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摘 要：针对2021年高考数学试卷中的函数与导数试题进行解法分析，并对本专题试题的基本类型和特色进行归纳总结，给出本专题的复习建议.
关键词：函数与导数;解题分析;数学思想
函数是高中数学中非常重要的内容，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）把函数及其相关内容作为一条贯穿数学课程的主线，函数思想有助于学生理清中学数学的脉络，学习、理解、应用函数主线是提升学生数学学科核心素养的基本载体. 因而，函数与导数试题在高考中一直占据着十分重要的地位. 综观2021年各份高考数学试卷，对函数与导数内容的考查符合《标准》的要求，并具有较好的区分度，便于考查不同层次学生的数学思维品质. 下面针对2021年各份高考数学试卷中的函数与导数试题进行解法分析，并对函数与导数试题的基本类型和特色进行归纳总结，给出复习建议.
一、试题分析
2021年各份高考数学试卷中对函数与导数内容的考查，均以基础知识为载体，题型涉及选择题、填空题和解答题，主要围绕函数的概念、图象、性质、函数与方程，以及导数在函数中的应用等进行命制，考查分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想方法，突出考查学生的基础知识和基本技能.
1. 函数的概念
例1 （上海卷·5）已知[fx=3x+2，] 则[f-11]的值为 .
解法1：由题意，得[f-1x=3x-2.] 所以[f-11=-3.]
解法2：令[3x+2=1，] 解得[x=-3.] 所以[f-11=-3.]
【评析】此题考查学生对反函数相关概念的理解与应用，主要有两种解法：一是根据原函数求出其反函数的解析式，再代值求解;二是根据反函数与原函数的关系——反函数的值域就是原函数的定义域进行求解.
例2 （浙江卷·12）已知[a∈R，] 函数[fx=][x2-4，x>2，x-3+a，x≤2.] 若[ff6=3，] 则[a]的值为 .
解：因为[6>2，]
所以[f6=62-4=2.]
所以[ff6=f2=2-3+a=1+a=3.]
所以[a=2.]
【评析】处理分段函数求值问题，关键是分清自变量属于哪个区间，以便确定其对应法则.
2. 函数的图象
函数的图象是高考常考内容之一，主要考查学生作图、识图、用图的能力，这类试题一般比较灵活，常常借助特殊点、函数的性质、极限等方法来解决，当然，也可以借助导数来判断. 其中，给式绘图是基础，给图识图是能力，无图想图则是数形结合的一种境界.
例3 （天津卷·3）函数[y=ln xx2+2]的图象大致为（ ）.
[1][0.15][x][y][O] [（A）] [1][0.15][x][y][O] [（B）]
[1][0.15][x][y][O] [（C）] [1][0.15][x][y][O] [（D）]
解：因为[fx=ln xx2+2，x∈-∞，0?0，+∞，]
[f-x=ln -x-x2+2=ln xx2+2=fx.]
所以[fx]为[-∞，0?0，+∞]上的偶函数.
所以排除选项A和选项C.
因为[f1=0，] 且当[x>1]时，[fx>0，]
所以排除选项D.
故答案选B.
【评析】此题为给式识图题，解决这类问题一般有兩种思考方式：一是由解析式得性质，由性质画出函数的图象，再找出正确的选项;二是由选项直观感知要研究的函数性质，再结合解析式研究对应的性质，用排除法找出正确的选项. 此题考查了函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等素养.
3. 函数的性质
函数的性质是历年高考必考且重点考查的内容，主要包括函数的单调性、奇偶性和周期性，及其简单应用的考查.
例4 （全国新高考Ⅰ卷·13）已知函数[fx=][x3a ? 2x-2-x]是偶函数，则[a]的值为 .
解法1：由函数[fx]是偶函数，得
[-x3a ? 2-x-2x=x3a ? 2x-2-x.]
整理，得[a-12x+2-x=0.]
则[a-1=0.]
所以[a=1].
解法2：由函数[fx]是偶函数，得[f-1=f1，]
即[2-a2=2a-12.]
解得[a=1].
经检验，[a=1]符合题意.
【评析】准确掌握函数的奇偶性是解决此题的核心. 作为填空题，也可以取特殊值来处理，但需要有检验意识.
例5 （全国甲卷·理12）设函数[fx]的定义域为[R，] [fx+1]为奇函数，[fx+2]为偶函数，当[x∈1，2]时，[fx=ax2+b，] 若[f0+f3=6，] 则[f92]的值为（ ）.
（A）[-94] （B）[-32]
（C）[74] （D）[52]
解：因为[fx+1]是奇函数，
所以[f-x+1=-fx+1.] ①
因为[fx+2]是偶函数，
所以[fx+2=f-x+2.] ②
令[x=1]，由①，得[f0=-f2=-4a+b]; 由②，得[f3=f1=a+b.]
因为[f0+f3=6，]
所以[-4a+b+a+b=6.]
解得[a=-2.]
令[x=0]，由①，得[f1=-f1.]
则[f1=0.]
所以[b=2.]
所以[fx=-2x2+2.]
（方法1）从定义入手.
因为[f92=f52+2=f-52+2=f-12]，
[f-12=f-32+1=-f32+1=-f52]，
[-f52=-f12+2=-f-12+2=-f32]，
所以[f92=-f32=52.]
（方法2）从周期性入手.
由两个对称性可知，函数[fx]的周期[T=4].
所以[f92=f12=-f32=52.]
故答案选D.
【评析】此题涉及一个二级结论：如果一个函数既是中心对称，又是轴对称，那么该函数是周期函数. 在解决与函数性质相关的问题时，我们通常可以借助一些二级结论，进而达到简化计算的效果. 有关函数奇偶性、对称性、周期性的结论很多，不必死记，只需借助定义进行推导即可.
4. 函数与方程
函数与方程思想是高中数学中最重要的思想之一. 对函数与方程的考查，多以基本初等函数为载体，考查方程的根、图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系.
例6 （北京卷·15）已知函数[fx=lg x-kx-2，] 给出下列四个结论：
① 当[k=0]时，[fx]恰有2个零点;
② 存在负数[k]，使得[fx]有1个零点;
③ 存在负数[k]，使得[fx]有3个零点;
④ 存在正数[k]，使得[fx]有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
解：令[fx=lg x-kx-2=0，] 则[fx]的零点问题可以转化为函数[gx=lg x]与函数[hx=kx+2]的交点问题.
