论文部分内容阅读
【摘要】利用两个函数不等式的关系求解参数的取值范围.
【关键词】函数；存在；任意；交点
在高考题或模拟题的压轴题中经常会出现含有参数的函数的题的求解及其变形的不等式,同学们往往感觉困难,其实只要对两个函数进行研究,就会发现它们的共同点.
对于高中数学在两个函数之间求解x，或则求解参数的范围问题，把它归类为以下几点，谨供参考.
（1）x∈(a,b)都有f（x）≥g（x）类型题
解 常用方法令F（x）=f（x）-g（x），求解F（x）的最小值大于等于0即可解决.
（2）x∈(a,b)，y=f（x）与y=g（x）有1，2或者3个等多个交点问题
解 常用方法令F（x）=f（x）-g（x），令F（x）=0，利用导数求F（x）的单调区间及极值即可求解.常用的变形为g（x）=a，从而转换为f（x）=a，又转化为前面类型题，很多是求解a的取值范围，又可转换为图像交点问题.
（3）x1,x2∈（a,b）都有f（x1）≥g（x2）类型题
解 这一类型题要和前面两个进行区别，x1,x2∈（a,b）与x∈(a,b)不同，此类型题常用方法为最值问题，利用f(x)min≥g(x)max.
（4）x1,x2∈（a,b）都有y=f（x）与y=g（x）有交点问题
此类题要和第（2）个加似区别，此类题应从图像方面下手，若y=f（x）与y=g（x）两个图像在区间内有单调性，可从图像入手找出等量：（f(x)max-g(x)min）（f(x)min-g(x)max）<0,若两个函数在（a,b）上不是单调函数，则应该从图像上入手解决. 【摘要】本文通过对日常教学工作发现的学生对利用导数解决问题的困惑点的总结归类，提出在导数解题的教学过程中应该讲透导数定义的理解与运用、复合函数的求导特点、曲线过某一点的切线、隐含于函数解析式的定义域、导数值等于零的自变量取值与极值点的关系、分类讨论的原则等问题，引导学生理清其中的内涵和外延，掌握知识的本质，利用正确的知识去解决问题，提升学生解决数学问题的能力、技巧.
【关键词】导数解题；易错；导数定义；复合函数；切线；定义域；极值点；分类讨论
随着新课程改革的强力推进，高考数学对导数的考查是其重要的特色之一.但学生在解有关导数的题目时，由于对基础知识掌握得不全面或对题目意思理解得不准确而造成错解的现象屡见不鲜.在解题教学中，只有将学生易错问题的原因讲透，帮助学生明白“为什么错，错在什么地方，怎么改正”，才能提高学生利用导数解决问题的能力.
结合高中数学新教材的内容和对学生解题实践的反思，学生常常出现以下几种错误，列举为例，引导我们进行导数解题教学.
易错点之一 导数的定义
在解决与导数定义有关的问题时，要关注定义中增量Δx的形式是多样的，但无论Δx选择哪一种形态，相应的Δy也必须作适当的变换，选择与Δx对应的形式，这样用整体代换的思想去理解增量，依据导数的定义解决问题.
例1 已知函数f(x)=-35x5-74x4+8，则当Δx无限趋近于0时，f(1+2Δx)-f(1)Δx=.
解 原式变形为f(1+2Δx)-f(1)Δx=2×f(1+2Δx)-f(1)2Δx.
当Δx→0时，2Δx→0.
又f′(x)=-3x4-7x3，
根据导数的定义有：原式=2f′(1)=-20.
注解 如果原式不变形，使Δy与Δx的结构对应，则可能会出现这样的错误，原式=f′(1)=-10.
易错点之二 复合函数的求导
复合函数求导，由于对复合函数的构成存在认识的误区，所以在求解导数时总是出现要么少对内层函数求导、要么对函数求导无从下手等情形.在解题过程中一定要分清楚函数是不是复合函数，外层函数是什么，内层函数是什么，求导的顺序是什么.
例2 已知函数f(x)=(1+cos2x)2，求f′(x).
解 设y=u2，u=1+cos2x，
则y′x=y′u•u′x=2u(1+cos2x)′=2u(-sin2x)(2x)′=-2u•sin2x•2（这里，容易漏掉对2x求导），所以f′(x)=-4sin2x(1+cos2x).
注解 复合函数的求导一般按以下三步进行：（1）选定中间变量，正确分解复合关系：y=f(u)，u=f(x)；（2）分步求导：y对u求导y′u，u对x求导u′x；（3）求y′uu′x，并将u用x的函数代回.整个过程体现“分解——求导——回代”的流程，其中特别需要注意：在中间变量对自变量的求导中，若自变量前面有系数，需同样视为复合过程进行求导.遇见多重复合的情形，需要相应地多次应用中间变量.
