《中学数学杂志》（初中）２００８年第４期刊载的“几个几何定理的纯几何证明”［１］一文，给出了四个定理的几何证明，读来确感浅显、别致，但仍觉繁琐冗长. 笔者经过深入思考、探究，给出另外的证法，同时又推出了一些新的结论，并进一步和原文中的定理整合为两个定理，更显构思精巧、结构紧凑、简洁明了，现介绍之，供读者参考.
　　定理１ 已知，如图１，在以ＡＢ为直径的半圆中，正方形ＣＤＥＦ内接于半圆，正方形ＣＧＨＫ内接于△ＢＣＦ，且边ＣＧ在ＡＢ上，ＤＥ交ＢＦ于Ｍ，求证：（1）ＡＣ ＝ ＣＧ．
　　（２）△ＦＫＨ ≌ △ＭＤＢ．
　　（3）S正方形CDEF = S正方形CGHK+2S△BGH．
　　（4）Ｇ是ＣＤ的黄金分割点．
　　分析 （1）为方便起见，设正方形ＣＤＥＦ的边长为ｂ，正方形ＣＧＨＫ的边长为ａ，ＡＣ ＝ ｘ， 连接ＡＦ，易证 △ＡＣＦ ≌ △ＭＥＦ，可得ＭＥ ＝ ＡＣ ＝ ｘ， 由对称性知，ＢＤ ＝ ＡＣ ＝ ｘ， 根据△ＦＫＨ ∽ △ＭＤＢ，所以ｂｘ － ａｘ ＝ ｂａ － ａｘ，ｂｘ ＝ ｂａ，而 ｂ ≠ ０，得ｘ ＝ ａ ，即ＡＣ ＝ ＣＧ．
　　（２）由△ＦＫＨ ∽ △ＭＤＢ和ａ ＝ ｘ立得．
　　（３）由（２）知，△ＦＫＨ ≌ △ＭＤＢ . 通过 ａ ＝ ｘ，易得 △ＢＧＨ ≌ △ＥＦＭ， 所以
　　Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ Ｓ正方形ＣＧＨＫ ＋ Ｓ△ＥＦＭ ＋ Ｓ梯形ＭＨＧＤ ＋ Ｓ△ＦＫＨ
　　＝Ｓ正方形ＣＧＨＫ ＋ Ｓ△ＢＧＨ ＋ Ｓ梯形ＭＨＧＤ ＋ Ｓ△ＭＤＢ ＝ Ｓ正文形ＣＧＨＫ ＋ Ｓ△ＢＧＨ ＋ Ｓ△ＢＧＨ ＝ Ｓ正方形ＣＧＨＫ ＋ ２Ｓ△ＢＧＨ（此结论也可为Ｓ正方形ＣＤＥＦ
　　＝ Ｓ正方形ＣＧＨＫ ＋ ２Ｓ△ＥＦＭ）．
　　（４）由射影定理ＦＣ２ ＝ ＡＣ·ＢＣ 和ＡＣ ＝ ａ，可得ｂ２ ＝ ａ（ａ ＋ ｂ）， 所以ａ２ ＝ ｂ（ｂ － ａ），即ＣＧ２ ＝ ＣＤ·ＧＤ， 所以 Ｇ是ＣＤ的黄金分割点. （图中还有若干黄金分割点，如Ｃ是ＡＤ的黄金分割点，Ｈ是ＦＭ的黄金分割点等留给读者思考. ）
　　定理２ 已知，如图２，在以ＡＢ为直径的半圆中，正方形ＣＤＥＦ内接于半圆，正方形ＧＨＫＮ内接于△ＢＣＦ，且ＨＫ在边ＢＦ上，Ｇ，Ｎ分别在ＡＢ和ＣＦ上，ＤＥ交ＢＦ于Ｍ，求证：
　　（1）点Ｇ是半圆的圆心.
　　（2）S正方形CDEF = 2S正方形GHKN + S△EFM.
　　（3）ＦＭ ＝ ２ＫＨ.
　　分析 （１）设正方形ＣＤＥＦ的边长为ｂ，正方形ＧＨＫＮ的边长为ａ，ＡＣ ＝ ｘ． 由定理１的分析可方法二 如图２，在ＨＫ上取一点Ｐ，使ＰＫ ＝ ＦＫ，显然 △ＰＫＮ ≌ △ＦＫＮ，过Ｇ作ＧＱ⊥ＮＰ，Ｑ为垂足，易证 △ＧＱＮ ≌ △ＧＣＮ， 连接ＨＱ，ＨＤ， 亦可证 △ＧＱＨ ≌ △ＧＤＨ， 进一步可得△ＰＱH ≌ △ＭＤＨ，
　　∴ S正方形GHKN = S△FKN + S△GCN + S△GDH + S△MDH，
　　∴ S正方形CDEF = 2S正方形GHKN + S△EFM .
　　此方法将正方形ＧＨＫＮ分割成四个三角形与其周围的三角形建立联系，展现了巧妙的图形分割的几何解题技巧.
　　（3）由（２）中方法二的推理即可得出ＦＭ ＝ ２ＫＨ. 也可以连接ＭＧ并延长与ＦＣ的延长线交于Ｒ（如图２），由Ｇ是ＣＤ的中点，可推出Ｇ是ＭＲ的中点，进一步易得ＮＧ是△ＲＭＦ的中位线，所以，ＦＭ ＝ ２ＮＧ，即得ＦＭ ＝ ２ＫＨ.
　　
　　【参考文献】
　　［１］令标 ．几个几何定理的纯几何证明． 中学数学杂志（初中）.２００８（４）.