当[k=0]时，由[lg x-2=0，] 可得[x=1100]或[x=100，] 故结论①正确;
存在[k<0，] 使得[gx=lg x]与[hx=kx+2]相切，但[gx=lg x]与[hx=kx+2]最多有两个交点，故结论②正确、结论③错误;
当[k>0]时，过点[0，2]存在函数[y=lg x x>1]的切线，此时共有两个交点，当直线的斜率略小于相切时的斜率时，就会有三个交点，故结论④正确.
故正确答案为①②④.
【评析】在选择题和填空题中求函数的零点个数，可以利用转化思想将其转化为求方程的解，也可以转化为求图象的交点个数，突出了数形结合、函数与方程、转化与化归的思想，但此方法不适合解答题的求解，对于解答题的处理后面将继续说明.
5. 导数在函数中的应用
导数是探究函数问题的重要工具，可以利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点，以及函数图象的切线问题.
例7 （全国乙卷·理10）设[a≠0，] 若[x=a]为函数[fx=ax-a2x-b]的极大值点，则（ ）.
（A）[a<b] （B）[a>b]
（C）[ab<a2] （D）[ab>a2]
解法1：若[a=b，] 则[fx=ax-a3]为单调函数，无极值点，不符合题意. 所以[a≠b.]
要使得[x=a]是三次函数[fx]的極大值点，可以画出[fx]的草图，有图1和图2两种情形.
[b][x][y][O][a][图1] [y][x][O][a][b][图2]
考虑图1，一定有[a>0，] 且[b>a.] 此时[ab-a2=][ab-a>0，] 则[ab>a2.]
考虑图2，一定有[a<0，] 且[b<a.] 此时[ab-a2=][ab-a>0，] 则[ab>a2.]
综上所述，[ab>a2]成立，
故答案选D.
解法2：因为[fx=ax-a3x-2b-a，]
所以要使得[x=a]是三次函数[fx]的极大值点，则[a>0，a<a+2b3] 或[a<0，a>a+2b3，]
即[a>0，a<b] 或[a<0，a>b.]
所以一定有[ab-a2=ab-a>0.]
故[ab>a2.]
故答案选D.
【评析】虽然导数是研究函数极值最有效的工具，但是对于一些常见的函数图象和性质，学生仍然要熟练掌握. 此题考查的是三次函数极大值点的问题，对比上述两种解法，发现若能根据题意画出其图象，通过数形结合即可快速求解.
例8 （全国乙卷·文21）已知函数[fx=x3-x2+][ax+1.]
（1）讨论[fx]的单调性;
（2）求曲线[y=fx]过坐标原点的切线与曲线[y=fx]的公共点的坐标.
解：（1）由题意，得[fx=3x2-2x+a.]
若[Δ=4-12a≤0，] 解得[a≥13.]
此时[fx≥0]恒成立，则[fx]在R上单调递增.
若[Δ=4-12a>0，] 解得[a<13.]
令[fx=0，] 解得[x1=1-1-3a3，x2=1+1-3a3.]
当[x∈-∞，x1， x2，+∞]时，[fx>0，] 此时[fx]单调递增;
当[x∈x1，x2]时，[fx<0]，此时[fx]单调递减.
综上可得，当[a≥13]时，[fx]在R上单调递增;当[a<13]时，[fx]在[-∞， 1-1-3a3， 1+1-3a3， +∞]上单调递增，在[1-1-3a3， 1+1-3a3]上单调递减.
（2）设切点为[x0，fx0，]
则[fx0=3x20-2x0+a.]
则切线方程为[y-x30-x20+ax0+1=3x20-2x0+a ·][x-x0.]
因为切线过坐标原点，
所以[0-x30-x20+ax0+1=3x20-2x0+a0-x0.]
整理，得[2x30-x20-1=0，]
即[x0-12x20+x0+1=0.]
解得[x0=1.]
即此时切点为[1，a+1.]
则[f1=1+a.]
故切线方程为[y=a+1x.]
联立方程组[y=x3-x2+ax+1，y=a+1x，]
解得[x=1，y=1+a] 或[x=-1，y=-1-a.]
所以曲线[y=fx]过坐标原点的切线与曲线[y=][fx]的公共点的坐标为[1，1+a]和[-1，-1-a.]
【评析】注意在函数的单调性的研究中，对导函数要依据其零点的不同情况进行分类讨论;在求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已經求出的切点，还可能有另外的公共点，要通过联立方程求解. 其中，在三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根. 三次方程是高考数学函数与导数压轴题中的常见问题，这类问题一般都能先找到其中一个根，然后再通过分解因式求其余的根.
二、典型试题解法分析
1. 巧构造，比大小
比较函数的大小是高考中一种常考的题型，多出现在选择题的压轴位置. 比较大小的常见方法有：特殊值法、比较法（作差、作商）、构造函数法、图象法、基本不等式法等，涉及的知识点较多，能够有效考查从一般到特殊、转化与化归、数形结合等数学思想，能有效凸显不同层次学生的思维品质.
例9 （全国乙卷·理12）设[a=2ln 1.01，b=][ln 1.02，c=1.04-1，] 则（ ）.
（A）[a<b<c] （B）[b<c<a]
（C）[b<a<c] （D）[c<a<b]
解：因为[a=2ln 1.01=ln 1.012>ln 1.02，]
所以[a>b.]
易发现，[1.01=1+0.01，1.04=1+0.01×4.]
令[x=0.01，] 则[a=2ln 1+x，c=1+4x-1.]
所以[a-c=2ln 1+x-1+4x+1.]
构造函数[fx=2ln 1+x-1+4x+1，0<x<1，]
则[fx=21+x-21+4x.]
因为[1+x2-1+4x=xx-2<0，]
所以[1+x2<1+4x，]
即[1+x<1+4x.]
从而有[fx>0.]
所以[fx]在[0，1]上单调递增，
故[f0.01>f0=0，]
即[a>c.]
令[x=0.01，] 则[b=ln 1+2x，c=1+4x-1.]
构造函数[gx=ln 1+2x-1+4x+1，0<x<1，]
则[gx=21+2x-21+4x.]
因为[1+2x2-1+4x=4x2>0，]
所以[1+2x2>1+4x，]
即[1+2x>1+4x.]
从而有[gx<0.]
所以[gx]在[0，1]上单调递减，
故[g0.01<g0=0，]
即[b<c.]
综上，有[b<c<a.]
故答案选B.
