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摘 要：在数学学习中，不仅仅在注重雙基的同时，还应该结合具体的内容，让学生通过体验、观察，从而得到顿悟，通过身临其境的感触，从而提升发现问题、分析问题、解决问题的能力。
关键词：数学教学；顿悟思考；平方差公式
佛语有云：“困则不悟，悟则不困。”常用来形容某一位智者对某一事物的看法达到一定的高度与深度，超脱凡俗和一般人的风解，而格式塔心理学家的主要代表人物苛勒。通过对黑猩猩的学习问题的实践研究而提出来的。苛勒认为动物解决问题是一个顿悟的过程。他把学习解释为“知觉重组”或“认知重组”。而教学的顿悟是指学生在教学过程中，由于某一情境的激发而对某个环节，突然得到解决的思维过程。
那么人可能在瞬间开窍、顿悟吗？曾有著名作家史铁生曾在地坛中迷茫多年，在不断地观察地坛中来来往往的行人，在苦难中思考，才豁然开朗得到顿悟，找到了人生的真谛。同样，在教学中，想要开窍，一定要付出足够的努力：找到适合自己的方法，从而达到认识的一定高度，达到醍醐灌顶、茅塞顿开的感觉。在我们的日常教学中又该如何引发学生顿悟，达到高效课堂呢？我结合自己的教学实践与感悟，就平方差公式这节课，提出引发教学顿悟的五种方法：
一、 设计诱发性问题，引发顿悟，提升兴趣
教师在数学课堂上应更多的激发学生的兴趣。通过诱发性问题的设计，激发学生的兴趣，变“要我学”为“我要学”。通过情境让学生一方面想要解决问题，而另一方面，由于认识的不足，却又无法立即解决，从而引发认识冲突，产生强烈的求知欲。
案例1 平方差公式的引入
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块过长为a米的正方形地租给张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少10米，相邻一边增加10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何。”张老汉一听，觉得好像没有吃亏。就答应道：“好吧！”回到家中，他把这故事和邻居们一说，大家说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊。你知道张老汉是否吃亏吗？
二、 通过直觉观察、引发顿悟，从而强化理解
数学的直觉思维是指使一些抽象难懂的知识，通过观察、判断实现直觉思维与逻辑思维的有机统一。一方面可以帮助学生直接地理解数学，借助图形使得抽象的概念、算理、法则、公式变简明：另一方面也能培养学生利用几何直观发现问题、解决问题、简化思路，寻求个性的数学思考能力。
案例2 平方差的几何意义
就案例1的引入，要求学生自己动手画图，并剪下来动手拼一拼，让学生学会做数学。
在学生作图的基础上，要求将第二年增加的10为动手剪下来并拼一拼，拼得如下图形会发现相比校第一年少了一个边长为10米的正方形。第一年增少10为后边长为（a-10）相邻边增加10为（a 10）米，那面积就是（a-10）×（a 10）相比较原来的少了10×10平方米的正方形。那么张老汉第二年的租地面积就是a的平方减去10的平方。
三、 通过类比教学，引发顿悟，澄清混淆
类比则是根据多个对象之间的某些相同与相似，从而推其类比。从大量的具体例子和学生的实际经验出发，逐步归纳出其中的共性特征。学生在鲜明的对双中澄清对概念的模糊认识，是从特殊性到一般性的过程。在大胆的猜想中使学生更快地接受理解，掌握新知识，这往往能使与学生达到事半功倍的效果。
案例3 平方差公式的推导
请结合多项式与多项式相承法刚计算下面各题，你能发现什么规律吗？
（1） （x 1）（x-1）=
（2） （x 2）（x-2）=
（3） （x 3）（x-3）=
（4） （2x 1）（2x-1）=
（5） （-1-2x）（2x-1）=
（6） （-1-2x）（-2x 1）=
学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a b）（a-b）=a2-b2。
四、 自编自导，开拓思维，举一反三
