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【摘要】对于两个集合的并集的冪集，有性质P（A）∪P（B）？哿P（A∪B）成立。本文给出该性质中取得“=”的充分必要条件，以及当不取“=”时并集合的幂集的一个表达公式。
【关键词】并集 幂集
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）35-0149-02
命题1 P（A）∪P（B）=P（A∪B）的充分必要条件是A、B具有子集关系（即A？哿B或B？哿A）
证明：充分性：当A、B具有子集关系时，不妨设A？哿B，则P（A）？哿P（B）。所以
P（A）∪P（B）=P（B）。又由A？哿B得A∪B=B，则P（A∪B）=P（B）。所以
P（A）∪P（B）=P（A∪B）成立。必要性：假设A、B不具有子集关系，易见此时A、B均非空，且A中至少有一个元素不在B中，以及B中也至少有一个元素不在A中。设a∈A，a？埸B，b∈B，b？埸A。则A={a，…}，B={b，…}，易见a≠b。
记A∪B={a，b…}。因为{a，b}？哿A∪B={a，b…}，所以{a，b}∈P（A∪B）。因为
P（A）∪P（B）=P（A∪B），故也有{a，b}∈P（A）∪P（B）。所以
{a，b}∈P（A），或{a，b}∈P（B），即{a，b}？哿A，或{a，b}？哿B。所以b∈A={a，…}或
a∈B={b，…}，这与b？埸A，a？埸B矛盾。所以假设不成立。因此A、B具有子集关系。
命题2：设C=A∪B，A、B不具有子集关系，
M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，
N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，以及A∩B的非空子集z3，使z=z1∪z2∪z3}则：P（A）∪P（B）∪M∪N=P（C）
证明 易见P（A），P（B），M，N都是P（C）的子集，所以
[P（A）∪P（B）∪M∪N]？哿P（C）。现在证P（C）？哿[P（A）∪P（B）∪M∪N]也成立。因A、B不具有子集关系，故易见此时A、B、A-B，B-A均非空。取？坌z∈P（C），则z？哿C。当z=？覫时，z∈P（A），z∈P（B）。所以z∈[P（A）∪P（B）∪M∪N]。当z≠？覫时，取？坌x∈z，这里z？哿C=A∪B=（A-B）∪（B-A）∪（A∩B）。所以x∈A-B或x∈B-A或x∈A∩B。下面对x所属的范围分类讨论。
I：当A∩B≠？覫时，此时易见N≠？覫。
①A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B
②A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A
③A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A∩B
④A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A），且z中既有A-B的元素，也有B-A的元素
⑤A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和A∩B这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（A∩B），且z中既有A-B的元素，也有A∩B的元素
⑥A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A和A∩B这两部分，即是说仅取自于（B-A）∪（A∩B），且z中既有B-A的元素，也有A∩B的元素
⑦A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A以及A∩B這三部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A）∪（A∩B），且z中既有B-A的元素，也有A-B的元素，还有A∩B的元素
II：当A∩B=？覫时，此时易见N=？覫。
①A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B
②A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A
③A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A），且z中既有A-B的元素，也有B-A的元素
对于I的①有z？哿A-B？哿A，所以z∈P（A），
对于I的②有z？哿B-A？哿B，所以z∈P（B），
对于I的③有z？哿A∩B？哿A，所以z∈P（A），
对于I的④有：
z∈M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，
对于I的⑤有z？哿（A-B）∪（A∩B）=A，所以z∈P（A），
对于I的⑥有z？哿（B-A）∪（A∩B）=M，所以z∈P（B），
对于I的⑦有：
z∈N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，以及A∩B的非空子集z3，使z=z1∪z2∪z3}，
对于II的①有z？哿A-B？哿A，所以z∈P（A），
对于II的②有z？哿B-A？哿B，所以z∈P（B），
对于II的③有
z∈M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，
综上，无论上述哪种情形，都有z∈P（A）或z∈P（B）或z∈M或z∈N成立。所以 z∈[P（A）∪P（B）∪M∪N]。这样P（C）？哿P（A）∪P（B）∪M∪N也成立。
所以P（A）∪P（B）∪M∪N=P（C）。
结论：
本文揭示了A，B，A∪B三者的幂集之间的内在联系。通过对这一问题的研究，加深了对集合幂集运算的了解。今后以此为基础，可进一步地研究集合的广义并、广义交与集合的幂集运算的关系，从而得到一些更为丰富的相关结果。
参考文献：
[1]戴牧民.公理集合论导引[M].科学出版社，2011
