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摘 要函數是高中数学的基础，也是学习的难点。函数对称性是函数的基本性质，是高考数学常考的知识点，由于题型变化比较多，所以很多学生在做这一类考题的时候，往往没有仔细审题，导致题目出错，成为丢分比较多的题目。本文主要分析了函数自身以及两个函数图像互对称问题，希望能给大家在解题的时候提供一点启示，提高大家解答函数题目的正确率。
【关键词】函数图像；对称性问题；两种对称
函数图像对称问题是高中函数体系重要的内容，函数图像对称可以分成两类：一类是同一个函数图像自身的对称性，另外一类是两个不同函数之间的对称性。函数对称性往往很容易将问题解决，从而快速得到答案，函数的对称关系体现了数学之美。但是函数自身的对称轴和对称中心与两个函数图像关于某直线对称有着本质区别，在答题的时候，大家很容易混淆两者之间的区别，导致答题思路上出现偏差，本文就这两个问题的区别进行了谈论，希望给大家的解题提供一些参考建议。
1 函数自身对称性
例题1：将a、b设为常数，函数y=f（x），函数的x满足f（a+x）=f（b-x），那么函数y=f（x）图像关于直线
x=对称。那么推论1则是直角坐标系中，f（a+x）=f（a-x）的函数图像y=f（x）关于直线x=a对称。推论2，在满足f（a-x）=f（x-a）的函数图像关于直线x=0对称。如果函数的定义域为R，那么x能满足f（x+2）=f（2-x），f=（x+7）=f（7-x）。如果x∈[2，7]，那么f（x）=（x-2）2，如果x∈[16，20]，那么g（x）=2x-f（x）函数表达式是什么？
解答：从上述题目中，得到已知条件f（x+2）=f（2-x），f=（x+7）=f（7-x），函数y=f（x）图像关于直线x=2和x=7对称，那么可以得到：
f（x）=f[（x-2）+2]=f[2-（x-2）]=f（4-x）=f[7-（3+x）]=f[7+（x+3）]=f（x+10）
如果x∈[16，17]，那么x-10∈[6，7]，那么可以得到f（x）=f（x-10）=（x-10-2）2=（x-12）2
如果x∈[17，20]，那么x-20∈[-3，0]，4-（x-20）∈[4，7]
所以得到f（x）=f（x-20）=f[4-（x-20）]=[4-（x-20）-2]2=（x-22）2
那么函数g（x）=2x-（x-12）2（16≤x≤17）或者2x-（x-22）2（16≤x≤17）
例题2 ： y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的函数图像与x轴有一个交点，那么x轴与直线ωx+?=kπ+π（k∈Z）的中心对称图形是？
解题思路：
根据上述题目的已知条件，得到函数y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的对称中心，那么只要让ɑtan（ωx+?）=0或者ɑtan（ωx+?）没有任何意义，那么就可以得到ωx+?=kπ或者ωx+?=kπ+π（k∈Z），那么得到了点
（，0）（k∈Z），点（，0）（k∈Z）就是函数y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的图像对称中心。如果点（x=x0）是函数y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）图像的对称中心，如果x=x0则y=0或者y不存在。三角函数的对称性其实是有一定的规律性，为了帮助大家快速掌握函数的对称性，对函数几种常见的三角函数进行总结，具体如下表：
函数 对称中心坐标 对称轴方程
y=sinx （kπ，0） X=kπ+π
y=cosx （kπ+π，0） X=kπ
y=tanx （kπ，0） 无
注：表中的k∈Z
为了提高解题速度，在遇到正切或者余切等函数的时候，可以用这种比较简便的方法，对照表中的公式，快速找到函数的对称中心坐标和对称轴方程，这样省去了做题的时间，而且有利于提高做题的正确率。
2 两个函数对称性问题
例题1：函数y=f（x），那么证明函数y=f（x-a）和y=f（a-x）的图像关于直线x=a对称。
