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摘要：导数是高等数学的基础、是高中数学学习的难点，理解函数在一点值的大小，是从求平均变化率值的大小开始，通过不断减小自变量的改变量，体会随着 的减小，（ 越来越趋近于定点 ）， 的值越来越趋近于某一确定的值，探究平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，感悟越来越趋近的思想方法和量变与质变的规律。
关键词：平均变化率 瞬时变化率 导数
一、教学的分析与处理
导数的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是微积分的核心概念之一，高中数学教材选修2-2通过从大量的物理，实际生活和几何等方面首先理解导数概念解决的问题及其解决的思想，通过丰富的感性认识，尽量淡化极限的语言对导数概念仅需形式化描述带来的困扰，在高中阶段利用极限的语言刻画导数的概念和讨论导数的运算法则是学生学习的难点，教材采用平均变化率到瞬时变化率进而认识导数，从变化率的角度重新认识平均速度概念，明确函数的平均变化率就是函数在某区间上的变化快慢的数量描述，而瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢，重点是平均速度到瞬时速度的过程的描述的理解，速度是我们在日常生活中经常用到的概念，除了物理学意义上的速度外，我们还用这个词刻画变化的快慢，在现实中我们所使用的往往是平均速度，也就是物体在一段时间内的大致运动状态，但是平均速度只能粗略描述物体的运动状态，比如一个物体从一点出发，经过10s又回到起点，那么它在这段时间内的平均速度为0，显然数字0不能精确地描述物体在这一过程中的动动状态，
下面通过一个数学模型认识平均变化率到瞬时变化率的变化过程，
二、导数的数学模型
高中数学选修2-2 第27页
例1一个小球从高空自由下落，其走过的路程S（单位：m）与时间t(单位：s)的函数关系为
S= g
其中，g为重力加速度（g=9.8m／ ）试估计小球在 =5s这个时刻的瞬时速度
教学中要遵循“创设问题情境—提出问题—分析问题—解决问题”的原则，帮助学生从实例中领悟什么是平均变化率、什么是瞬时变化率，通过创设问题情境，由学生发现平均变化率不能精确反映函数在某一点的变化情况，进而提出问题解决的方案，不断减少自变量的改变量，用平均变化率“逐渐”“逼近”函数在某一点的变化率，即瞬时变化率，同时体会随着 的减小， 的值越来越趋于稳定状态，从而建立瞬时速度可以用平均速度逼近的感觉，为了避免因复杂的计算淡化对瞬时变化率的理解可以采用逐渐逼近的方法感悟瞬时变化率的思想内涵，
我们也都能感觉到许多物体在不同时刻运动的快慢是不同的，因而它在不同时刻的速度是不同的，然而精确定义瞬时速度并不是一件容易的事，人类用了1000多年的时间解释“瞬间”刻画“瞬时速度”，最终伟大的物理学家、数学家牛顿点亮了思想明灯，实现了从近似到精确这一质的飞跃，建立起平均速度与瞬时速度间的本质联系，
为了叙述方便先介绍一个数学中常用的符号：
设s=f(t), 是数轴t上的一个定点，在数轴t上另取一点 ， 与 的差记为 ，即 或者
就表示从 到 自变量的改变量，相应地，函数的改变量记为 ，即
=f( + )－f( )
为了求瞬时速度，可以先求平均速度：当时间t从 变到 时，根据平均速度公式
= 可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度
= = =
如果时间间隔进一步的缩短，求5s到5 s这段时间内的小球的平均速度
再求5s这个时刻以后 秒内的平均速度
同理：
这样我们可以计算第5秒之后 秒内的平均速度
把前面的几个结果写出来就是一个数列：
、 、 、 、 、……
分析这一列数的变化变化趋势，分母越大分数的值越小，n 越大，（ 越来越接近于 ，即 趋于0，也就是 趋于0），如果n无限的增大， 将要变成0， 将要变成5g，这就是我们期待的那个瞬时速度。
从上面的分样也可以这样来计算第5秒的瞬时速度
即： 趋于0， 就趋于g 也就是第5秒的瞬时速度是49m/s
从上面的分析我们可以认识到，时间t是从第5秒这个时刻以后时刻逐渐趋近于第5秒求平均速度，这列不断变化的数将稳定在5g附近，同样可以验证，如果时间t从第5秒这个时刻的前一秒， 秒， 秒，…逐渐趋近于第5秒而求平均速度，这列不断变化的数也将稳定在5g附近，这更使我们相信小球在t=5秒时刻的瞬时速度是5g
在前面的问题中，我们通过减少自变量的改变量，然后用函数的改变量除以自变量的改变量得到商，然后令 ，这样所得到的结果就是函数在这一点的瞬时变化率
那么平均变化率与瞬时变化率的数学关系式
三、平均变化率与瞬时变化率（导数）的数学关系式
对于一般的函数y= f(x),在自变量 x从 变到 的过程中,若设 ， f（ f（ ，则函数在某一区间的平均变化率是；
=
如果避免极限用语可表述为；瞬时变化率就是平均变化率经过商的运算后，取自变量的改变量 为0时，平均变化率就是函数在 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处的变化的快慢
当 趋于 ，即 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在 点的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x在 点的导数，通常用符号 ， 函数在某一点的瞬时变化率的数学关系式是：
= =
瞬时变化率用语言表示：平均变化率的极限就是瞬时变化率，高中阶段可以这样表述：函数改变量与自变量改变量的商，然后取自变量的改变量为零，这样所得的结果就是函数在某一点的导数（瞬时变化率），函数在某一点的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，
参考文献：
1、北师大版高中数学选修2-2.