【评析】此题中的[a]与[b]都是同底的对数，只要计算1.01的平方，即可得到[a]与[b]的大小关系，考查了数学运算素养. 对于[a]与[c，b]与[c，] 对比1.01，1.02，1.04三个数据，发现三者之间的联系：[1.01=1+0.01]，[1.02=][1+0.01×2，1.04=1+0.01×4，] 这是数据分析素养的体现，这就是数学的眼光. 进一步抽象出[1+x，1+2x，][1+4x，] 继而得到[a=2ln 1+x，b=ln 1+2x，c=1+4x-1，] 其中[x=0.01.] 这里体现了数学抽象的素养，这就是数学的思维，从而很自然地就能想到构造相关函数，最后借助导数研究函数的单调性，达到比较大小的目的，体现了数学建模、逻辑推理素养.
2. 巧转化，证不等
不等式证明是高考命题的热点之一. 把不等式的证明转化为函数问题，借助导数研究函数的单调性或最值，从而证明不等式.
例10 （全国乙卷·理20）设函数[fx=ln a-x，]已知[x=0]是函数[y=xfx]的极值点.
（1）求[a;]
（2）设函数[gx=x+fxxfx，] 证明：[gx<1.] 解：（1）由题意，得[y=xfx=xln a-x.]
则[y=ln a-x-xa-x x<a.]
因为[x=0]是函数[y=xfx]的极值点，
所以有[lna=0.]
解得[a=1.]
当[a=1]时，[y=ln 1-x-11-x+1]在[-∞，1]上单调递减，
则当[x<0]时，[y>0，] 函数[y=xfx]在[-∞，0]上单调递增;
当[0<x<1]时，[y<0]，函数[y=xfx]在[0，1]上单调递减，
故[x=0]是函数[y=xfx]的极值点，
即[a=1]符合条件.
（2）由（1），得[fx=ln 1-x.]
则[gx=x+ln 1-xxln 1-x，] 其中[x∈-∞，0?0，1.]
当[x<0]时，[ln 1-x>0，] 则[xln 1-x<0;]
当[0<x<1]时，[ln 1-x<0，] 则[xln 1-x<0，]
故[xln 1-x<0]在[-∞，0?0，1]上恒成立.
（方法1）要证[gx<1，]
即证[x+ln 1-x>xln 1-x，]
即证[x+1-xln 1-x>0.]
令[hx=x+1-xln 1-x，]
则[hx=1-ln 1-x-1-x11-x=-ln 1-x.]
当[x<0]时，[hx<0，] [hx]在区间[-∞，0]上单调递减;
当[0<x<1]时，[hx>0，] [hx]在区间[0，1]上单调递增，
所以[hx>h0=0.]
故得证.
（方法2）要证[gx<1，]
即证[x+ln 1-x>xln 1-x，]
即证[x+1-xln 1-x>0.]
令[t=1-x，t∈0，1?1，+∞，]
记[φt=1-t+tlnt，]
则[φt=lnt.]
当[0<t<1]时，[φt<0，] [φt]在区间[0，1]上单调递减;
当[t>1]时，[φt>0，] [φt]在区间[1，+∞]上单调递增.
所以[φt>φ1=0.]
故得證.
（方法3）要证[gx<1，]
即证[x+ln 1-x>xln 1-x，]
即证[x1-x+ln 1-x>0.]
令[Fx=x1-x+ln 1-x，]
则[Fx=11-x2+-11-x=x1-x2.]
当[x<0]时，[Fx<0，] [Fx]在区间[-∞，0]上单调递减;
当[0<x<1]时，[Fx>0，] [Fx]在区间[0，1]上单调递增.
所以[Fx>F0=0.]
故得证.
【评析】此题若直接研究函数[gx，] [gx]比较复杂，必须要对所证的不等式进行等价转化，最好转化成一个易于研究的函数，而且转化要巧. 方法1是将分式不等式等价转化成整式不等式;方法2是在方法1的基础上进行换元，得到一个较为简洁的函数;方法3考虑对数式[ln 1-x]前的系数为[x，] 求导起来比较麻烦，结合指数函数和对数函数的处理技巧，将对数式进行孤立，两边同除[1-x，] 继而进行证明.
3. 巧取点，定零点
函数的零点问题，一直是高考的热点和难点，常常处于各类题型的压轴位置. 对于选择题或填空题，鉴于不需要解答过程，往往可以采用数形结合的方法来求解，突出“形”的作用;对于解答题，尤其是证明题，若用“形”去求解有违严谨性，再加上高等数学中的洛必达法则在高中不作要求，所以函数的零点问题在解答题中更注重“数”的推理，需要用零点存在性定理证明（确定）函数的零点情况，其中区间中的“点”如何取是关键.
例11 （全国新高考Ⅱ卷·22）已知函数[fx=][x-1ex-ax2+b.]
（1）讨论[fx]的单调性;
（2）从下面两个条件中选一个作为已知条件，证明：[fx]有一个零点.
① [12<a≤e22，b>2a;]
②[0<a<12，b≤2a.]
解：（1）易知函数[fx]的定义域为[R，fx=] [xex-2a.]
当[a≤0]时，[ex-2a>0.]
易得[x>0]时，[fx>0;x<0]时，[fx<0，]
故[fx]在[-∞，0]上单调递减，[0，+∞]上单调递增.
当[a>0]时，当[ln 2a>0]，即[a>12]时，
若[x<0]或[x>ln 2a]时，[fx>0，]
则[fx]在[-∞，0]，[ln2a，+∞]上单调递增;
若[ln 2a<x<0]时，[fx<0，]
则[fx]在[0，ln 2a]上单调递减;
当[a=12]时，[fx]在[R]上单调递增;
当[0<a<12]时，
当[x<ln 2a]或[x>0]时，[fx>0，] 则[fx]在[-∞，ln2a， 0，+∞]上单调递增;
当[0<x<ln2a]时，[fx<0，]
则[fx]在[ln 2a，0]上单调递减.
综上，当[a≤0]时，[fx]在[-∞，0]上单调递减，在[0，+∞]上单调递增;
当[0<a<12]时，[fx]在[-∞，ln 2a， 0，+∞]上单调递增，在[ln 2a，0]上单调递减;
当[a=12]时，[fx]在[R]单调递增;
當[a>12]时，[fx]在[-∞，0， ln 2a，+∞]上单调递增，在[0，ln 2a]上单调递减.
（2）选①.
若[12<a≤e22，b>2a，]
则有[0<ln 2a≤2.]
由（1），得当[a>12]时，[fx]在区间[-∞，0，][ln2a，+∞]上单调递增，在[0，ln2a]上单调递减.
则[fln 2a=ln 2a-1 ? 2a-aln 2a2+b>ln 2a-1 ?][2a-aln 2a2+2a，]
即[fln 2a>aln 2a2-ln 2a≥0.]
因为[f0=b-1>2a-1>0，]
[f-ba=-ba-1e-ba<0，]
所以[f0f-ba<0.]
