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二项分布是对只有两个互斥结果且成功概率恒定的随机事件规律性描述的一种概率分布，也是超几何分布的极端情况. 本文从二项分布的定义入手，对二项分布的常见题型进行盘点，并对二项分布与其他分布易混淆处展开辨析，以期能帮助同学们深入地认识和理解二项分布.
二项分布及其应用的常见题型
在[n]次独立重复试验中，设事件[A]发生的次数为[k]，在每次试验中事件[A]发生的概率为[p]，那么在[n]次独立重复试验中，事件[A]恰好发生[k]次的概率[P（X=k）][=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）]. 此时称随机变量[X]服从二项分布，记作[X]～[B（n，p）]，并称[p]为成功概率.
1. [n]次独立重复试验中事件[A]发生[k]次的概率
例1 在三次独立重复试验中，事件[A]在每次试验中发生的概率相同，若事件[A]至少发生一次的概率为[6364]，则事件[A]恰好发生一次的概率为（ ）
A. [14] B. [34] C. [964] D. [2764]
解析 设事件[A]在每次试验中发生的概率为[x]，由题意得，[1-C33（1-x）3=6364]，则[x=34]. 则事件[A]恰好发生一次的概率为[C13×34×（1-34）2=964].
点评 二项分布的前提是独立重复试验. 独立重复试验中“至多”“至少”问题和在排列组合中一样，一般都需分类处理，若正面的情况较多，可考虑逆向思维法.
2. 二项分布的期望与方差
例2 已知随机变量[X]服从二项分布[B（n，p）]，若[E（X）=30]，[D（X）=20]，则[p=] .
解析 由題意得，[E（X）=np=30，]且[D（X）=][np（1-p）][=20]，解得，[p=13]. 故应填[13].
点评 若离散型概率分布被定位为二项分布，就可以直接利用公式[E（X）=np， D（X）=np（1-p）]求得.
3. 二项分布的分布列
例3 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的[12，13，16].现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，记[ξ]为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求[ξ]的分布列.
解析 记第[i]名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件[Di，i=1，2，3].
由题意得，[D1]，[D2]，[D3]相互独立，且[P（Di）=12+16=23].
所以[ξ]～[B（3，23）]，即[P（X=k）=Ck3（23）k（1-23）3-k]，[k=0，1，2，3].
故[ξ]的分布列是
[[ξ] 0 1 2 3 [p] [127] [29] [49] [827] ]
点评 本例中，表面上试验有三种结果，仔细想想：若记选择基础设施工程或产业建设工程为事件[Di]的话，[Di]要么发生，不发生就是选择民生工程，其实只有两个结果，则[ξ]服从二项分布. 一般来说，判断一个随机变量是否服从二项分布，主要看以下几点：（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）各次试验中的事件是相互独立的；（3）每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；（4）随机变量是这[n]次独立重复试验中事件发生的次数.
4. 两点分布
例4 若随机变量[X]服从两点分布，且[P（X=0）=0.8，][P（X=1）=0.2，]令[ξ=3X-2]，则[P（ξ=-2）=] .
解析 当[ξ=-2]时，[X=0]，则概率为0.8.
点评 两点分布是二项分布的一个特例，是当[n=1]时的二项分布，其中[PX=1]是成功概率.
不“明显”的二项分布
例5 某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的. 已知小明每次投篮投中的概率都是[13]. 求小明在4次投篮后的总得分[ξ]的数学期望.
解析 由题意得，[ξ]的可能取值为0，2，4，6，8.
则[P（ξ=0）=234=1681]；
[P（ξ=2）=C14×13×233=3281]；
[P（ξ=4）=C24×132×232=827]；
[P（ξ=6）=C34×133×23=881]；
[P（ξ=8）=134=181].
所以[ξ]的分布列为：
[[ξ] [0] [2] [4] [6] [8] [p] [1681] [3281] [827] [881] [181] ]
则[Eξ=83].
