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摘要：
直齿锥齿轮齿面曲面求解是极具有挑战性的多项选择问题，针对这一问题，提出了一种基于齿面法矢量的直齿锥齿轮齿面曲面求解方法.通过求解齿面曲面法矢量的方向角和齿面曲面的法线长，可直接求解直齿锥齿轮齿面曲面.该方法是一种通用的求解方法，可求解任意一种齿面曲面，为直齿锥齿轮齿面的主动设计和三维造型提供了一种新途径和新方法.
关键词：
直齿锥齿轮； 齿面曲面； 渐开线； 齿面法矢量； 坐标变换
中图分类号： TH 132.4文献标志码： A文章编号： 1000-5137（2017）04-0567-04
Abstract：
Tooth surface generation and design of bevel gears is a challenging and multi-choice problem.A normal vector based method is established to describe the geometries of tooth surfaces of straight bevel gears.The normal vector of the tooth surfaces is introduced to characterize this method.The normal vector including the direction angles and modulus of the vector is solved firstly and then the corresponding tooth surfaces could be generated and analyzed directly，logically and systematically by using the normal vector.This new method is applicable to all types of straight bevel gears with different forms of tooth profiles including spherical involute tooth profiles or other tooth profiles.It provides a new way and method of solid modeling of tooth of straight bevel gears.
Key words：
straight bevel gear； tooth surface； involute； normal vector of tooth surface； coordinate transformation
直齿锥齿主要用来传递垂直相交轴间的运动和动力，多用在低速静载的场合.广泛应用于汽车、飞机、农业和建筑机械等各种机械中，在机械行业中占有重要的地位[1].
目前有关锥齿轮啮合理论方面的研究主要集中在渐开线齿廓和圆弧齿廓齿面曲面的求解及其几何特性研究.Huston等[2-4]推导出了对数螺旋和圆弧螺旋锥齿轮的齿面曲面方程.Litvin[5]和Tsai等[6]根据齿轮啮合原理和球面渐开线的几何特性，给出了球面渐开線齿廓直齿和螺旋锥齿轮的齿面曲面.Al-Daccak等[7]应用扫描技术建立了球面渐开线齿廓的直齿锥齿轮和螺旋锥齿轮的三维模型.Shunmugam等[8]采用齿面包洛面切平面的概念，给出了球面渐开线齿廓的直齿和螺旋锥齿轮的齿面曲面及其等距曲面.
锥齿轮技术发展到今天，仍采用渐开线或圆弧曲线作齿廓生成的齿面曲面，其他形式齿面曲面的锥齿轮应用不广，相关的研究报道也很少.如何主动求解任意一种锥齿轮的齿面曲面极具挑战性.本文作者提出了一种基于齿面法矢量的直齿锥齿轮齿面曲面通用求解方法，应用该方法可求解任意一种齿面曲面，为直齿锥齿轮齿面的主动设计和三维造型提供了一种新途径和新方法.
1齿面法矢量
这里系数a0，a1，a2，a3为常数.
设齿轮的锥角为δ=5π/36，齿数z=18.令a0=0.349，a1=a2=a3=0，得到常数方向角函数β=0.349.令a0=0.349，a1=0.01，a2=a3=0，或a0=0.349，a2=0.3，a1=a3=0，得到线性角位置函数β=0.349+0.3φ和线性轴向位置函数β=0.349+0.01u.图5为二元多项式直齿锥齿轮，从图5中可以看出，方向角函数β（φ，u）不同，锥齿轮轮齿的形状不同.换句话说，改变方向角函数β（φ，u），可以得到不同的齿轮齿面曲面，也就是可以主动设计出不同的直齿锥齿轮.