故[fx]只有一个零点，且此零点为[-ba，0.]
选②.
若[0<a<12，b≤2a，]
则有[ln 2a<0.]
由（1），得当[0<a<12]时，[fx]在[-∞，ln 2a，][0，+∞]上单调递增，在[ln 2a，0]上单调递减.
则[fln 2a=ln 2a-1 ? 2a-aln 2a2+b≤ln2a-1 ?][2a-aln 2a2+2a，]
即[fln 2a≤aln 2a2-ln 2a<0.]
因为[f0=b-1≤2a-1<0，]
[f1-b1-a=1-b1-a-1e1-b1-a-a1-b1-a2+b，]
因为当[x>0]时，[ex>x+1，]
所以[e1-b1-a>1-b1-a+1.]
所以有[f1-b1-a>1-b1-a21-a+b-1=0.]
从而有[f0f1-b1-a<0，]
故[fx]只有一个零点，且此零点为[1-b1-a，0.]
【评析】此题利用导数研究函数的单调性和零点个数，属于常规考法. 但从试题的呈现形式上看，这是一道结构不良试题，是高考中的一种新题型，在2020年高考山东卷中已经出现过，但此题型出现在函数与导数解答题的压轴位置还是第一次. 此题第（2）小题需要从两个不同条件中选择一个进行证明，事实上，它们的处理方法是类似的：结合第（1）小题中函数的单调性，借助零点存在性定理求解. 其难点在于取点. 一般取点采用的方法有两种：一是猜点，如取端点、特殊点;二是放缩取点，包括丢项放缩取点、变量放缩取点、不等式放缩取点等.
若选①：由于[x<0]时，[x-1 ex]一定是负值，所以要找一个小于0的点，使得函数值为负，只需将项[x-1 ex]丢掉，令[-ax2+b=0，] 取[x=-ba]即可. 此方法可称为“丢项放缩取点”.
若选②：当[x>0]时，要找一个大于0的点，使得函数值为正，借助不等式[ex>x+1 x>0，] 则有[fx=][x-1ex-ax2+b>x21-a+b-1.] 令[x21-a+b-1=0，]得[x=1-b1-a.] 所以取[x=1-b1-a.] 可以使得[f1-b1-a>0.] 此方法称为“不等式放缩取点”.
此外，在放缩时可选择的不等式不唯一，所以取点的方案也各不一样，这里不再赘述.
三、试题解法赏析
例12 （全国新高考Ⅰ卷·15）函数[fx=2x-1-][2lnx]的最小值为 .
解法1：由题意，得[fx=2x-1-2lnx]的定义域为[0，+∞.]
当[0<x≤12]时，[fx=1-2x-2lnx，] 此时[fx]单调递减;
当[12<x≤1]时，[fx=2x-1-2lnx，] 有[fx=][2-2x≤0，] 此时[fx]单调递减;
当[x>1]时，[fx=2x-1-2lnx，] 有[fx=2-][2x>0，] 此时[fx]单调递增;
因为[fx]在各分段的界点处连续，
所以当[0<x≤1]时，[fx]单调递减;当[x>1]时，[fx]单调递增.
所以[fx≥f1=1.]
故函数[fx]的最小值为1.
解法2：[fx=2x-1+1-2ln x≥2x-1+1-]
[2ln x，] 当且仅当[2x-1≥0]时取等号;
[fx=2x-1+1-2ln x≥2ln x+1-2ln x，] 当且仅当[x=1]时取等号.
故当[x=1]时，函数[fx]的最小值为1.
解法3：令[t=2x-1-2ln x，]
则[2x-1=t+2ln x，]
即曲线[y=2x-1]与曲线[y=t+2lnx]有交点.
考虑[y=2x-1]与曲线[y=t+2ln x]相切的情形：设切点为[m，ln m+t，] 则[2m=2，2lnm+t=2m-1，]
解得[m=1，t=1.]
所以曲线[y=2x-1]与曲线[y=t+2lnx]相切时，切点坐标为[1，1.]
当[t≥1]时，曲线[y=2x-1]与曲线[y=t+2lnx]有交点，
故函数[fx]的最小值为1.
例13 （全國新高考Ⅰ卷·7）若过点[a，b]可以作曲线[y=ex]的两条切线，则（ ）.
（A）[eb<a] （B）[ea<b]
（C）[0<a<eb] （D）[0<b<ea]
解法1：画出曲线[y=ex]的图象如图3所示，根据直观即可判定.
当点[a，b]在曲线[y=ex]的上方时，不存在切线过点[a，b;]
当点[a，b]在曲线[y=ex]的上时，只存在一条切线过点[a，b;]
当点[a，b]在x轴上或在x轴下方时，只存在一条切线过点[a，b;]
只有当点[a，b]在曲线[y=ex]的下方，且点[a，b]在x轴上方时，才可以作出两条切线过点[a，b.] 由此可知[0<b<ea].
故答案选D.
解法2：设切点为[x0，ex0，]
则切线斜率[k=ex0-bx0-a=ex0.]
则[ex0x0-a-1=-b.]
令[fx=exx-a-1，]
则[fx]与直线[y=-b]有两个交点.
由[fx=x-aex，]
易知[fx]在[-∞，a]上单调递减，在[a，+∞]上单调递增，
所以[fxmin=fa=-ea.]
如图4，结合[fx]的图象，
则[-ea<-b<0，]
即有[0<b<ea.]
故答案选D.
四、备考建议
1. 强“基”课堂不惜时
数学的基本概念、定义、公式、公理，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是高考备考的重点. 在基础知识与基本方法的梳理上，教师要舍得花时间，帮助学生扫清知识的盲区，形成函数主题的认知网络，强化知识间的联系与沟通，深刻理解知识的内涵.
2. 提“能”课堂不惜时
高考数学试题对学生的阅读能力、作图能力和运算能力提出了一定的要求，这些能力提升的空间应该在课堂上. 在课堂上，教师要少些包办，要提供给学生充分的时间进行阅读、作图、计算，要让审题形成一种规范，让作图成为学生的习惯，让运算能够进行到底，进而逐步提高学生解决问题的能力.
3. 促“悟”课堂不惜时
在高考复习中，往往会存在教师带领学生“刷题”的现象，认为这样能够迅速提高学生的解题能力. 其实不然，盲目刷题，时间越久效果越差，甚至适得其反. 因此，在高考备考过程中，教师要增加学生“悟”的机会和时间，建议教师在课堂教学中适当留白、适当停顿，让学生多些感悟、多些醒悟、多些顿悟.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.
[2]郭慧清. 2020年高考“函数与导数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：28-38，64.
