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摘要：放缩法是不等式证明的一种重要思想. 本文主要讨论了在放缩过程中思路受阻时的四种应对策略：拆分放缩，修正放缩量，进行适度调整；适度限项放缩，纠正偏差；把握整体，进行适度放缩；转化视角，改变途径，进行有效放缩.通过对四种策略的探讨，加深对放缩法的理解，更进一步地掌握放缩法的精髓，提高解决问题的能力.
关键词：放缩；想法；适度
放缩法是不等式证明的一种重要思想，学生解题时，常常因为各种原因导致思路受阻. 在放缩过程中，要么放得过大，要么缩得过小，差之毫厘，谬之千里，如何放缩达到预证目标是问题最大的難点. 探讨采取何种策略、从何处切入、如何进行适度的调整，对于提高学生的解题能力十分重要.本文就此做一些探索.
拆分放缩，修正放缩量，进行适度调整
放缩量的多少直接影响我们能否达到预证目标，因此应如何控制放缩量呢？应该按照一定的规律和需求，调整“间距”，使放缩的量精细化，即将放大过头的量砍去，缩小过多的量补上，把握好火候.
例1 证明不等式<.
想法一怎么放缩？而且放缩后要可以求和.
回到题目中观察，利用<=－，不等式可化为<－+－+…+－=－<.
想法二 思路正确，结果是放得过大了.什么原因？实际上原来的分母（2k+3）2=4k2+12k+9被缩小成（2k+1）（2k+3）=4k2+8k+3，分母缩小太多——分母缩小了4k+6.
想法三 能不能满足既放大、又裂项的要求，而且不能放大得太多？有了！（2k+3）2>（2k+2）（2k+4），这样分母只缩小数量1.
于是<==－，问题得以解决.
适度限项放缩，纠正偏差
若每一项都放大或缩小一点点，累积起来就会放大或缩小很多，这将导致放缩结果出现偏差. 适度减少放缩的项，保留更多的项不被放缩，可以纠正偏差，逐步逼近预证目标.
例2 在数列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）.
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测｛an｝，｛bn｝的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：++…+<．
第1题解答过程略，得到a=n（n+1），bn=（n+1）2，下面证明第2题.
想法一 如果
===2－，那么，裂项成功，但不能相消.因为裂出来是2－+－+－+…+－，此时分母间隔1，不行；若间隔等于2，则可以相消.
想法二
==<=－. 此时，左边为－+－+…+－<，放过头了. 有没有调整的办法？有！放大的过程往后移一点.越是前面的项，放大时增大得越多. 原来的第一项从放大后成为. 鉴于这个道理，调整的办法可以从第二项开始放.于是 +－+－+…+－=+－<+=.
启示 从方法上来说，放缩过头可以进行如下调整：一，使分母不要放得太过；二，放的过程适当后移. 于是想法就产生了——过头是可以调整的.
把握整体，进行适度放缩
整体放缩，不仅能减少放缩的项数，还可以有效地调整放缩量的精确度，减少误差. 因此放缩的过程中要有强烈的目标意识和方向意识，围绕目标进行聚焦式尝试.
例3 已知｛an｝，an≥0，a1=0，a+an+1-1=a（n∈N*）． 记
Sn=a1+a2+…+an，Tn=++…+. 求证：当n∈N*时，（Ⅰ）ann－2；（Ⅲ）Tn<3.
第1、2小题略. 由（Ⅰ）得到数列是单调递增的. 下证第3小题.
想法 该怎么放缩？运用等差、等比、裂项、错位、倒序等方法中的哪一个进行求和？注意到分母的项数一点点多起来，且每一个括号内的数值一点点大起来，故可以运用等比数列进行放缩：
1+++…+<1+++…+==<==<3.
转化视角，改变途径，进行有效放缩
有时放缩很难控制，思维容易陷入困境，此时不妨审时度势，转化视角，变换思维的角度，改变放缩的途径和手段，利用数列的单调性等方法进行放缩，往往能收到柳暗花明之奇效.
例4 在数列｛an｝中，a1=6，an+1=an+1，在数列｛bn｝中，点（n，bn）在过点A（0，1）的直线l上，若l上两点B，C满足=（1，2）.
（Ⅰ）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数n，不等式－≤0恒成立，求正数a的取值范围.
想法第1小题解答过程略，得到an=n+5，bn=2n+1；以下对第2小题进行求解.
对已知不等式变形得到a≤，要使不等式恒成立，只需要a小于等于的最小值.
设g（n）=，由于=>1，故｛g（n）｝单调递增，则g（n）min=g（1）=，所以a∈0，.
