
、
、
、
、
分别为参考输入、控制误差、控制输出、干扰信号、评价信号、系统输出及控制器输入，且
。
为广义受控对象的传递函数模型，
为名义受控对象传递函数模型，
、
、
分别定义为系统的灵敏度加权函数、控制灵敏度加权函数和补灵敏度加权函数，鲁棒性设计指标通过这3个加权函数体现，
为根据混合灵敏度优化方法设计的控制器。 目标函数（
到
的加权传递函数矩阵）可以表示如下：
混合灵敏度优化方法可描述为：对广义受控对象
，设计真实有理函数
、
、
，求反馈控制器
，使得闭环系统稳定，且有：
在目标函数矩阵
中
、
、
為性能函数，他们依次称为灵敏度函数，补灵敏度函数以及控制灵敏度函数，其表达式分别为：
混合灵敏度优化问题的本质即是通过设计
、
和
依次对
、
及
这三个性能函数的优化。
是是干扰到输出之间的传递函数，
是控制器的实际抗干扰能力的度量，代表系统的鲁棒性能，
越小，则闭环系统的抗扰能力越强，鲁棒性能越好;
是参考输入到系统输出的传递函数，
则是系统能稳的乘性不确定性的幅值界限，
越小，系统能稳的乘性不确定性的幅值界限越大，系统对乘性不确定性的鲁棒稳定性越强;
是参考输入到控制器输出的传递函数，
则是系统能稳的加性不确定性的幅值界限，
越小，系统能稳的加性不确定性的幅值界限越大，系统对加性不确定性的鲁棒稳定性越强。
关于加权函数的诸多选取原则和技巧参考文献[7]，对于永磁偏置磁悬浮轴承系统这个具体的研究对象，需要结合该实际系统的不确定性情况进行具体设计。
设定系统的鲁棒稳定性指标为：允许的相乘性不确定性在高频段（大于20000 rad/sec）增益为-3dB;鲁棒性能指标为：对低频（低于942.5 rad/sec）干扰的衰减倍数为-26dB。通过反复比较和分析，三个加权函数分别设计如下：
1）
的设计（调整鲁棒稳定性）。在系统鲁棒稳定性指标的基础上，反复调整
、
、
、
、
得到加權函数
如下：
2）
的设计（调节系统的鲁棒性能）。考虑鲁棒性指标，调整
和
得到补灵敏度传递函数如下：
3）
取为一常数：
图3为加权函数
、
的奇异值曲线图，满足回路成形不等式的要求。
选定三个加权函数后，利用MATLAB鲁棒控制工具箱中混合灵敏度设计相关的命令，得到鲁棒控制器K的传递函数表达式[8]。
（12）
图4、5分别为灵敏度函数、补灵敏度函数与其加权函数倒数的奇异值曲线，由图可知：灵敏度函数和补灵敏度函数达到了预期指标要求。
3 控制系统仿真
3.2 系统抗干扰能力仿真和比较
另外设计的PID控制器[9]，受控对象输出端分别加入AD幅值为160（156μm），频率为628rad/sec及1884rad/sec的正弦干扰信号，用于代表实际系统中转子转速在100Hz和300Hz时不平衡激振力产生的位移干扰信号。位置参考阶跃信号始终都设为0，得到H∞鲁棒控制器和设计的PID控制器下转子位移阶跃响应曲线如图8、图9。
4 结论
仿真表明，当系统存在较大的参数不确定性和较强的不平衡激振力干扰时，设计的基于混合灵敏度方法的鲁棒控制系统能够使转轴稳定悬浮，而且具有良好的抗干扰性能，实现了预期鲁棒性和抗干扰能力要求，为永磁偏置磁轴承数字鲁棒控制系统设计、改善系统可靠性奠定了理论基础。
参考文献
[1]杨国军，于溯源，何树延.磁悬浮轴承的特性及研究进展[J]，核动力工程，2002，第十二届全国反应堆结构力学会议论文专辑：169-172.
关键词：永磁偏置磁轴承;H∞混合灵敏度控制
The H∞ mixed-sensitivity Control of Permanent Magnetic biased Magnetic Bearings
JIANG Hao，DOU Ke
（NO. 710 R&D Institute CSIC， Yichang 443003， China）
Abstract： The structure and principle of the four-DOF radial Permanent Magnet biased Magnetic Bearings is described.The mathematic model of the control system is established by the physical theory. the control system is designed by The H∞ mixed-sensitivity control approach and the MATLAB Robust Control Toolbox， and under the MATLAB/Simulink platform， the performance of the designed controller is simulated， the simulation results show that the prospective robust stability and disturbance suppression performance of the H∞ mixed-sensitivity control system are both reached.