学生结合自己对数学的理解，以及自己已有的知识水平，生活经验和思维水平进行自主编题并解答。这样既能让学生们产生兴趣，克服厌学和自卑心理，也能达到教学中的举一反三，加强教学的灵活性。学生自主编题就会有思考，有思考才会有思想，才能真正感悟到数学的本质和价值。也才能在创新意识上得到发展。引导学生善思好问，培养创新意识，形成用数学的眼光看世界，达到一题多变的目的。从而训练学生思维的发散性，有利于培养学生思维的广阔性与严密性。优化学生思维品质，体现学生研究数学的潜能。真正实现知识的互联、方法的迁移，思维的飞跃以及经验的提升。
案例4 学生自主编题
（1） （x a）（x-a）；（2） （m n）（m-n）；
（3） （a 3b）（a-3b）；（4） （1-5y）（1 5y）
（5） （3x-y）（3x y）
五、 剖析病题，引发顿悟，解疑解惑
纠错是学习中的一门艺术。学生能过对做题存在的错误，教师对关键点进行剖析，通过对知识和方法上的错误准确、深入分析并给出校正方法。对解题的关键，解题的技巧以及解题思路的纠正，从而使概念完整化、具体化。掌握所学知识体系，找到解题突破口，克服因思维定势造误用概念、性质或错误的推理得到错误结论。对他们易错而又意识不到的错误论进行剖析，使他们产生顿悟，深化思维。真正实现一种自我的超越。
案例5 平方差公式的易错点
（1） （b 2a）（2a-b）
（2） （-x 2y）（-x-2y）
（3） （a 2b 2c）（a 2b-2c）
通过对第（1），第（2）小题的剖析，加深学生对平方差公式的理解，都是两项与两项的乘积，且一项相同，一项相反。是用相同项的平方减去相反项的平方。第三小题让学生体会，在平方差公式中字母a、b不仅仅可以是单项式，也可以是多项式。
顿悟思维是培养学生创造力的重要思维。是在一定的知识基础上培养学生解决问题的良好方法，是提高教学，达到高效课堂的有效途径。让学生真正地成为学习的积极参与者，让他们在知识的形成过程中理解知识，在观察中学会观察，在体验、感受中产生顿悟，则对提高学生发现问题、分析和解决问题的能力，无疑是最好的办法。
参考文献：
[1]张琳.《数学课堂需关注“五爱”》[J].《中学数学杂志》，2014，第2期.
作者简介：
牛倩杰，甘肃省平凉市，甘肃省华亭县第二中学。
关键词：数学教学；顿悟思考；平方差公式
佛语有云：“困则不悟，悟则不困。”常用来形容某一位智者对某一事物的看法达到一定的高度与深度，超脱凡俗和一般人的风解，而格式塔心理学家的主要代表人物苛勒。通过对黑猩猩的学习问题的实践研究而提出来的。苛勒认为动物解决问题是一个顿悟的过程。他把学习解释为“知觉重组”或“认知重组”。而教学的顿悟是指学生在教学过程中，由于某一情境的激发而对某个环节，突然得到解决的思维过程。
那么人可能在瞬间开窍、顿悟吗？曾有著名作家史铁生曾在地坛中迷茫多年，在不断地观察地坛中来来往往的行人，在苦难中思考，才豁然开朗得到顿悟，找到了人生的真谛。同样，在教学中，想要开窍，一定要付出足够的努力：找到适合自己的方法，从而达到认识的一定高度，达到醍醐灌顶、茅塞顿开的感觉。在我们的日常教学中又该如何引发学生顿悟，达到高效课堂呢？我结合自己的教学实践与感悟，就平方差公式这节课，提出引发教学顿悟的五种方法：
一、 设计诱发性问题，引发顿悟，提升兴趣
教师在数学课堂上应更多的激发学生的兴趣。通过诱发性问题的设计，激发学生的兴趣，变“要我学”为“我要学”。通过情境让学生一方面想要解决问题，而另一方面，由于认识的不足，却又无法立即解决，从而引发认识冲突，产生强烈的求知欲。
案例1 平方差公式的引入
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块过长为a米的正方形地租给张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少10米，相邻一边增加10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何。”张老汉一听，觉得好像没有吃亏。就答应道：“好吧！”回到家中，他把这故事和邻居们一说，大家说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊。你知道张老汉是否吃亏吗？
