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在不等式求最小值中,常数“1”的魅力非常的大,通过“1”的中介,可以帮助避免误区,获得成功.
一 “1”在整体中的应用
例:已知且,求的最小值.
解 常见误区:
的最小值是12
误区分析:时,当时,取得等号;又因为取到等号时既;出现与的矛盾
正确突击:
= == =16
当时,既时取到等号,
因为m+n=1,所以m+3m=1,故时,的最小值是16。
二 把分子换成“1”
例:已知且,求的最小值.
解:常见误区:
误区分析:时,當既取到等号,又因为时,当,既时取到等号,与矛盾.
正确突击:
==
==5+4=9,
当,既时,的最小值是9
三 在待求式中应用“1”
例:若,求的最小值.
解 常见误区:
误区分析:要使取到等号,所以既时;但由时取到等号,所以既时取到等号;所以与不能同时取到等号.
正确突击:
当,既,时的最小值是
实战沙场:
1、已知且,求的最小值.(参考答案:时;的最小值是9)
2、已知且,求的最小值.(参考答案:时;的最小值是25)
3、已知的等差中项为且,求的最小值.(参考答案:5)
4、设,若是与的等比中项,求的最小值.(参考答案:)
5、若,求的最小值.(参考答案:)
一 “1”在整体中的应用
例:已知且,求的最小值.
解 常见误区:
的最小值是12
误区分析:时,当时,取得等号;又因为取到等号时既;出现与的矛盾
正确突击:
= == =16
当时,既时取到等号,
因为m+n=1,所以m+3m=1,故时,的最小值是16。
二 把分子换成“1”
例:已知且,求的最小值.
解:常见误区:
误区分析:时,當既取到等号,又因为时,当,既时取到等号,与矛盾.
正确突击:
==
==5+4=9,
当,既时,的最小值是9
三 在待求式中应用“1”
例:若,求的最小值.
解 常见误区:
误区分析:要使取到等号,所以既时;但由时取到等号,所以既时取到等号;所以与不能同时取到等号.
正确突击:
当,既,时的最小值是
实战沙场:
1、已知且,求的最小值.(参考答案:时;的最小值是9)
2、已知且,求的最小值.(参考答案:时;的最小值是25)
3、已知的等差中项为且,求的最小值.(参考答案:5)
4、设,若是与的等比中项,求的最小值.(参考答案:)
5、若,求的最小值.(参考答案:)