Key words： Permanent Magnets Biased Magnetic Bearings; H∞ mixed-sensitivity Control
0 引言
磁轴承（又称磁力轴承、磁悬浮轴承）是一种能进行主动控制的机电一体化轴承。其基本原理是利用磁场力将转轴悬浮在磁场中，使转轴在空间无机械接触、无磨损的旋转。与传统的滚动轴承和滑动轴承相比，磁轴承不存在机械接触，转子可以达到很高的旋转速度.具有无磨损、能耗低、噪声小、寿命长、无需润滑、无油污染等优点，具有广泛的应用前景[1] [2]。
永磁偏置磁轴承是一种混合磁路型磁轴承，利用永磁材料替代主动磁悬浮轴承中的偏置电流产生静态偏置磁场，具有耗能低、线圈匝数少等特点，具有一定的研究和应用价值。近年来，随着高磁能积稀土永磁材料的发展和成熟，对永磁偏置磁轴承的研究逐渐成为国内外磁轴承领域的研究热点之一[3]。
控制系统是磁轴承系统的核心，不但决定能否实现系统的稳定而且决定系统的刚度和阻尼，影响系统的动态特性和鲁棒性[2]。考虑到永磁偏置磁轴承系统被控对象存在以下特点：1）控制电流和转子位移的强烈非线性;2）各自由度之间存在较强的惯性耦合和陀螺效应;3）转子密度不均引起的干扰力及较大负载力变化，因而在永磁偏置磁轴承的控制系统设计中鲁棒稳定性问题和抗干扰问题异常突出。
针对这种存在较大不确定性的系统，理论和试验均表明经典PID控制往往难以取得好的控制效果，因而本文尝试采用H∞控制理论中的混合灵敏度方法进行研究。
1 永磁偏置磁轴承的工作原理及模型描述
1.1 工作原理
径向四自由度永磁偏置磁轴承系统主要包括位移传感器、控制器、功率放大器、永磁体、电磁铁芯和转子六部分，其任一自由度工作原理如图1所示：永磁体和电磁线圈分别用于在定子铁心、气隙和转子铁芯形成的磁场回路中产生偏置磁通和控制磁通。当转子向下偏离中心位置时，上气隙变大，磁阻增加，偏置磁通
减小，同理，偏置磁通
增加，由于
<
永磁体产生的偏置磁通不能使转子回到中心位置，这时通过闭环控制在上下气隙产生相同控制磁通
，使气隙较大一侧总磁通为
，使气隙较小一侧总磁通为
，当控制磁通满足
时，转子受到的电磁力
>
，使被控转子返回到平衡位置。
1.2 控制系統数学模型
参考文献[4]所述主动磁轴承模型建立永磁偏置磁轴承模型。为了简化系统模型、便于分析先作如下假设：1）径向四个自由度的结构和电气参数认为完全一致;2）转子为轴向对称刚性转子，绕X、Y两个轴的转动惯量相等;3）忽略重力对转子的影响。基于以上假设，运用刚体动量定理、动量矩定理及有关线性化的电磁力计算公式，得到转子四个平动自由度的时域模型如式（1）所示。
（1）
采取单自由度分散控制策略，在数学模型中略去陀螺耦合和惯性耦合，对转子运动模型进行强制解耦，对解耦后时域微分方程进行拉普拉斯变换即可得到径向四个平动自由度上线圈电流和转子位移之间的传递函数模型如式（2）所示。
（2）
将实际系统中的陀螺耦合与惯性耦合视作受控对象的不确定性，对系统每个径向自由度模型分别设计鲁棒控制器。
根据四自由度转子运动模型、位移传感器模型、电流型功率放大器模型和AD转化模块的数学模型，得到受控对象的名义模型为：
（3）
2 基于H∞混合灵敏度方法的控制器设计
2.1 混合灵敏度方法[5] [6]
采用混合灵敏度方法设计控制器一方面可以使系统具有鲁棒稳定性的同时能较好地兼顾一定的干扰抑制能力，是H∞控制理论的典型设计方法。混合灵敏度设计问题的H∞控制标准化框架如图3.4所示：
图中
、
、
、
、
、
、
分别为参考输入、控制误差、控制输出、干扰信号、评价信号、系统输出及控制器输入，且
。
为广义受控对象的传递函数模型，
为名义受控对象传递函数模型，
、
、
分别定义为系统的灵敏度加权函数、控制灵敏度加权函数和补灵敏度加权函数，鲁棒性设计指标通过这3个加权函数体现，
为根据混合灵敏度优化方法设计的控制器。 目标函数（
到
的加权传递函数矩阵）可以表示如下：
混合灵敏度优化方法可描述为：对广义受控对象
，设计真实有理函数
、
、
，求反馈控制器
，使得闭环系统稳定，且有：
在目标函数矩阵
中
、
、
為性能函数，他们依次称为灵敏度函数，补灵敏度函数以及控制灵敏度函数，其表达式分别为：