点评 本题还可以设投篮命中的次数为[η]，即先研究4次投篮命中的次数，符合二项分布的定义，即[η]～[B（4，13）]，则[E（η）=4×13=43.]又得分[ξ=2η]，由公式[E（aη+b）=aEη+b]可求出[Eξ=2Eη=83]. 这样做可以大大减少运算量.
被“错认”的二项分布
例6 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为[3∶2]，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
A. [C23353×25] B. [C23352×23]
C. [C34353×25] D. [C34233×13]
解析 甲打完4局胜，则要求第四局是甲胜，前三局中甲胜2次，应选择A.
点评 在研究二项分布求概率时，除注意事件的独立性之外，还要注意恰有[k]次发生与有指定哪几次发生的区别. 本题很容易被误认为二项分布，导致错选C.
不能不说的“二项分布与超几何分布”
例7 某网站用“10分制”调查某社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数.
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”. 求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率.
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记[ξ]表示抽到“极幸福”的人数，求[ξ]的分布列及数学期望.
解析 （1）众数：8.6；中位数：8.75.
（2）设[Ai]表示所取3人中有[i]个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件[A]，
则[P（A）=P（A0）+P（A1）=C312C316+C14C212C316=121140].
（3）[ξ]的可能取值为0，1，2，3.
[P（ξ=0）=（34）3=2764]； [P（ξ=1）=C13×14×（34）2=2764]；
[P（ξ=2）=C23（14）2×34=964]； [P（ξ=3）=（14）3=164].
所以[ξ]的分布列为
[[ξ] [0] [1] [2] [3] [P] [2764] [2764] [964] [164] ]
故[Eξ][=0×2764+1×2764+2×964+3×164=0.75].
点评 二项分布与超几何分布是很容易弄混淆的两种分布，一般来说超几何分布和二项分布有如下区别：（1）“不放回”抽取是超几何分布，而“有放回”抽取（独立重复）是二项分布. （2）对于超几何分布，需要知道总体的容量，而二项分布不需要. 若特意强调数据很大或者有“将频率当作概率”这样的描述，则是二项分布.
二项分布及其应用的常见题型
在[n]次独立重复试验中，设事件[A]发生的次数为[k]，在每次试验中事件[A]发生的概率为[p]，那么在[n]次独立重复试验中，事件[A]恰好发生[k]次的概率[P（X=k）][=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）]. 此时称随机变量[X]服从二项分布，记作[X]～[B（n，p）]，并称[p]为成功概率.
1. [n]次独立重复试验中事件[A]发生[k]次的概率
例1 在三次独立重复试验中，事件[A]在每次试验中发生的概率相同，若事件[A]至少发生一次的概率为[6364]，则事件[A]恰好发生一次的概率为（ ）
A. [14] B. [34] C. [964] D. [2764]
解析 设事件[A]在每次试验中发生的概率为[x]，由题意得，[1-C33（1-x）3=6364]，则[x=34]. 则事件[A]恰好发生一次的概率为[C13×34×（1-34）2=964].
点评 二项分布的前提是独立重复试验. 独立重复试验中“至多”“至少”问题和在排列组合中一样，一般都需分类处理，若正面的情况较多，可考虑逆向思维法.
2. 二项分布的期望与方差
例2 已知随机变量[X]服从二项分布[B（n，p）]，若[E（X）=30]，[D（X）=20]，则[p=] .
解析 由題意得，[E（X）=np=30，]且[D（X）=][np（1-p）][=20]，解得，[p=13]. 故应填[13].
点评 若离散型概率分布被定位为二项分布，就可以直接利用公式[E（X）=np， D（X）=np（1-p）]求得.
3. 二项分布的分布列
例3 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的[12，13，16].现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，记[ξ]为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求[ξ]的分布列.
解析 记第[i]名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件[Di，i=1，2，3].
由题意得，[D1]，[D2]，[D3]相互独立，且[P（Di）=12+16=23].