解题思路：在函数y=f（x-a）图像上任取一点P（x，y）那么y=f（x-a），所以P（x，y）关于直线x=a的对称点是Q（2a-x，y），所以得到f[a-（2a-x）]=f（x-a）=y，所以点Q（2a-x，y）在函数y=（a-x）的图像上，那么就可以证明函数y=f（x-a）和y=f（a-x）的图像关于直线x=a对称。
例题2：求函数y=sinx和y=cosx的对称中心？
解题思路：如果f（x）=sin（x-），那么就可以得到y=sinx=sin（x+-）=f（x+），关于y=cosx=-sin（--x）=-sin（--x-）=-f（--x），通过上述公式，可以得出函数y=sinx和函数y=cosx与点（-，0）对称。那么小于点（kπ-，0）都是函数y=sinx和函数y=cosx的对称点。一般来说，两个函数的y=Asin（ωx+ψ2）其中（A>0，ω>0），那么它的对称中心点则是
（-，0）其中（k∈Z）
例题3f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x-1）如果f（-2）=a，其中的a为常数，那么f（2002）=？
解题思路：根据上述已知条件，可以得到以下结论：g（-x）=f（-x-1）=f（x+1）
g（-x）=-g（x）=-f（x-1）=-f（1-x）从而得到f（x+1）=-f（1-x）也就是
到f（x+1）+f（1-x）=0，函数到f（x）的图像在点（1，0）对称，所以4是函数到f（x）的一个循环周期，所以得到f（2002）=f（2）=f（-2）=a。
函数在高中阶段学习的重要内容，更是高中数学的基础内容，函数图像对称性是函数特点之一，通过上述例题可以看出，对函数图像对称性性质的广泛性有了一定的了解。虽然函数题型有多种，但是只有掌握它的基本内容和特点，即便遇到复杂的函数，也可以按照函数的性质，找到它的规律和特点，从而对函数的延展进一步的学习。
参考文献
[1]李磊.浅谈函数图像的两种对称问题[J].软件（教育现代化）（电子版），2016（02）：343-343.
[2]欧远平.基于相关点法对函数图像对称性的研究[J].中学教学参考，2016（32）：63-63.
[3]李少朋.对函数图像平移、轴对称问题的思考[J].考试周刊，2012（85）：66-67.
作者单位
湖南省长沙市明德中学 湖南省长沙市 410000
【关键词】函数图像；对称性问题；两种对称
函数图像对称问题是高中函数体系重要的内容，函数图像对称可以分成两类：一类是同一个函数图像自身的对称性，另外一类是两个不同函数之间的对称性。函数对称性往往很容易将问题解决，从而快速得到答案，函数的对称关系体现了数学之美。但是函数自身的对称轴和对称中心与两个函数图像关于某直线对称有着本质区别，在答题的时候，大家很容易混淆两者之间的区别，导致答题思路上出现偏差，本文就这两个问题的区别进行了谈论，希望给大家的解题提供一些参考建议。
1 函数自身对称性
例题1：将a、b设为常数，函数y=f（x），函数的x满足f（a+x）=f（b-x），那么函数y=f（x）图像关于直线
x=对称。那么推论1则是直角坐标系中，f（a+x）=f（a-x）的函数图像y=f（x）关于直线x=a对称。推论2，在满足f（a-x）=f（x-a）的函数图像关于直线x=0对称。如果函数的定义域为R，那么x能满足f（x+2）=f（2-x），f=（x+7）=f（7-x）。如果x∈[2，7]，那么f（x）=（x-2）2，如果x∈[16，20]，那么g（x）=2x-f（x）函数表达式是什么？
解答：从上述题目中，得到已知条件f（x+2）=f（2-x），f=（x+7）=f（7-x），函数y=f（x）图像关于直线x=2和x=7对称，那么可以得到：
f（x）=f[（x-2）+2]=f[2-（x-2）]=f（4-x）=f[7-（3+x）]=f[7+（x+3）]=f（x+10）
如果x∈[16，17]，那么x-10∈[6，7]，那么可以得到f（x）=f（x-10）=（x-10-2）2=（x-12）2
如果x∈[17，20]，那么x-20∈[-3，0]，4-（x-20）∈[4，7]
所以得到f（x）=f（x-20）=f[4-（x-20）]=[4-（x-20）-2]2=（x-22）2