易错点之三 过某一点的曲线的切线
在求曲线过某一点的切线时，容易误认为该点就是切点.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，我们知道，当曲线是二次曲线时，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，但这种观点对一般的曲线不一定正确.
例3 已知曲线y=13x3+43，求曲线过点（2，4）的切线方程.
解 设曲线y=13x3+43与过点P（2，4）的切线相切于点Ax0，13x30+43，则切线的斜率k=x20.
∴切线方程为y-13x30+43=x20(x-x0)，
即y=x20x-23x30+43.
∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x20-23x30+43，
解方程得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
注解 在解决此类问题时，首先要分清问题是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.解决“过某点的切线”问题时，一般先设出切点的坐标，然后利用导数和直线斜率的计算式分别求出其切线的斜率，构造等式求出切点，或利用点在直线上，解决问题.“在某点处的切线”即该点就是切点.
易错点之四 隐含在解析式中函数的定义域
在处理将定义域隐含在解析式中的函数问题时，定义域被忽视具有很大的可能性，所以，我们在解决函数问题时，要牢牢记住“定义域优先原则”这句话，避免因为忽视定义域而造成解题错误.
例4 （2011年浙江文）设函数f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0，求f(x)的单调区间.
解 由题知x>0，
f′(x)=a2x-2x+a=-(x-a)(2x+a)x.
由于a>0，x>0，
(如果没有明确x的取值范围，那么此时f′(x)的符号不确定，就需要讨论，造成解题繁杂、错误.)
当x∈(0,a)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(0,a)单调递增；
当x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(a,+∞)单调递减.
注解 一般地，对于函数解析式如果没有含带偶次根式、指数式、对数式等自身对自变量有限制的式子，题目中又没有给出函数自变量的取值范围，通常就默认为是全体实数，如果含带偶次根式、指数式、对数式等自身对自变量有限制的式子，则需要根据这些限制来求出自变量的取值范围，而这个也是我们通常容易忽视的地方.
易错点之五 f′(x)=0与函数的极值点的关系
f′(x)=0是可导函数f(x)在x0处取得极值的“必要条件”，还是“充要条件”，在解题过程中常常被模糊使用，即若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点.这是错误观点.正确的理解是f′(x0)=0是x0为函数f(x)的极值点的“必要不充分条件”，即x0不一定是函数f(x)的极值点.x0是否为函数f(x)的极值点关键看x0的左右两边函数的单调性是否互异.
例5 （2011年安徽文）已知函数f(x)=ex1+43x2，求f(x)的极值点.
解 对f(x)求导，得f′(x)=ex•1+43x2-83x1+43x22.
若f′(x)=0，则4x2-8x+3=0，解得x1=33，x2=12.
f(x)↗极大值↘极小值↗
所以,x1=32是极小值点,x2=12是极大值点.
注解 由上表知，x1=32左边的导数符号为负，右边的导数符号为正，是互异的，所以x1=32是极小值点；x2=12 左边的导数符号为正，右边的导数符号为负，是互异的，所以x2=12是极大值点.
易错点之六 分类讨论
以导数为解题工具的函数问题，通常以恒成立问题、求参数范围问题、存在性问题等形式出现，而在解决这些问题的过程中，由于自变量或字母序数的取值范围不同，所得到的结果也不同，因此常常需要界定自变量或字母序数的取值范围，这就需要分类讨论.讨论谁，以什么样的标准讨论，成了解决问题的“拦路虎”.一般情况下，分类讨论的对象是引起式子取值特征变化的字母，分类的标准是以讨论对象引起式子取值特征变化的分界点为依据来决定的.
例6 （2011年北京文）已知函数f(x)=(x-k)ex.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）求f(x)在区间［0，1］上的最小值.
解 （1）f′(x)=(x-k+1)ex.
令f′(x)=0，得x=k-1.
f(x)与f′(x)的情况如下：
所以，f(x)的单调递减区间是（-∞,k-1），单调递增区间是(k-1,+∞).
（2）当k-1≤0，即k≤1时，函数f(x)在［0，1］上单调递增，所以f（x）在区间［0，1］上的最小值为f(0)=-k；
当0 当k-1=1，即k=2时，函数f(x)在［0，1］上单调递减，所以f(x)在区间［0，1］上的最小值为f(1)=(1-k)e.