4结论
提出了一种基于齿面法矢量求解直齿锥齿轮齿面曲面的新方法，通过给定齿面法线长l与两个基本参变量φ、u之间的函数关系，或者法矢量方向角β（或λ）与参变量φ、u之间的函数关系，可以直接求解直齿锥齿轮齿面曲面.作为一种通用的求解方法，该方法不仅可以用来求解渐开线齿廓直齿锥齿轮齿面曲面，还可以求解其他齿廓曲线直齿锥齿轮齿面曲面，为直齿锥齿轮齿面的主动设计和三维造型提供了一种新途径和新方法.
参考文献：
[1]Kolivand M，Ligata H，Steyer G，et al.Actual tooth contact analysis of straight bevel gears [J].Journal of Mechanical Design，2016，137（9）：093302.
[2]Huston R L，Coy J J.Ideal spiral bevel gears-a new approach to surface geometry [J].Journal of Mechanical Design，1981，103（1）：127-133. [3]Huston R L，Coy J J.Surface geometry of circular cut spiral bevel gears [J].Journal of Mechanical Design，1982，104（4）：743-748.
[4]Huston R L，Lin Y，Coy J J.Tooth profile analysis of circular-cut，spiral-bevel gears [J].Journal of Mechanical Design，1983，105：132-137.
[5]Litvin F L.Gear geometry and applied theory [M].New York：Prentice Hall，1994.
[6]Tsai Y C，Chin P C.Surface geometry of straight and spiral bevel gears [J].Journal of Mechanism Transmission Automation Design，1987，109：443-449.
[7]Al-Daccak M J.Angeles J，Gonzalez-Palacios M A.The modeling of bevel gears using the exact spherical involute [J].Journal of Mechanical Design，1994，116：364-368.
[8]Shunmugam M S.Subba-Rao B，Jayaprakash V.Establishing gear tooth surface geometry and normal deviation，Part II-bevel gears [J].Mechanism Machine Theory，1998，33（5）：525-534.
[9]Buckingham E.A analytical mechanics of gears [M].New York：Dover Publications，2011.
[10]Dooner D B.Kinematic geometry of gearing [M].New York：Wiley，2012.
（責任编辑：包震宇）
直齿锥齿轮齿面曲面求解是极具有挑战性的多项选择问题，针对这一问题，提出了一种基于齿面法矢量的直齿锥齿轮齿面曲面求解方法.通过求解齿面曲面法矢量的方向角和齿面曲面的法线长，可直接求解直齿锥齿轮齿面曲面.该方法是一种通用的求解方法，可求解任意一种齿面曲面，为直齿锥齿轮齿面的主动设计和三维造型提供了一种新途径和新方法.
关键词：
直齿锥齿轮； 齿面曲面； 渐开线； 齿面法矢量； 坐标变换
中图分类号： TH 132.4文献标志码： A文章编号： 1000-5137（2017）04-0567-04
Abstract：
Tooth surface generation and design of bevel gears is a challenging and multi-choice problem.A normal vector based method is established to describe the geometries of tooth surfaces of straight bevel gears.The normal vector of the tooth surfaces is introduced to characterize this method.The normal vector including the direction angles and modulus of the vector is solved firstly and then the corresponding tooth surfaces could be generated and analyzed directly，logically and systematically by using the normal vector.This new method is applicable to all types of straight bevel gears with different forms of tooth profiles including spherical involute tooth profiles or other tooth profiles.It provides a new way and method of solid modeling of tooth of straight bevel gears.
Key words：
straight bevel gear； tooth surface； involute； normal vector of tooth surface； coordinate transformation
直齿锥齿主要用来传递垂直相交轴间的运动和动力，多用在低速静载的场合.广泛应用于汽车、飞机、农业和建筑机械等各种机械中，在机械行业中占有重要的地位[1].