[2]董延闿.基础集合论[M]北京师范大学出版社，1988
[3]集合论初步（p.w.齐纳 r.l.约翰逊）[M].科学出版社，1986
【关键词】并集 幂集
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）35-0149-02
命题1 P（A）∪P（B）=P（A∪B）的充分必要条件是A、B具有子集关系（即A？哿B或B？哿A）
证明：充分性：当A、B具有子集关系时，不妨设A？哿B，则P（A）？哿P（B）。所以
P（A）∪P（B）=P（B）。又由A？哿B得A∪B=B，则P（A∪B）=P（B）。所以
P（A）∪P（B）=P（A∪B）成立。必要性：假设A、B不具有子集关系，易见此时A、B均非空，且A中至少有一个元素不在B中，以及B中也至少有一个元素不在A中。设a∈A，a？埸B，b∈B，b？埸A。则A={a，…}，B={b，…}，易见a≠b。
记A∪B={a，b…}。因为{a，b}？哿A∪B={a，b…}，所以{a，b}∈P（A∪B）。因为
P（A）∪P（B）=P（A∪B），故也有{a，b}∈P（A）∪P（B）。所以
{a，b}∈P（A），或{a，b}∈P（B），即{a，b}？哿A，或{a，b}？哿B。所以b∈A={a，…}或
a∈B={b，…}，这与b？埸A，a？埸B矛盾。所以假设不成立。因此A、B具有子集关系。
命题2：设C=A∪B，A、B不具有子集关系，
M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，
N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，以及A∩B的非空子集z3，使z=z1∪z2∪z3}则：P（A）∪P（B）∪M∪N=P（C）
证明 易见P（A），P（B），M，N都是P（C）的子集，所以
[P（A）∪P（B）∪M∪N]？哿P（C）。现在证P（C）？哿[P（A）∪P（B）∪M∪N]也成立。因A、B不具有子集关系，故易见此时A、B、A-B，B-A均非空。取？坌z∈P（C），则z？哿C。当z=？覫时，z∈P（A），z∈P（B）。所以z∈[P（A）∪P（B）∪M∪N]。当z≠？覫时，取？坌x∈z，这里z？哿C=A∪B=（A-B）∪（B-A）∪（A∩B）。所以x∈A-B或x∈B-A或x∈A∩B。下面对x所属的范围分类讨论。
I：当A∩B≠？覫时，此时易见N≠？覫。
①A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B
②A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A
③A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A∩B
④A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A），且z中既有A-B的元素，也有B-A的元素
⑤A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和A∩B这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（A∩B），且z中既有A-B的元素，也有A∩B的元素
⑥A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A和A∩B这两部分，即是说仅取自于（B-A）∪（A∩B），且z中既有B-A的元素，也有A∩B的元素
⑦A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A以及A∩B這三部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A）∪（A∩B），且z中既有B-A的元素，也有A-B的元素，还有A∩B的元素
II：当A∩B=？覫时，此时易见N=？覫。
①A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B
②A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于B-A
③A∪B的非空子集z中的元素x仅取自于A-B和B-A这两部分，即是说仅取自于（A-B）∪（B-A），且z中既有A-B的元素，也有B-A的元素
对于I的①有z？哿A-B？哿A，所以z∈P（A），
对于I的②有z？哿B-A？哿B，所以z∈P（B），
对于I的③有z？哿A∩B？哿A，所以z∈P（A），
对于I的④有：
z∈M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，
对于I的⑤有z？哿（A-B）∪（A∩B）=A，所以z∈P（A），
对于I的⑥有z？哿（B-A）∪（A∩B）=M，所以z∈P（B），
对于I的⑦有：
z∈N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，以及A∩B的非空子集z3，使z=z1∪z2∪z3}，
对于II的①有z？哿A-B？哿A，所以z∈P（A），
对于II的②有z？哿B-A？哿B，所以z∈P（B），
对于II的③有
z∈M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2，使z=z1∪z2}，
综上，无论上述哪种情形，都有z∈P（A）或z∈P（B）或z∈M或z∈N成立。所以 z∈[P（A）∪P（B）∪M∪N]。这样P（C）？哿P（A）∪P（B）∪M∪N也成立。
所以P（A）∪P（B）∪M∪N=P（C）。
结论：
本文揭示了A，B，A∪B三者的幂集之间的内在联系。通过对这一问题的研究，加深了对集合幂集运算的了解。今后以此为基础，可进一步地研究集合的广义并、广义交与集合的幂集运算的关系，从而得到一些更为丰富的相关结果。
参考文献：
[1]戴牧民.公理集合论导引[M].科学出版社，2011
[2]董延闿.基础集合论[M]北京师范大学出版社，1988
[3]集合论初步（p.w.齐纳 r.l.约翰逊）[M].科学出版社，1986