综上所述：
当k≤1时，f（x）在区间［0，1］上的最小值为f(0)=-k；
当1 当k=2时，f(x)在区间［0，1］上的最小值为f(1)=(1-k)e.
注解 在第（2）问中由于k-1的取值范围不同，函数f(x)在［0，1］上的单调性不一样，所以分类讨论的对象选择k，再根据要分析的范围［0，1］来确定k的几种可能性进行分类讨论，得出最终结果.
（5）x0∈(a,b)有f（x0）>g（x0）类型题
此类题不同于上述四个类型在于而非，解决此类问题的方法一般有三种.
方法一 x∈（a,b）都有f(x)≤g(x),求解后求补集即可.
方法二 若g（x）>0，则可转化为不等式F（x）=f(x0)g(x0)>1求解.
方法三 等价于f(x)-g（x）的最大值大于0.
以上几个类型的题型，下面对其中几个典型的例子加以理解.
如，直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围为多少？此类型题可利用求导，再画出图像，利用两图像的交点就可以求解了.答案：-2 在此类型题中还可以变形为x3-3x-a=0有三个相异的根,求a的取值范围,或者讨论方程的根的情况,都是同一类型的题.
例1 (2007年重庆)已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.
(1)试确定a，b的值.
(2)讨论函数f(x)的单调区间.
(3)若对任意的x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范围.
此题（1）（2）是送分题，（3）是一个类型的题，只需求f(x)的最小值≥-2c2即可c≥32或者c≤-1.
例2 已知函数f(x)=ax2+2ax,g(x)=ex,若在（0，+∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）>g（x0）成立，求a的取值范围.
解 令F（x）=f(x)g(x)，∵g（x）>0，
∴F（x）=ax2+2axex，F′(x)=（-ax2+2a）1ex.
∴F（x）在x=2时取得极大值，即为最大值.
∴F（x）max=f(2)g(2)=2a+22ae2.
依题意要在（0，+∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）>g（x0）成立，
使F（x0）>1即可,即F(2)>1,即2a+22ae2>1.
∴a∈2-12e2，+∞.
这种题稍加一点变式为如下试题：已知f(x)=px-qx-2lnx,且f(e)=qe-pe-2.设g(x)=2ex，若在［1,e］上至少存在一点x0，使得f（x0）>g（x0）成立，求实数p的取值范围.（点评：两道题都是同一个类型，如果掌握上述解题方法，此类型题就可以解决了.）
上述几种类型只是简单列举了几个例子，其他的类型大家只要掌握理解上述五个类型就可以更好地解决此类型题.
【关键词】函数；存在；任意；交点
在高考题或模拟题的压轴题中经常会出现含有参数的函数的题的求解及其变形的不等式,同学们往往感觉困难,其实只要对两个函数进行研究,就会发现它们的共同点.
对于高中数学在两个函数之间求解x，或则求解参数的范围问题，把它归类为以下几点，谨供参考.
（1）x∈(a,b)都有f（x）≥g（x）类型题
解 常用方法令F（x）=f（x）-g（x），求解F（x）的最小值大于等于0即可解决.
（2）x∈(a,b)，y=f（x）与y=g（x）有1，2或者3个等多个交点问题
解 常用方法令F（x）=f（x）-g（x），令F（x）=0，利用导数求F（x）的单调区间及极值即可求解.常用的变形为g（x）=a，从而转换为f（x）=a，又转化为前面类型题，很多是求解a的取值范围，又可转换为图像交点问题.
（3）x1,x2∈（a,b）都有f（x1）≥g（x2）类型题
解 这一类型题要和前面两个进行区别，x1,x2∈（a,b）与x∈(a,b)不同，此类型题常用方法为最值问题，利用f(x)min≥g(x)max.
（4）x1,x2∈（a,b）都有y=f（x）与y=g（x）有交点问题
此类题要和第（2）个加似区别，此类题应从图像方面下手，若y=f（x）与y=g（x）两个图像在区间内有单调性，可从图像入手找出等量：（f(x)max-g(x)min）（f(x)min-g(x)max）<0,若两个函数在（a,b）上不是单调函数，则应该从图像上入手解决. 【摘要】本文通过对日常教学工作发现的学生对利用导数解决问题的困惑点的总结归类，提出在导数解题的教学过程中应该讲透导数定义的理解与运用、复合函数的求导特点、曲线过某一点的切线、隐含于函数解析式的定义域、导数值等于零的自变量取值与极值点的关系、分类讨论的原则等问题，引导学生理清其中的内涵和外延，掌握知识的本质，利用正确的知识去解决问题，提升学生解决数学问题的能力、技巧.