启示 如果只有方法的话，学生只会对号入座.对得上号的会做；对不上号的就不会做. 于是在很多情况下，学生听得懂，做不来. 这需要教师认真剖析问题的根源在哪里，思考应如何解决. 只有让学生学会自己抓住问题的本质，找准问题的切入点，在整体的高度上审时度势，围绕目标进行积极的探索尝试，深度思考构建，学生的解题能力才能得到有效地提高.
关键词：放缩；想法；适度
放缩法是不等式证明的一种重要思想，学生解题时，常常因为各种原因导致思路受阻. 在放缩过程中，要么放得过大，要么缩得过小，差之毫厘，谬之千里，如何放缩达到预证目标是问题最大的難点. 探讨采取何种策略、从何处切入、如何进行适度的调整，对于提高学生的解题能力十分重要.本文就此做一些探索.
拆分放缩，修正放缩量，进行适度调整
放缩量的多少直接影响我们能否达到预证目标，因此应如何控制放缩量呢？应该按照一定的规律和需求，调整“间距”，使放缩的量精细化，即将放大过头的量砍去，缩小过多的量补上，把握好火候.
例1 证明不等式<.
想法一怎么放缩？而且放缩后要可以求和.
回到题目中观察，利用<=－，不等式可化为<－+－+…+－=－<.
想法二 思路正确，结果是放得过大了.什么原因？实际上原来的分母（2k+3）2=4k2+12k+9被缩小成（2k+1）（2k+3）=4k2+8k+3，分母缩小太多——分母缩小了4k+6.
想法三 能不能满足既放大、又裂项的要求，而且不能放大得太多？有了！（2k+3）2>（2k+2）（2k+4），这样分母只缩小数量1.
于是<==－，问题得以解决.
适度限项放缩，纠正偏差
若每一项都放大或缩小一点点，累积起来就会放大或缩小很多，这将导致放缩结果出现偏差. 适度减少放缩的项，保留更多的项不被放缩，可以纠正偏差，逐步逼近预证目标.
例2 在数列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）.
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测｛an｝，｛bn｝的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：++…+<．
第1题解答过程略，得到a=n（n+1），bn=（n+1）2，下面证明第2题.
想法一 如果
===2－，那么，裂项成功，但不能相消.因为裂出来是2－+－+－+…+－，此时分母间隔1，不行；若间隔等于2，则可以相消.
想法二
==<=－. 此时，左边为－+－+…+－<，放过头了. 有没有调整的办法？有！放大的过程往后移一点.越是前面的项，放大时增大得越多. 原来的第一项从放大后成为. 鉴于这个道理，调整的办法可以从第二项开始放.于是 +－+－+…+－=+－<+=.
启示 从方法上来说，放缩过头可以进行如下调整：一，使分母不要放得太过；二，放的过程适当后移. 于是想法就产生了——过头是可以调整的.
把握整体，进行适度放缩
整体放缩，不仅能减少放缩的项数，还可以有效地调整放缩量的精确度，减少误差. 因此放缩的过程中要有强烈的目标意识和方向意识，围绕目标进行聚焦式尝试.
例3 已知｛an｝，an≥0，a1=0，a+an+1-1=a（n∈N*）． 记
Sn=a1+a2+…+an，Tn=++…+. 求证：当n∈N*时，（Ⅰ）an
第1、2小题略. 由（Ⅰ）得到数列是单调递增的. 下证第3小题.
想法 该怎么放缩？运用等差、等比、裂项、错位、倒序等方法中的哪一个进行求和？注意到分母的项数一点点多起来，且每一个括号内的数值一点点大起来，故可以运用等比数列进行放缩：
1+++…+<1+++…+==<==<3.
转化视角，改变途径，进行有效放缩
有时放缩很难控制，思维容易陷入困境，此时不妨审时度势，转化视角，变换思维的角度，改变放缩的途径和手段，利用数列的单调性等方法进行放缩，往往能收到柳暗花明之奇效.
例4 在数列｛an｝中，a1=6，an+1=an+1，在数列｛bn｝中，点（n，bn）在过点A（0，1）的直线l上，若l上两点B，C满足=（1，2）.
（Ⅰ）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数n，不等式－≤0恒成立，求正数a的取值范围.
想法第1小题解答过程略，得到an=n+5，bn=2n+1；以下对第2小题进行求解.
对已知不等式变形得到a≤，要使不等式恒成立，只需要a小于等于的最小值.
设g（n）=，由于=>1，故｛g（n）｝单调递增，则g（n）min=g（1）=，所以a∈0，.
启示 如果只有方法的话，学生只会对号入座.对得上号的会做；对不上号的就不会做. 于是在很多情况下，学生听得懂，做不来. 这需要教师认真剖析问题的根源在哪里，思考应如何解决. 只有让学生学会自己抓住问题的本质，找准问题的切入点，在整体的高度上审时度势，围绕目标进行积极的探索尝试，深度思考构建，学生的解题能力才能得到有效地提高.