那么函数g（x）=2x-（x-12）2（16≤x≤17）或者2x-（x-22）2（16≤x≤17）
例题2 ： y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的函数图像与x轴有一个交点，那么x轴与直线ωx+?=kπ+π（k∈Z）的中心对称图形是？
解题思路：
根据上述题目的已知条件，得到函数y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的对称中心，那么只要让ɑtan（ωx+?）=0或者ɑtan（ωx+?）没有任何意义，那么就可以得到ωx+?=kπ或者ωx+?=kπ+π（k∈Z），那么得到了点
（，0）（k∈Z），点（，0）（k∈Z）就是函数y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的图像对称中心。如果点（x=x0）是函数y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）图像的对称中心，如果x=x0则y=0或者y不存在。三角函数的对称性其实是有一定的规律性，为了帮助大家快速掌握函数的对称性，对函数几种常见的三角函数进行总结，具体如下表：
函数 对称中心坐标 对称轴方程
y=sinx （kπ，0） X=kπ+π
y=cosx （kπ+π，0） X=kπ
y=tanx （kπ，0） 无
注：表中的k∈Z
为了提高解题速度，在遇到正切或者余切等函数的时候，可以用这种比较简便的方法，对照表中的公式，快速找到函数的对称中心坐标和对称轴方程，这样省去了做题的时间，而且有利于提高做题的正确率。
2 两个函数对称性问题
例题1：函数y=f（x），那么证明函数y=f（x-a）和y=f（a-x）的图像关于直线x=a对称。
解题思路：在函数y=f（x-a）图像上任取一点P（x，y）那么y=f（x-a），所以P（x，y）关于直线x=a的对称点是Q（2a-x，y），所以得到f[a-（2a-x）]=f（x-a）=y，所以点Q（2a-x，y）在函数y=（a-x）的图像上，那么就可以证明函数y=f（x-a）和y=f（a-x）的图像关于直线x=a对称。
例题2：求函数y=sinx和y=cosx的对称中心？
解题思路：如果f（x）=sin（x-），那么就可以得到y=sinx=sin（x+-）=f（x+），关于y=cosx=-sin（--x）=-sin（--x-）=-f（--x），通过上述公式，可以得出函数y=sinx和函数y=cosx与点（-，0）对称。那么小于点（kπ-，0）都是函数y=sinx和函数y=cosx的对称点。一般来说，两个函数的y=Asin（ωx+ψ2）其中（A>0，ω>0），那么它的对称中心点则是
（-，0）其中（k∈Z）
例题3f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x-1）如果f（-2）=a，其中的a为常数，那么f（2002）=？
解题思路：根据上述已知条件，可以得到以下结论：g（-x）=f（-x-1）=f（x+1）
g（-x）=-g（x）=-f（x-1）=-f（1-x）从而得到f（x+1）=-f（1-x）也就是
到f（x+1）+f（1-x）=0，函数到f（x）的图像在点（1，0）对称，所以4是函数到f（x）的一个循环周期，所以得到f（2002）=f（2）=f（-2）=a。
函数在高中阶段学习的重要内容，更是高中数学的基础内容，函数图像对称性是函数特点之一，通过上述例题可以看出，对函数图像对称性性质的广泛性有了一定的了解。虽然函数题型有多种，但是只有掌握它的基本内容和特点，即便遇到复杂的函数，也可以按照函数的性质，找到它的规律和特点，从而对函数的延展进一步的学习。
参考文献
[1]李磊.浅谈函数图像的两种对称问题[J].软件（教育现代化）（电子版），2016（02）：343-343.
[2]欧远平.基于相关点法对函数图像对称性的研究[J].中学教学参考，2016（32）：63-63.
[3]李少朋.对函数图像平移、轴对称问题的思考[J].考试周刊，2012（85）：66-67.
作者单位
湖南省长沙市明德中学 湖南省长沙市 410000