二、 通过直觉观察、引发顿悟，从而强化理解
数学的直觉思维是指使一些抽象难懂的知识，通过观察、判断实现直觉思维与逻辑思维的有机统一。一方面可以帮助学生直接地理解数学，借助图形使得抽象的概念、算理、法则、公式变简明：另一方面也能培养学生利用几何直观发现问题、解决问题、简化思路，寻求个性的数学思考能力。
案例2 平方差的几何意义
就案例1的引入，要求学生自己动手画图，并剪下来动手拼一拼，让学生学会做数学。
在学生作图的基础上，要求将第二年增加的10为动手剪下来并拼一拼，拼得如下图形会发现相比校第一年少了一个边长为10米的正方形。第一年增少10为后边长为（a-10）相邻边增加10为（a 10）米，那面积就是（a-10）×（a 10）相比较原来的少了10×10平方米的正方形。那么张老汉第二年的租地面积就是a的平方减去10的平方。
三、 通过类比教学，引发顿悟，澄清混淆
类比则是根据多个对象之间的某些相同与相似，从而推其类比。从大量的具体例子和学生的实际经验出发，逐步归纳出其中的共性特征。学生在鲜明的对双中澄清对概念的模糊认识，是从特殊性到一般性的过程。在大胆的猜想中使学生更快地接受理解，掌握新知识，这往往能使与学生达到事半功倍的效果。
案例3 平方差公式的推导
请结合多项式与多项式相承法刚计算下面各题，你能发现什么规律吗？
（1） （x 1）（x-1）=
（2） （x 2）（x-2）=
（3） （x 3）（x-3）=
（4） （2x 1）（2x-1）=
（5） （-1-2x）（2x-1）=
（6） （-1-2x）（-2x 1）=
学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a b）（a-b）=a2-b2。
四、 自编自导，开拓思维，举一反三
学生结合自己对数学的理解，以及自己已有的知识水平，生活经验和思维水平进行自主编题并解答。这样既能让学生们产生兴趣，克服厌学和自卑心理，也能达到教学中的举一反三，加强教学的灵活性。学生自主编题就会有思考，有思考才会有思想，才能真正感悟到数学的本质和价值。也才能在创新意识上得到发展。引导学生善思好问，培养创新意识，形成用数学的眼光看世界，达到一题多变的目的。从而训练学生思维的发散性，有利于培养学生思维的广阔性与严密性。优化学生思维品质，体现学生研究数学的潜能。真正实现知识的互联、方法的迁移，思维的飞跃以及经验的提升。
案例4 学生自主编题
（1） （x a）（x-a）；（2） （m n）（m-n）；
（3） （a 3b）（a-3b）；（4） （1-5y）（1 5y）
（5） （3x-y）（3x y）
五、 剖析病题，引发顿悟，解疑解惑
纠错是学习中的一门艺术。学生能过对做题存在的错误，教师对关键点进行剖析，通过对知识和方法上的错误准确、深入分析并给出校正方法。对解题的关键，解题的技巧以及解题思路的纠正，从而使概念完整化、具体化。掌握所学知识体系，找到解题突破口，克服因思维定势造误用概念、性质或错误的推理得到错误结论。对他们易错而又意识不到的错误论进行剖析，使他们产生顿悟，深化思维。真正实现一种自我的超越。
案例5 平方差公式的易错点
（1） （b 2a）（2a-b）
（2） （-x 2y）（-x-2y）
（3） （a 2b 2c）（a 2b-2c）
通过对第（1），第（2）小题的剖析，加深学生对平方差公式的理解，都是两项与两项的乘积，且一项相同，一项相反。是用相同项的平方减去相反项的平方。第三小题让学生体会，在平方差公式中字母a、b不仅仅可以是单项式，也可以是多项式。
顿悟思维是培养学生创造力的重要思维。是在一定的知识基础上培养学生解决问题的良好方法，是提高教学，达到高效课堂的有效途径。让学生真正地成为学习的积极参与者，让他们在知识的形成过程中理解知识，在观察中学会观察，在体验、感受中产生顿悟，则对提高学生发现问题、分析和解决问题的能力，无疑是最好的办法。
参考文献：
[1]张琳.《数学课堂需关注“五爱”》[J].《中学数学杂志》，2014，第2期.
作者简介：
牛倩杰，甘肃省平凉市，甘肃省华亭县第二中学。