目前有关锥齿轮啮合理论方面的研究主要集中在渐开线齿廓和圆弧齿廓齿面曲面的求解及其几何特性研究.Huston等[2-4]推导出了对数螺旋和圆弧螺旋锥齿轮的齿面曲面方程.Litvin[5]和Tsai等[6]根据齿轮啮合原理和球面渐开线的几何特性，给出了球面渐开線齿廓直齿和螺旋锥齿轮的齿面曲面.Al-Daccak等[7]应用扫描技术建立了球面渐开线齿廓的直齿锥齿轮和螺旋锥齿轮的三维模型.Shunmugam等[8]采用齿面包洛面切平面的概念，给出了球面渐开线齿廓的直齿和螺旋锥齿轮的齿面曲面及其等距曲面.
锥齿轮技术发展到今天，仍采用渐开线或圆弧曲线作齿廓生成的齿面曲面，其他形式齿面曲面的锥齿轮应用不广，相关的研究报道也很少.如何主动求解任意一种锥齿轮的齿面曲面极具挑战性.本文作者提出了一种基于齿面法矢量的直齿锥齿轮齿面曲面通用求解方法，应用该方法可求解任意一种齿面曲面，为直齿锥齿轮齿面的主动设计和三维造型提供了一种新途径和新方法.
1齿面法矢量
这里系数a0，a1，a2，a3为常数.
设齿轮的锥角为δ=5π/36，齿数z=18.令a0=0.349，a1=a2=a3=0，得到常数方向角函数β=0.349.令a0=0.349，a1=0.01，a2=a3=0，或a0=0.349，a2=0.3，a1=a3=0，得到线性角位置函数β=0.349+0.3φ和线性轴向位置函数β=0.349+0.01u.图5为二元多项式直齿锥齿轮，从图5中可以看出，方向角函数β（φ，u）不同，锥齿轮轮齿的形状不同.换句话说，改变方向角函数β（φ，u），可以得到不同的齿轮齿面曲面，也就是可以主动设计出不同的直齿锥齿轮.
4结论
提出了一种基于齿面法矢量求解直齿锥齿轮齿面曲面的新方法，通过给定齿面法线长l与两个基本参变量φ、u之间的函数关系，或者法矢量方向角β（或λ）与参变量φ、u之间的函数关系，可以直接求解直齿锥齿轮齿面曲面.作为一种通用的求解方法，该方法不仅可以用来求解渐开线齿廓直齿锥齿轮齿面曲面，还可以求解其他齿廓曲线直齿锥齿轮齿面曲面，为直齿锥齿轮齿面的主动设计和三维造型提供了一种新途径和新方法.
参考文献：
[1]Kolivand M，Ligata H，Steyer G，et al.Actual tooth contact analysis of straight bevel gears [J].Journal of Mechanical Design，2016，137（9）：093302.
[2]Huston R L，Coy J J.Ideal spiral bevel gears-a new approach to surface geometry [J].Journal of Mechanical Design，1981，103（1）：127-133. [3]Huston R L，Coy J J.Surface geometry of circular cut spiral bevel gears [J].Journal of Mechanical Design，1982，104（4）：743-748.
[4]Huston R L，Lin Y，Coy J J.Tooth profile analysis of circular-cut，spiral-bevel gears [J].Journal of Mechanical Design，1983，105：132-137.
[5]Litvin F L.Gear geometry and applied theory [M].New York：Prentice Hall，1994.
[6]Tsai Y C，Chin P C.Surface geometry of straight and spiral bevel gears [J].Journal of Mechanism Transmission Automation Design，1987，109：443-449.
[7]Al-Daccak M J.Angeles J，Gonzalez-Palacios M A.The modeling of bevel gears using the exact spherical involute [J].Journal of Mechanical Design，1994，116：364-368.
[8]Shunmugam M S.Subba-Rao B，Jayaprakash V.Establishing gear tooth surface geometry and normal deviation，Part II-bevel gears [J].Mechanism Machine Theory，1998，33（5）：525-534.
[9]Buckingham E.A analytical mechanics of gears [M].New York：Dover Publications，2011.
[10]Dooner D B.Kinematic geometry of gearing [M].New York：Wiley，2012.
（責任编辑：包震宇）