[3]张文涛. 2020年高考“函数与导数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：39-47.
关键词：函数与导数;解题分析;数学思想
函数是高中数学中非常重要的内容，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）把函数及其相关内容作为一条贯穿数学课程的主线，函数思想有助于学生理清中学数学的脉络，学习、理解、应用函数主线是提升学生数学学科核心素养的基本载体. 因而，函数与导数试题在高考中一直占据着十分重要的地位. 综观2021年各份高考数学试卷，对函数与导数内容的考查符合《标准》的要求，并具有较好的区分度，便于考查不同层次学生的数学思维品质. 下面针对2021年各份高考数学试卷中的函数与导数试题进行解法分析，并对函数与导数试题的基本类型和特色进行归纳总结，给出复习建议.
一、试题分析
2021年各份高考数学试卷中对函数与导数内容的考查，均以基础知识为载体，题型涉及选择题、填空题和解答题，主要围绕函数的概念、图象、性质、函数与方程，以及导数在函数中的应用等进行命制，考查分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程等重要思想方法，突出考查学生的基础知识和基本技能.
1. 函数的概念
例1 （上海卷·5）已知[fx=3x+2，] 则[f-11]的值为 .
解法1：由题意，得[f-1x=3x-2.] 所以[f-11=-3.]
解法2：令[3x+2=1，] 解得[x=-3.] 所以[f-11=-3.]
【评析】此题考查学生对反函数相关概念的理解与应用，主要有两种解法：一是根据原函数求出其反函数的解析式，再代值求解;二是根据反函数与原函数的关系——反函数的值域就是原函数的定义域进行求解.
例2 （浙江卷·12）已知[a∈R，] 函数[fx=][x2-4，x>2，x-3+a，x≤2.] 若[ff6=3，] 则[a]的值为 .
解：因为[6>2，]
所以[f6=62-4=2.]
所以[ff6=f2=2-3+a=1+a=3.]
所以[a=2.]
【评析】处理分段函数求值问题，关键是分清自变量属于哪个区间，以便确定其对应法则.
2. 函数的图象
函数的图象是高考常考内容之一，主要考查学生作图、识图、用图的能力，这类试题一般比较灵活，常常借助特殊点、函数的性质、极限等方法来解决，当然，也可以借助导数来判断. 其中，给式绘图是基础，给图识图是能力，无图想图则是数形结合的一种境界.
例3 （天津卷·3）函数[y=ln xx2+2]的图象大致为（ ）.
[1][0.15][x][y][O] [（A）] [1][0.15][x][y][O] [（B）]
[1][0.15][x][y][O] [（C）] [1][0.15][x][y][O] [（D）]
解：因为[fx=ln xx2+2，x∈-∞，0?0，+∞，]
[f-x=ln -x-x2+2=ln xx2+2=fx.]
所以[fx]为[-∞，0?0，+∞]上的偶函数.
所以排除选项A和选项C.
因为[f1=0，] 且当[x>1]时，[fx>0，]
所以排除选项D.
故答案选B.
【评析】此题为给式识图题，解决这类问题一般有兩种思考方式：一是由解析式得性质，由性质画出函数的图象，再找出正确的选项;二是由选项直观感知要研究的函数性质，再结合解析式研究对应的性质，用排除法找出正确的选项. 此题考查了函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等素养.
3. 函数的性质
函数的性质是历年高考必考且重点考查的内容，主要包括函数的单调性、奇偶性和周期性，及其简单应用的考查.
例4 （全国新高考Ⅰ卷·13）已知函数[fx=][x3a ? 2x-2-x]是偶函数，则[a]的值为 .
解法1：由函数[fx]是偶函数，得
[-x3a ? 2-x-2x=x3a ? 2x-2-x.]
整理，得[a-12x+2-x=0.]
则[a-1=0.]
所以[a=1].
解法2：由函数[fx]是偶函数，得[f-1=f1，]
即[2-a2=2a-12.]
解得[a=1].
经检验，[a=1]符合题意.
【评析】准确掌握函数的奇偶性是解决此题的核心. 作为填空题，也可以取特殊值来处理，但需要有检验意识.
例5 （全国甲卷·理12）设函数[fx]的定义域为[R，] [fx+1]为奇函数，[fx+2]为偶函数，当[x∈1，2]时，[fx=ax2+b，] 若[f0+f3=6，] 则[f92]的值为（ ）.
（A）[-94] （B）[-32]
（C）[74] （D）[52]
解：因为[fx+1]是奇函数，
所以[f-x+1=-fx+1.] ①
因为[fx+2]是偶函数，
所以[fx+2=f-x+2.] ②
令[x=1]，由①，得[f0=-f2=-4a+b]; 由②，得[f3=f1=a+b.]
因为[f0+f3=6，]
所以[-4a+b+a+b=6.]
解得[a=-2.]
令[x=0]，由①，得[f1=-f1.]
则[f1=0.]
所以[b=2.]
所以[fx=-2x2+2.]
（方法1）从定义入手.
因为[f92=f52+2=f-52+2=f-12]，
[f-12=f-32+1=-f32+1=-f52]，
[-f52=-f12+2=-f-12+2=-f32]，
所以[f92=-f32=52.]
（方法2）从周期性入手.
由两个对称性可知，函数[fx]的周期[T=4].
所以[f92=f12=-f32=52.]
故答案选D.
【评析】此题涉及一个二级结论：如果一个函数既是中心对称，又是轴对称，那么该函数是周期函数. 在解决与函数性质相关的问题时，我们通常可以借助一些二级结论，进而达到简化计算的效果. 有关函数奇偶性、对称性、周期性的结论很多，不必死记，只需借助定义进行推导即可.
4. 函数与方程
函数与方程思想是高中数学中最重要的思想之一. 对函数与方程的考查，多以基本初等函数为载体，考查方程的根、图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系.
例6 （北京卷·15）已知函数[fx=lg x-kx-2，] 给出下列四个结论：
① 当[k=0]时，[fx]恰有2个零点;
② 存在负数[k]，使得[fx]有1个零点;
③ 存在负数[k]，使得[fx]有3个零点;
④ 存在正数[k]，使得[fx]有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
解：令[fx=lg x-kx-2=0，] 则[fx]的零点问题可以转化为函数[gx=lg x]与函数[hx=kx+2]的交点问题.
当[k=0]时，由[lg x-2=0，] 可得[x=1100]或[x=100，] 故结论①正确;
存在[k<0，] 使得[gx=lg x]与[hx=kx+2]相切，但[gx=lg x]与[hx=kx+2]最多有两个交点，故结论②正确、结论③错误;
当[k>0]时，过点[0，2]存在函数[y=lg x x>1]的切线，此时共有两个交点，当直线的斜率略小于相切时的斜率时，就会有三个交点，故结论④正确.