【关键词】导数解题；易错；导数定义；复合函数；切线；定义域；极值点；分类讨论
随着新课程改革的强力推进，高考数学对导数的考查是其重要的特色之一.但学生在解有关导数的题目时，由于对基础知识掌握得不全面或对题目意思理解得不准确而造成错解的现象屡见不鲜.在解题教学中，只有将学生易错问题的原因讲透，帮助学生明白“为什么错，错在什么地方，怎么改正”，才能提高学生利用导数解决问题的能力.
结合高中数学新教材的内容和对学生解题实践的反思，学生常常出现以下几种错误，列举为例，引导我们进行导数解题教学.
易错点之一 导数的定义
在解决与导数定义有关的问题时，要关注定义中增量Δx的形式是多样的，但无论Δx选择哪一种形态，相应的Δy也必须作适当的变换，选择与Δx对应的形式，这样用整体代换的思想去理解增量，依据导数的定义解决问题.
例1 已知函数f(x)=-35x5-74x4+8，则当Δx无限趋近于0时，f(1+2Δx)-f(1)Δx=.
解 原式变形为f(1+2Δx)-f(1)Δx=2×f(1+2Δx)-f(1)2Δx.
当Δx→0时，2Δx→0.
又f′(x)=-3x4-7x3，
根据导数的定义有：原式=2f′(1)=-20.
注解 如果原式不变形，使Δy与Δx的结构对应，则可能会出现这样的错误，原式=f′(1)=-10.
易错点之二 复合函数的求导
复合函数求导，由于对复合函数的构成存在认识的误区，所以在求解导数时总是出现要么少对内层函数求导、要么对函数求导无从下手等情形.在解题过程中一定要分清楚函数是不是复合函数，外层函数是什么，内层函数是什么，求导的顺序是什么.
例2 已知函数f(x)=(1+cos2x)2，求f′(x).
解 设y=u2，u=1+cos2x，
则y′x=y′u•u′x=2u(1+cos2x)′=2u(-sin2x)(2x)′=-2u•sin2x•2（这里，容易漏掉对2x求导），所以f′(x)=-4sin2x(1+cos2x).
注解 复合函数的求导一般按以下三步进行：（1）选定中间变量，正确分解复合关系：y=f(u)，u=f(x)；（2）分步求导：y对u求导y′u，u对x求导u′x；（3）求y′uu′x，并将u用x的函数代回.整个过程体现“分解——求导——回代”的流程，其中特别需要注意：在中间变量对自变量的求导中，若自变量前面有系数，需同样视为复合过程进行求导.遇见多重复合的情形，需要相应地多次应用中间变量.
易错点之三 过某一点的曲线的切线
在求曲线过某一点的切线时，容易误认为该点就是切点.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，我们知道，当曲线是二次曲线时，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，但这种观点对一般的曲线不一定正确.
例3 已知曲线y=13x3+43，求曲线过点（2，4）的切线方程.
解 设曲线y=13x3+43与过点P（2，4）的切线相切于点Ax0，13x30+43，则切线的斜率k=x20.
∴切线方程为y-13x30+43=x20(x-x0)，
即y=x20x-23x30+43.
∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x20-23x30+43，
解方程得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
注解 在解决此类问题时，首先要分清问题是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.解决“过某点的切线”问题时，一般先设出切点的坐标，然后利用导数和直线斜率的计算式分别求出其切线的斜率，构造等式求出切点，或利用点在直线上，解决问题.“在某点处的切线”即该点就是切点.
易错点之四 隐含在解析式中函数的定义域
在处理将定义域隐含在解析式中的函数问题时，定义域被忽视具有很大的可能性，所以，我们在解决函数问题时，要牢牢记住“定义域优先原则”这句话，避免因为忽视定义域而造成解题错误.
例4 （2011年浙江文）设函数f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0，求f(x)的单调区间.
解 由题知x>0，
f′(x)=a2x-2x+a=-(x-a)(2x+a)x.
由于a>0，x>0，
(如果没有明确x的取值范围，那么此时f′(x)的符号不确定，就需要讨论，造成解题繁杂、错误.)
当x∈(0,a)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(0,a)单调递增；
当x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(a,+∞)单调递减.
注解 一般地，对于函数解析式如果没有含带偶次根式、指数式、对数式等自身对自变量有限制的式子，题目中又没有给出函数自变量的取值范围，通常就默认为是全体实数，如果含带偶次根式、指数式、对数式等自身对自变量有限制的式子，则需要根据这些限制来求出自变量的取值范围，而这个也是我们通常容易忽视的地方.