所以[ξ]～[B（3，23）]，即[P（X=k）=Ck3（23）k（1-23）3-k]，[k=0，1，2，3].
故[ξ]的分布列是
[[ξ] 0 1 2 3 [p] [127] [29] [49] [827] ]
点评 本例中，表面上试验有三种结果，仔细想想：若记选择基础设施工程或产业建设工程为事件[Di]的话，[Di]要么发生，不发生就是选择民生工程，其实只有两个结果，则[ξ]服从二项分布. 一般来说，判断一个随机变量是否服从二项分布，主要看以下几点：（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；（2）各次试验中的事件是相互独立的；（3）每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；（4）随机变量是这[n]次独立重复试验中事件发生的次数.
4. 两点分布
例4 若随机变量[X]服从两点分布，且[P（X=0）=0.8，][P（X=1）=0.2，]令[ξ=3X-2]，则[P（ξ=-2）=] .
解析 当[ξ=-2]时，[X=0]，则概率为0.8.
点评 两点分布是二项分布的一个特例，是当[n=1]时的二项分布，其中[PX=1]是成功概率.
不“明显”的二项分布
例5 某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的. 已知小明每次投篮投中的概率都是[13]. 求小明在4次投篮后的总得分[ξ]的数学期望.
解析 由题意得，[ξ]的可能取值为0，2，4，6，8.
则[P（ξ=0）=234=1681]；
[P（ξ=2）=C14×13×233=3281]；
[P（ξ=4）=C24×132×232=827]；
[P（ξ=6）=C34×133×23=881]；
[P（ξ=8）=134=181].
所以[ξ]的分布列为：
[[ξ] [0] [2] [4] [6] [8] [p] [1681] [3281] [827] [881] [181] ]
则[Eξ=83].
点评 本题还可以设投篮命中的次数为[η]，即先研究4次投篮命中的次数，符合二项分布的定义，即[η]～[B（4，13）]，则[E（η）=4×13=43.]又得分[ξ=2η]，由公式[E（aη+b）=aEη+b]可求出[Eξ=2Eη=83]. 这样做可以大大减少运算量.
被“错认”的二项分布
例6 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为[3∶2]，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
A. [C23353×25] B. [C23352×23]
C. [C34353×25] D. [C34233×13]
解析 甲打完4局胜，则要求第四局是甲胜，前三局中甲胜2次，应选择A.
点评 在研究二项分布求概率时，除注意事件的独立性之外，还要注意恰有[k]次发生与有指定哪几次发生的区别. 本题很容易被误认为二项分布，导致错选C.
不能不说的“二项分布与超几何分布”
例7 某网站用“10分制”调查某社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）指出这组数据的众数和中位数.
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”. 求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率.
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记[ξ]表示抽到“极幸福”的人数，求[ξ]的分布列及数学期望.
解析 （1）众数：8.6；中位数：8.75.
（2）设[Ai]表示所取3人中有[i]个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件[A]，
则[P（A）=P（A0）+P（A1）=C312C316+C14C212C316=121140].
（3）[ξ]的可能取值为0，1，2，3.
[P（ξ=0）=（34）3=2764]； [P（ξ=1）=C13×14×（34）2=2764]；
[P（ξ=2）=C23（14）2×34=964]； [P（ξ=3）=（14）3=164].
所以[ξ]的分布列为
[[ξ] [0] [1] [2] [3] [P] [2764] [2764] [964] [164] ]
故[Eξ][=0×2764+1×2764+2×964+3×164=0.75].
点评 二项分布与超几何分布是很容易弄混淆的两种分布，一般来说超几何分布和二项分布有如下区别：（1）“不放回”抽取是超几何分布，而“有放回”抽取（独立重复）是二项分布. （2）对于超几何分布，需要知道总体的容量，而二项分布不需要. 若特意强调数据很大或者有“将频率当作概率”这样的描述，则是二项分布.