关键词：平均变化率 瞬时变化率 导数
一、教学的分析与处理
导数的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，导数概念是微积分的核心概念之一，高中数学教材选修2-2通过从大量的物理，实际生活和几何等方面首先理解导数概念解决的问题及其解决的思想，通过丰富的感性认识，尽量淡化极限的语言对导数概念仅需形式化描述带来的困扰，在高中阶段利用极限的语言刻画导数的概念和讨论导数的运算法则是学生学习的难点，教材采用平均变化率到瞬时变化率进而认识导数，从变化率的角度重新认识平均速度概念，明确函数的平均变化率就是函数在某区间上的变化快慢的数量描述，而瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢，重点是平均速度到瞬时速度的过程的描述的理解，速度是我们在日常生活中经常用到的概念，除了物理学意义上的速度外，我们还用这个词刻画变化的快慢，在现实中我们所使用的往往是平均速度，也就是物体在一段时间内的大致运动状态，但是平均速度只能粗略描述物体的运动状态，比如一个物体从一点出发，经过10s又回到起点，那么它在这段时间内的平均速度为0，显然数字0不能精确地描述物体在这一过程中的动动状态，
下面通过一个数学模型认识平均变化率到瞬时变化率的变化过程，
二、导数的数学模型
高中数学选修2-2 第27页
例1一个小球从高空自由下落，其走过的路程S（单位：m）与时间t(单位：s)的函数关系为
S= g
其中，g为重力加速度（g=9.8m／ ）试估计小球在 =5s这个时刻的瞬时速度
教学中要遵循“创设问题情境—提出问题—分析问题—解决问题”的原则，帮助学生从实例中领悟什么是平均变化率、什么是瞬时变化率，通过创设问题情境，由学生发现平均变化率不能精确反映函数在某一点的变化情况，进而提出问题解决的方案，不断减少自变量的改变量，用平均变化率“逐渐”“逼近”函数在某一点的变化率，即瞬时变化率，同时体会随着 的减小， 的值越来越趋于稳定状态，从而建立瞬时速度可以用平均速度逼近的感觉，为了避免因复杂的计算淡化对瞬时变化率的理解可以采用逐渐逼近的方法感悟瞬时变化率的思想内涵，
我们也都能感觉到许多物体在不同时刻运动的快慢是不同的，因而它在不同时刻的速度是不同的，然而精确定义瞬时速度并不是一件容易的事，人类用了1000多年的时间解释“瞬间”刻画“瞬时速度”，最终伟大的物理学家、数学家牛顿点亮了思想明灯，实现了从近似到精确这一质的飞跃，建立起平均速度与瞬时速度间的本质联系，
为了叙述方便先介绍一个数学中常用的符号：
设s=f(t), 是数轴t上的一个定点，在数轴t上另取一点 ， 与 的差记为 ，即 或者
就表示从 到 自变量的改变量，相应地，函数的改变量记为 ，即
=f( + )－f( )
为了求瞬时速度，可以先求平均速度：当时间t从 变到 时，根据平均速度公式
= 可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度
= = =
如果时间间隔进一步的缩短，求5s到5 s这段时间内的小球的平均速度
再求5s这个时刻以后 秒内的平均速度
同理：
这样我们可以计算第5秒之后 秒内的平均速度
把前面的几个结果写出来就是一个数列：
、 、 、 、 、……
分析这一列数的变化变化趋势，分母越大分数的值越小，n 越大，（ 越来越接近于 ，即 趋于0，也就是 趋于0），如果n无限的增大， 将要变成0， 将要变成5g，这就是我们期待的那个瞬时速度。
从上面的分样也可以这样来计算第5秒的瞬时速度
即： 趋于0， 就趋于g 也就是第5秒的瞬时速度是49m/s
从上面的分析我们可以认识到，时间t是从第5秒这个时刻以后时刻逐渐趋近于第5秒求平均速度，这列不断变化的数将稳定在5g附近，同样可以验证，如果时间t从第5秒这个时刻的前一秒， 秒， 秒，…逐渐趋近于第5秒而求平均速度，这列不断变化的数也将稳定在5g附近，这更使我们相信小球在t=5秒时刻的瞬时速度是5g
在前面的问题中，我们通过减少自变量的改变量，然后用函数的改变量除以自变量的改变量得到商，然后令 ，这样所得到的结果就是函数在这一点的瞬时变化率
那么平均变化率与瞬时变化率的数学关系式
三、平均变化率与瞬时变化率（导数）的数学关系式
对于一般的函数y= f(x),在自变量 x从 变到 的过程中,若设 ， f（ f（ ，则函数在某一区间的平均变化率是；
=
如果避免极限用语可表述为；瞬时变化率就是平均变化率经过商的运算后，取自变量的改变量 为0时，平均变化率就是函数在 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处的变化的快慢
当 趋于 ，即 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在 点的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x在 点的导数，通常用符号 ， 函数在某一点的瞬时变化率的数学关系式是：
= =
瞬时变化率用语言表示：平均变化率的极限就是瞬时变化率，高中阶段可以这样表述：函数改变量与自变量改变量的商，然后取自变量的改变量为零，这样所得的结果就是函数在某一点的导数（瞬时变化率），函数在某一点的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，
参考文献：
1、北师大版高中数学选修2-2.