易错点之五 f′(x)=0与函数的极值点的关系
f′(x)=0是可导函数f(x)在x0处取得极值的“必要条件”，还是“充要条件”，在解题过程中常常被模糊使用，即若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点.这是错误观点.正确的理解是f′(x0)=0是x0为函数f(x)的极值点的“必要不充分条件”，即x0不一定是函数f(x)的极值点.x0是否为函数f(x)的极值点关键看x0的左右两边函数的单调性是否互异.
例5 （2011年安徽文）已知函数f(x)=ex1+43x2，求f(x)的极值点.
解 对f(x)求导，得f′(x)=ex•1+43x2-83x1+43x22.
若f′(x)=0，则4x2-8x+3=0，解得x1=33，x2=12.
f(x)↗极大值↘极小值↗
所以,x1=32是极小值点,x2=12是极大值点.
注解 由上表知，x1=32左边的导数符号为负，右边的导数符号为正，是互异的，所以x1=32是极小值点；x2=12 左边的导数符号为正，右边的导数符号为负，是互异的，所以x2=12是极大值点.
易错点之六 分类讨论
以导数为解题工具的函数问题，通常以恒成立问题、求参数范围问题、存在性问题等形式出现，而在解决这些问题的过程中，由于自变量或字母序数的取值范围不同，所得到的结果也不同，因此常常需要界定自变量或字母序数的取值范围，这就需要分类讨论.讨论谁，以什么样的标准讨论，成了解决问题的“拦路虎”.一般情况下，分类讨论的对象是引起式子取值特征变化的字母，分类的标准是以讨论对象引起式子取值特征变化的分界点为依据来决定的.
例6 （2011年北京文）已知函数f(x)=(x-k)ex.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）求f(x)在区间［0，1］上的最小值.
解 （1）f′(x)=(x-k+1)ex.
令f′(x)=0，得x=k-1.
f(x)与f′(x)的情况如下：
所以，f(x)的单调递减区间是（-∞,k-1），单调递增区间是(k-1,+∞).
（2）当k-1≤0，即k≤1时，函数f(x)在［0，1］上单调递增，所以f（x）在区间［0，1］上的最小值为f(0)=-k；
当0
综上所述：
当k≤1时，f（x）在区间［0，1］上的最小值为f(0)=-k；
当1
注解 在第（2）问中由于k-1的取值范围不同，函数f(x)在［0，1］上的单调性不一样，所以分类讨论的对象选择k，再根据要分析的范围［0，1］来确定k的几种可能性进行分类讨论，得出最终结果.
（5）x0∈(a,b)有f（x0）>g（x0）类型题
此类题不同于上述四个类型在于而非，解决此类问题的方法一般有三种.
方法一 x∈（a,b）都有f(x)≤g(x),求解后求补集即可.
方法二 若g（x）>0，则可转化为不等式F（x）=f(x0)g(x0)>1求解.
方法三 等价于f(x)-g（x）的最大值大于0.
以上几个类型的题型，下面对其中几个典型的例子加以理解.
如，直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围为多少？此类型题可利用求导，再画出图像，利用两图像的交点就可以求解了.答案：-2
例1 (2007年重庆)已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.
(1)试确定a，b的值.
(2)讨论函数f(x)的单调区间.
(3)若对任意的x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范围.
此题（1）（2）是送分题，（3）是一个类型的题，只需求f(x)的最小值≥-2c2即可c≥32或者c≤-1.
例2 已知函数f(x)=ax2+2ax,g(x)=ex,若在（0，+∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）>g（x0）成立，求a的取值范围.
解 令F（x）=f(x)g(x)，∵g（x）>0，
∴F（x）=ax2+2axex，F′(x)=（-ax2+2a）1ex.
∴F（x）在x=2时取得极大值，即为最大值.
∴F（x）max=f(2)g(2)=2a+22ae2.
依题意要在（0，+∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）>g（x0）成立，
使F（x0）>1即可,即F(2)>1,即2a+22ae2>1.
∴a∈2-12e2，+∞.
这种题稍加一点变式为如下试题：已知f(x)=px-qx-2lnx,且f(e)=qe-pe-2.设g(x)=2ex，若在［1,e］上至少存在一点x0，使得f（x0）>g（x0）成立，求实数p的取值范围.（点评：两道题都是同一个类型，如果掌握上述解题方法，此类型题就可以解决了.）
上述几种类型只是简单列举了几个例子，其他的类型大家只要掌握理解上述五个类型就可以更好地解决此类型题.