【摘要】数形结合是一种重要的数学思想，数形结合问题在高考中经常出现。文章以一道高中数学学业水平考试试题为例，提出此问题的几种常用解法，并将该问题推广到一般情形，得到几个基本结论。
　　【关键词】高中数学；数形结合；代数法；几何法；三角函数法
　　2017年湖南省高中学业水平考试数学试卷最后一题为：如图1，过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、、、，求的最大值。
　　一、几种解法
　　解法一：代数法
　　设直线的方程为，与圆的交点为、，满足，即，由韦达定理有
　　，，
　　则，，
　　①
　　直线与直线垂直，设其方程为 ，与圆的交点为、.类似可推得
　　②
　　由①和②有
　　③
　　当时，上式右边取得最大值，即最大值为.
　　另外，也可由①和②得
　　④
　　根据基本不等式有
　　即的最大值为4，此时，，两直线与轴的夹角均为45度.
　　解法二：几何方法一
　　如图2，设圆心为，连接、、、，作交于点E，交于点，则点、分别是、的中点. 由于，则四边形是矩形.
　　故，
　　则.
　　由基本不等式有.
　　解法三：几何方法二
　　如图2，根据圆的切割线定理，有
　　即⑤
　　因为OEPF为矩形，故
　　即⑥
　　由⑤⑥可得，则
　　从而可得.
　　解法四：三角函數法
　　如图2，设，
　　则，
　　则
　　⑦
　　当时，式⑦右边取得最大值1，即最大值为1，故的最大值为4.
　　二、一般情形推广
　　将此问题推广到一般情形如下：
　　问题：过原点作两条相互垂直的直线分别与圆相交于点、和、，求的最大值.
　　解：如图2，设直线与直线的方程分别为和，与圆的四个交点分别为、、、.参照解法一，可得
　　，，
　　，，
　　，
　　，
　　我们不难得到
　　且必须满足.
　　根据基本不等式，的最大值为.
　　同时还得出如下结论：
　　结论1：、两线段中点连线的长度为定值，等于原点到圆心的距离.
　　证明：、两线段的中点分别为、.则
　　.
　　结论2：、两线段中点连线的中点，与原点和圆心连线的中点重合.
　　证明：设原点和圆心连线的中点为，的中点为，则
　　，
　　因此的中点坐标与点的坐标相同.
　　根据结论2可以得出：
　　推论：、两线段的中点均在以为圆心，半径为的圆上.
　　结论3：等于连线所围区域面积的2倍.
　　证明：（1）当，即原点在圆之外，如图2，连线所围区域即阴影部分.
　　则.
　　（2）当，即原点位于圆内，如图3，所围区域为圆内接四边形.
　　（3）当，即原点位于圆上，、与原点重合，所围区域为直角三角形，因此 .
　　三、结束语
　　数形结合问题一般可以采用代数法、几何法、三角函数法求解，也可运用几种方法联合求解。在学习中，我们要根据实际情况灵活运用。对于某些具体问题，我们可以通过推广拓展至一般情形，从而更深入地分析和解决问题。