故正确答案为①②④.
【评析】在选择题和填空题中求函数的零点个数，可以利用转化思想将其转化为求方程的解，也可以转化为求图象的交点个数，突出了数形结合、函数与方程、转化与化归的思想，但此方法不适合解答题的求解，对于解答题的处理后面将继续说明.
5. 导数在函数中的应用
导数是探究函数问题的重要工具，可以利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点，以及函数图象的切线问题.
例7 （全国乙卷·理10）设[a≠0，] 若[x=a]为函数[fx=ax-a2x-b]的极大值点，则（ ）.
（A）[a<b] （B）[a>b]
（C）[ab<a2] （D）[ab>a2]
解法1：若[a=b，] 则[fx=ax-a3]为单调函数，无极值点，不符合题意. 所以[a≠b.]
要使得[x=a]是三次函数[fx]的極大值点，可以画出[fx]的草图，有图1和图2两种情形.
[b][x][y][O][a][图1] [y][x][O][a][b][图2]
考虑图1，一定有[a>0，] 且[b>a.] 此时[ab-a2=][ab-a>0，] 则[ab>a2.]
考虑图2，一定有[a<0，] 且[b<a.] 此时[ab-a2=][ab-a>0，] 则[ab>a2.]
综上所述，[ab>a2]成立，
故答案选D.
解法2：因为[fx=ax-a3x-2b-a，]
所以要使得[x=a]是三次函数[fx]的极大值点，则[a>0，a<a+2b3] 或[a<0，a>a+2b3，]
即[a>0，a<b] 或[a<0，a>b.]
所以一定有[ab-a2=ab-a>0.]
故[ab>a2.]
故答案选D.
【评析】虽然导数是研究函数极值最有效的工具，但是对于一些常见的函数图象和性质，学生仍然要熟练掌握. 此题考查的是三次函数极大值点的问题，对比上述两种解法，发现若能根据题意画出其图象，通过数形结合即可快速求解.
例8 （全国乙卷·文21）已知函数[fx=x3-x2+][ax+1.]
（1）讨论[fx]的单调性;
（2）求曲线[y=fx]过坐标原点的切线与曲线[y=fx]的公共点的坐标.
解：（1）由题意，得[fx=3x2-2x+a.]
若[Δ=4-12a≤0，] 解得[a≥13.]
此时[fx≥0]恒成立，则[fx]在R上单调递增.
若[Δ=4-12a>0，] 解得[a<13.]
令[fx=0，] 解得[x1=1-1-3a3，x2=1+1-3a3.]
当[x∈-∞，x1， x2，+∞]时，[fx>0，] 此时[fx]单调递增;
当[x∈x1，x2]时，[fx<0]，此时[fx]单调递减.
综上可得，当[a≥13]时，[fx]在R上单调递增;当[a<13]时，[fx]在[-∞， 1-1-3a3， 1+1-3a3， +∞]上单调递增，在[1-1-3a3， 1+1-3a3]上单调递减.
（2）设切点为[x0，fx0，]
则[fx0=3x20-2x0+a.]
则切线方程为[y-x30-x20+ax0+1=3x20-2x0+a ·][x-x0.]
因为切线过坐标原点，
所以[0-x30-x20+ax0+1=3x20-2x0+a0-x0.]
整理，得[2x30-x20-1=0，]
即[x0-12x20+x0+1=0.]
解得[x0=1.]
即此时切点为[1，a+1.]
则[f1=1+a.]
故切线方程为[y=a+1x.]
联立方程组[y=x3-x2+ax+1，y=a+1x，]
解得[x=1，y=1+a] 或[x=-1，y=-1-a.]
所以曲线[y=fx]过坐标原点的切线与曲线[y=][fx]的公共点的坐标为[1，1+a]和[-1，-1-a.]
【评析】注意在函数的单调性的研究中，对导函数要依据其零点的不同情况进行分类讨论;在求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已經求出的切点，还可能有另外的公共点，要通过联立方程求解. 其中，在三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根. 三次方程是高考数学函数与导数压轴题中的常见问题，这类问题一般都能先找到其中一个根，然后再通过分解因式求其余的根.
二、典型试题解法分析
1. 巧构造，比大小
比较函数的大小是高考中一种常考的题型，多出现在选择题的压轴位置. 比较大小的常见方法有：特殊值法、比较法（作差、作商）、构造函数法、图象法、基本不等式法等，涉及的知识点较多，能够有效考查从一般到特殊、转化与化归、数形结合等数学思想，能有效凸显不同层次学生的思维品质.
例9 （全国乙卷·理12）设[a=2ln 1.01，b=][ln 1.02，c=1.04-1，] 则（ ）.
（A）[a<b<c] （B）[b<c<a]
（C）[b<a<c] （D）[c<a<b]
解：因为[a=2ln 1.01=ln 1.012>ln 1.02，]
所以[a>b.]
易发现，[1.01=1+0.01，1.04=1+0.01×4.]
令[x=0.01，] 则[a=2ln 1+x，c=1+4x-1.]
所以[a-c=2ln 1+x-1+4x+1.]
构造函数[fx=2ln 1+x-1+4x+1，0<x<1，]
则[fx=21+x-21+4x.]
因为[1+x2-1+4x=xx-2<0，]
所以[1+x2<1+4x，]
即[1+x<1+4x.]
从而有[fx>0.]
所以[fx]在[0，1]上单调递增，
故[f0.01>f0=0，]
即[a>c.]
令[x=0.01，] 则[b=ln 1+2x，c=1+4x-1.]
构造函数[gx=ln 1+2x-1+4x+1，0<x<1，]
则[gx=21+2x-21+4x.]
因为[1+2x2-1+4x=4x2>0，]
所以[1+2x2>1+4x，]
即[1+2x>1+4x.]
从而有[gx<0.]
所以[gx]在[0，1]上单调递减，
故[g0.01<g0=0，]
即[b<c.]
综上，有[b<c<a.]
故答案选B.
【评析】此题中的[a]与[b]都是同底的对数，只要计算1.01的平方，即可得到[a]与[b]的大小关系，考查了数学运算素养. 对于[a]与[c，b]与[c，] 对比1.01，1.02，1.04三个数据，发现三者之间的联系：[1.01=1+0.01]，[1.02=][1+0.01×2，1.04=1+0.01×4，] 这是数据分析素养的体现，这就是数学的眼光. 进一步抽象出[1+x，1+2x，][1+4x，] 继而得到[a=2ln 1+x，b=ln 1+2x，c=1+4x-1，] 其中[x=0.01.] 这里体现了数学抽象的素养，这就是数学的思维，从而很自然地就能想到构造相关函数，最后借助导数研究函数的单调性，达到比较大小的目的，体现了数学建模、逻辑推理素养.