混合灵敏度优化问题的本质即是通过设计
、
和
依次对
、
及
这三个性能函数的优化。
是是干扰到输出之间的传递函数，
是控制器的实际抗干扰能力的度量，代表系统的鲁棒性能，
越小，则闭环系统的抗扰能力越强，鲁棒性能越好;
是参考输入到系统输出的传递函数，
则是系统能稳的乘性不确定性的幅值界限，
越小，系统能稳的乘性不确定性的幅值界限越大，系统对乘性不确定性的鲁棒稳定性越强;
是参考输入到控制器输出的传递函数，
则是系统能稳的加性不确定性的幅值界限，
越小，系统能稳的加性不确定性的幅值界限越大，系统对加性不确定性的鲁棒稳定性越强。
2.2 加权函数选择及H∞鲁棒控制器设计
关于加权函数的诸多选取原则和技巧参考文献[7]，对于永磁偏置磁悬浮轴承系统这个具体的研究对象，需要结合该实际系统的不确定性情况进行具体设计。
设定系统的鲁棒稳定性指标为：允许的相乘性不确定性在高频段（大于20000 rad/sec）增益为-3dB;鲁棒性能指标为：对低频（低于942.5 rad/sec）干扰的衰减倍数为-26dB。通过反复比较和分析，三个加权函数分别设计如下：
1）
的设计（调整鲁棒稳定性）。在系统鲁棒稳定性指标的基础上，反复调整
、
、
、
、
得到加權函数
如下：
2）
的设计（调节系统的鲁棒性能）。考虑鲁棒性指标，调整
和
得到补灵敏度传递函数如下：
3）
取为一常数：
图3为加权函数
、
的奇异值曲线图，满足回路成形不等式的要求。
选定三个加权函数后，利用MATLAB鲁棒控制工具箱中混合灵敏度设计相关的命令，得到鲁棒控制器K的传递函数表达式[8]。
（12）
2.3 设计结果检验
图4、5分别为灵敏度函数、补灵敏度函数与其加权函数倒数的奇异值曲线，由图可知：灵敏度函数和补灵敏度函数达到了预期指标要求。
3 控制系统仿真
3.1 系统鲁棒稳定性仿真
当名义模型中的参数α和β存在±80%的摄动时，得到基于H∞魯棒器的转子位移阶跃响应曲线如图6和图7。3.2 系统抗干扰能力仿真和比较
另外设计的PID控制器[9]，受控对象输出端分别加入AD幅值为160（156μm），频率为628rad/sec及1884rad/sec的正弦干扰信号，用于代表实际系统中转子转速在100Hz和300Hz时不平衡激振力产生的位移干扰信号。位置参考阶跃信号始终都设为0，得到H∞鲁棒控制器和设计的PID控制器下转子位移阶跃响应曲线如图8、图9。
4 结论
仿真表明，当系统存在较大的参数不确定性和较强的不平衡激振力干扰时，设计的基于混合灵敏度方法的鲁棒控制系统能够使转轴稳定悬浮，而且具有良好的抗干扰性能，实现了预期鲁棒性和抗干扰能力要求，为永磁偏置磁轴承数字鲁棒控制系统设计、改善系统可靠性奠定了理论基础。
参考文献
[1]杨国军，于溯源，何树延.磁悬浮轴承的特性及研究进展[J]，核动力工程，2002，第十二届全国反应堆结构力学会议论文专辑：169-172.
[2] G..Schweiter，H.Bleuler，A.Traxler.Active Magnetic Bearings―Basics，Properties and Application of Active magnetic Bearings[M].ETH，Switzerland，1994.
[3] 赵旭升，邓智泉等.永磁偏置磁轴承的研究现状及其发展[J].电子技术学报，2009，24（9）：9-17.
[4]范素香.基于H∞控制理论的磁悬浮系统控制研究[硕士学位论文]，中南大学，2004.
[5] 周克敏，J.C.Doyle，K.Glover著，鲁棒与最优控制[M].毛剑琴，钟宜生，林岩等译.北京：国防工业出版社，2002.
[6] 游伟倩等.基于LMI的小灵巧炸弹鲁棒H∞混合灵敏度BTT控制器设计[J]，南京理工大学学报，2011，31（5）：562-565.
[7] 吴旭东，解学书.鲁棒控制中的加权阵选择[J].清华大学学报（自然科学版），1997，37（1）：27-30.
[8]巍巍.MATLAB控制工程工具箱技术手册 [M]，北京：国防工业出版社，2004.
[9]刘金琨.先进PID控制MATLAB仿真第三版[M]，北京：电子工业出版社，2011.