2. 巧转化，证不等
不等式证明是高考命题的热点之一. 把不等式的证明转化为函数问题，借助导数研究函数的单调性或最值，从而证明不等式.
例10 （全国乙卷·理20）设函数[fx=ln a-x，]已知[x=0]是函数[y=xfx]的极值点.
（1）求[a;]
（2）设函数[gx=x+fxxfx，] 证明：[gx<1.] 解：（1）由题意，得[y=xfx=xln a-x.]
则[y=ln a-x-xa-x x<a.]
因为[x=0]是函数[y=xfx]的极值点，
所以有[lna=0.]
解得[a=1.]
当[a=1]时，[y=ln 1-x-11-x+1]在[-∞，1]上单调递减，
则当[x<0]时，[y>0，] 函数[y=xfx]在[-∞，0]上单调递增;
当[0<x<1]时，[y<0]，函数[y=xfx]在[0，1]上单调递减，
故[x=0]是函数[y=xfx]的极值点，
即[a=1]符合条件.
（2）由（1），得[fx=ln 1-x.]
则[gx=x+ln 1-xxln 1-x，] 其中[x∈-∞，0?0，1.]
当[x<0]时，[ln 1-x>0，] 则[xln 1-x<0;]
当[0<x<1]时，[ln 1-x<0，] 则[xln 1-x<0，]
故[xln 1-x<0]在[-∞，0?0，1]上恒成立.
（方法1）要证[gx<1，]
即证[x+ln 1-x>xln 1-x，]
即证[x+1-xln 1-x>0.]
令[hx=x+1-xln 1-x，]
则[hx=1-ln 1-x-1-x11-x=-ln 1-x.]
当[x<0]时，[hx<0，] [hx]在区间[-∞，0]上单调递减;
当[0<x<1]时，[hx>0，] [hx]在区间[0，1]上单调递增，
所以[hx>h0=0.]
故得证.
（方法2）要证[gx<1，]
即证[x+ln 1-x>xln 1-x，]
即证[x+1-xln 1-x>0.]
令[t=1-x，t∈0，1?1，+∞，]
记[φt=1-t+tlnt，]
则[φt=lnt.]
当[0<t<1]时，[φt<0，] [φt]在区间[0，1]上单调递减;
当[t>1]时，[φt>0，] [φt]在区间[1，+∞]上单调递增.
所以[φt>φ1=0.]
故得證.
（方法3）要证[gx<1，]
即证[x+ln 1-x>xln 1-x，]
即证[x1-x+ln 1-x>0.]
令[Fx=x1-x+ln 1-x，]
则[Fx=11-x2+-11-x=x1-x2.]
当[x<0]时，[Fx<0，] [Fx]在区间[-∞，0]上单调递减;
当[0<x<1]时，[Fx>0，] [Fx]在区间[0，1]上单调递增.
所以[Fx>F0=0.]
故得证.
【评析】此题若直接研究函数[gx，] [gx]比较复杂，必须要对所证的不等式进行等价转化，最好转化成一个易于研究的函数，而且转化要巧. 方法1是将分式不等式等价转化成整式不等式;方法2是在方法1的基础上进行换元，得到一个较为简洁的函数;方法3考虑对数式[ln 1-x]前的系数为[x，] 求导起来比较麻烦，结合指数函数和对数函数的处理技巧，将对数式进行孤立，两边同除[1-x，] 继而进行证明.
3. 巧取点，定零点
函数的零点问题，一直是高考的热点和难点，常常处于各类题型的压轴位置. 对于选择题或填空题，鉴于不需要解答过程，往往可以采用数形结合的方法来求解，突出“形”的作用;对于解答题，尤其是证明题，若用“形”去求解有违严谨性，再加上高等数学中的洛必达法则在高中不作要求，所以函数的零点问题在解答题中更注重“数”的推理，需要用零点存在性定理证明（确定）函数的零点情况，其中区间中的“点”如何取是关键.
例11 （全国新高考Ⅱ卷·22）已知函数[fx=][x-1ex-ax2+b.]
（1）讨论[fx]的单调性;
（2）从下面两个条件中选一个作为已知条件，证明：[fx]有一个零点.
① [12<a≤e22，b>2a;]
②[0<a<12，b≤2a.]
解：（1）易知函数[fx]的定义域为[R，fx=] [xex-2a.]
当[a≤0]时，[ex-2a>0.]
易得[x>0]时，[fx>0;x<0]时，[fx<0，]
故[fx]在[-∞，0]上单调递减，[0，+∞]上单调递增.
当[a>0]时，当[ln 2a>0]，即[a>12]时，
若[x<0]或[x>ln 2a]时，[fx>0，]
则[fx]在[-∞，0]，[ln2a，+∞]上单调递增;
若[ln 2a<x<0]时，[fx<0，]
则[fx]在[0，ln 2a]上单调递减;
当[a=12]时，[fx]在[R]上单调递增;
当[0<a<12]时，
当[x<ln 2a]或[x>0]时，[fx>0，] 则[fx]在[-∞，ln2a， 0，+∞]上单调递增;
当[0<x<ln2a]时，[fx<0，]
则[fx]在[ln 2a，0]上单调递减.
综上，当[a≤0]时，[fx]在[-∞，0]上单调递减，在[0，+∞]上单调递增;
当[0<a<12]时，[fx]在[-∞，ln 2a， 0，+∞]上单调递增，在[ln 2a，0]上单调递减;
当[a=12]时，[fx]在[R]单调递增;
當[a>12]时，[fx]在[-∞，0， ln 2a，+∞]上单调递增，在[0，ln 2a]上单调递减.
（2）选①.
若[12<a≤e22，b>2a，]
则有[0<ln 2a≤2.]
由（1），得当[a>12]时，[fx]在区间[-∞，0，][ln2a，+∞]上单调递增，在[0，ln2a]上单调递减.
则[fln 2a=ln 2a-1 ? 2a-aln 2a2+b>ln 2a-1 ?][2a-aln 2a2+2a，]
即[fln 2a>aln 2a2-ln 2a≥0.]
因为[f0=b-1>2a-1>0，]
[f-ba=-ba-1e-ba<0，]
所以[f0f-ba<0.]
故[fx]只有一个零点，且此零点为[-ba，0.]
选②.
若[0<a<12，b≤2a，]
则有[ln 2a<0.]
由（1），得当[0<a<12]时，[fx]在[-∞，ln 2a，][0，+∞]上单调递增，在[ln 2a，0]上单调递减.
则[fln 2a=ln 2a-1 ? 2a-aln 2a2+b≤ln2a-1 ?][2a-aln 2a2+2a，]
即[fln 2a≤aln 2a2-ln 2a<0.]
因为[f0=b-1≤2a-1<0，]
[f1-b1-a=1-b1-a-1e1-b1-a-a1-b1-a2+b，]
因为当[x>0]时，[ex>x+1，]
所以[e1-b1-a>1-b1-a+1.]
所以有[f1-b1-a>1-b1-a21-a+b-1=0.]
从而有[f0f1-b1-a<0，]
故[fx]只有一个零点，且此零点为[1-b1-a，0.]
【评析】此题利用导数研究函数的单调性和零点个数，属于常规考法. 但从试题的呈现形式上看，这是一道结构不良试题，是高考中的一种新题型，在2020年高考山东卷中已经出现过，但此题型出现在函数与导数解答题的压轴位置还是第一次. 此题第（2）小题需要从两个不同条件中选择一个进行证明，事实上，它们的处理方法是类似的：结合第（1）小题中函数的单调性，借助零点存在性定理求解. 其难点在于取点. 一般取点采用的方法有两种：一是猜点，如取端点、特殊点;二是放缩取点，包括丢项放缩取点、变量放缩取点、不等式放缩取点等.
若选①：由于[x<0]时，[x-1 ex]一定是负值，所以要找一个小于0的点，使得函数值为负，只需将项[x-1 ex]丢掉，令[-ax2+b=0，] 取[x=-ba]即可. 此方法可称为“丢项放缩取点”.
若选②：当[x>0]时，要找一个大于0的点，使得函数值为正，借助不等式[ex>x+1 x>0，] 则有[fx=][x-1ex-ax2+b>x21-a+b-1.] 令[x21-a+b-1=0，]得[x=1-b1-a.] 所以取[x=1-b1-a.] 可以使得[f1-b1-a>0.] 此方法称为“不等式放缩取点”.
此外，在放缩时可选择的不等式不唯一，所以取点的方案也各不一样，这里不再赘述.
三、试题解法赏析
例12 （全国新高考Ⅰ卷·15）函数[fx=2x-1-][2lnx]的最小值为 .
解法1：由题意，得[fx=2x-1-2lnx]的定义域为[0，+∞.]
当[0<x≤12]时，[fx=1-2x-2lnx，] 此时[fx]单调递减;
当[12<x≤1]时，[fx=2x-1-2lnx，] 有[fx=][2-2x≤0，] 此时[fx]单调递减;
当[x>1]时，[fx=2x-1-2lnx，] 有[fx=2-][2x>0，] 此时[fx]单调递增;
因为[fx]在各分段的界点处连续，
所以当[0<x≤1]时，[fx]单调递减;当[x>1]时，[fx]单调递增.
所以[fx≥f1=1.]
故函数[fx]的最小值为1.
解法2：[fx=2x-1+1-2ln x≥2x-1+1-]
[2ln x，] 当且仅当[2x-1≥0]时取等号;
[fx=2x-1+1-2ln x≥2ln x+1-2ln x，] 当且仅当[x=1]时取等号.
故当[x=1]时，函数[fx]的最小值为1.
解法3：令[t=2x-1-2ln x，]
则[2x-1=t+2ln x，]
即曲线[y=2x-1]与曲线[y=t+2lnx]有交点.
考虑[y=2x-1]与曲线[y=t+2ln x]相切的情形：设切点为[m，ln m+t，] 则[2m=2，2lnm+t=2m-1，]
解得[m=1，t=1.]
所以曲线[y=2x-1]与曲线[y=t+2lnx]相切时，切点坐标为[1，1.]
当[t≥1]时，曲线[y=2x-1]与曲线[y=t+2lnx]有交点，
故函数[fx]的最小值为1.
例13 （全國新高考Ⅰ卷·7）若过点[a，b]可以作曲线[y=ex]的两条切线，则（ ）.
（A）[eb<a] （B）[ea<b]
（C）[0<a<eb] （D）[0<b<ea]
解法1：画出曲线[y=ex]的图象如图3所示，根据直观即可判定.
当点[a，b]在曲线[y=ex]的上方时，不存在切线过点[a，b;]
当点[a，b]在曲线[y=ex]的上时，只存在一条切线过点[a，b;]
当点[a，b]在x轴上或在x轴下方时，只存在一条切线过点[a，b;]
只有当点[a，b]在曲线[y=ex]的下方，且点[a，b]在x轴上方时，才可以作出两条切线过点[a，b.] 由此可知[0<b<ea].
故答案选D.
解法2：设切点为[x0，ex0，]
则切线斜率[k=ex0-bx0-a=ex0.]
则[ex0x0-a-1=-b.]
令[fx=exx-a-1，]
则[fx]与直线[y=-b]有两个交点.
由[fx=x-aex，]
易知[fx]在[-∞，a]上单调递减，在[a，+∞]上单调递增，
所以[fxmin=fa=-ea.]
如图4，结合[fx]的图象，
则[-ea<-b<0，]
即有[0<b<ea.]
故答案选D.
四、备考建议
1. 强“基”课堂不惜时
数学的基本概念、定义、公式、公理，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是高考备考的重点. 在基础知识与基本方法的梳理上，教师要舍得花时间，帮助学生扫清知识的盲区，形成函数主题的认知网络，强化知识间的联系与沟通，深刻理解知识的内涵.
2. 提“能”课堂不惜时
高考数学试题对学生的阅读能力、作图能力和运算能力提出了一定的要求，这些能力提升的空间应该在课堂上. 在课堂上，教师要少些包办，要提供给学生充分的时间进行阅读、作图、计算，要让审题形成一种规范，让作图成为学生的习惯，让运算能够进行到底，进而逐步提高学生解决问题的能力.
3. 促“悟”课堂不惜时
在高考复习中，往往会存在教师带领学生“刷题”的现象，认为这样能够迅速提高学生的解题能力. 其实不然，盲目刷题，时间越久效果越差，甚至适得其反. 因此，在高考备考过程中，教师要增加学生“悟”的机会和时间，建议教师在课堂教学中适当留白、适当停顿，让学生多些感悟、多些醒悟、多些顿悟.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.
[2]郭慧清. 2020年高考“函数与导数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：28-38，64.
[3]张文涛. 2020年高考“函数与导数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：39-47.