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一、 把握基本图形是科学添加辅助线的前提
（1） 把握基本图形的特征.
初中几何问题是由有限的几种基本图形演绎而来.学生只有熟悉了基本图形组成的线条及其条件和结论的特征，把握了基本图形的总体轮廓，就能在解决几何问题时联想到科学合理的辅助线.
一个定理、概念就有一个基本图形.在概念和定理的教学中教师不必过于追究文字的描述，而应突出其基本图形的特征，把定理的条件和结论直观地表述在图形中，使之成为一个整体，成为基本图形的符号标志，通过观察图形，培养学生的视觉美感.教师还可以给基本图形取一个直观的名字，便于学生记忆，如双垂图（如图1）、角平分线图（如图2）、垂直平分线图（如图3）等等，也有利于学生把握基本图形的特征.
（2） 关注基本图形的变形.
几何定理和概念描述的是具有某些共同属性的几何图形所具有的共同的性质.组成这些图形的线条和基本条件相同，但线条的位置和长度却千变万化.在概念和定理教学中，教师要对基本图形的位置和形状进行各种变式训练.如遇到涉及角的图形要画出锐角、直角、钝角的各种变式让学生辨认，不断变换角度大小、几何元素间的相互位置，对一个基本图形作翻折、旋转等变化，让学生从各个角度去认识图形，提高学生对图形的欣赏、鉴别能力.如图4就是三合一图的三种不同形状，各种形状还可以变化出各种不同位置的图形.
（3） 学会几何图形的分.
几何图形由若干基本图形组成.把一个几何图形分解为基本图形是解决几何问题的关键.在分析过程中，可用不同颜色的笔勾画出基本图形，也可把基本图形从复杂图形中抽出来，如图5可分解为角平分线图（图6（1））、等腰三角形图（图6（2））、双垂图（图6（3））三个基本图形.
二、 捕捉辅助线的信号是快捷添加辅助线的思维起点
学生添加辅助线往往是盲目的、试探性的.究竟从哪里入手添加辅助线才既快捷又准确？
（1） 从题设入手添加辅助线
题设是添加辅助线的第一信号来源.为了应用已知条件，必须把条件涉及的几何元素归到基本图形中，如果基本图形不全，就要添加辅助线，构成完整的基本图形.
例1 如图7，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD，垂足为D，AB=12，AC=18，求DM的长.
分析： 本题有非常明显的图形特征：AD是∠A的平分线，BD⊥AD，自然联想起三合一图，从而延长BD，与AC相交于点N.这条辅助线的思维起点就是题目中的题设条件.
从题设出发添加辅助线的情况很多，如在梯形中已知两腰的关系，可以平移腰；在圆中已知直径，可以作出直径所对的圆周角等.
（2） 从结论入手添加辅助线
结论是添加辅助线的第二信号来源.通过添加辅助线可以把结论涉及的几何元素还原到基本图形中，或者让基本图形显现出来.
例2 如图8，△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，点E为BC的中点，求证：DE=AB.
分析 本题常用的辅助线有两种：取AC的中点G点，连结EG、DG（如图9（1））；取AB的中点F，连结EF、DF（如图9（2）），添加这两种辅助线的出发点都来自题目的结论.
例3 如图10，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.
分析 本题的常规辅助线是延长CB到点G，使BG=FD，这样添加的出发点就是题目的结论：EF=BE+DF.根据题目结论涉及的线段或角寻找基本图形，通过添加辅助线让这些几何元素归位“回家”是一般的思考模式.
（3） 两者兼顾，才是科学的选择.
从题设入手添加辅助线方便进行综合推理，但不一定就能完成推理；从结论入手添加辅助线易于进行逆向分析，但不一定就能完成证明.二者兼顾，才是科学的选择.
例4 如图11，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M、N分别是DC、AB的中点.求证：MN=AB-CD.
分析 本题若从已知条件出发，第一方案就是延长AD和BC，构建直角三角形（如图12（1）），可是这样对处理MN=AB-CD是不明朗的；第二个方案就是平移梯形的腰（如图12（2）），集中聚拢∠A和∠B，也形成了AB-CD，可是此方案没有联系题目中的中点条件.所以需要同时平移梯形的腰AD、BC（如图12（3）），这样既能考虑题设条件，也能兼顾结论.
例5 如图13，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N.求证：MD=MN.
分析 在本题的解答过程中，大部分学生过点N作NF⊥BE，然后证明△DAM≌△MFN，最终没能成功.原因是这条辅助线没有利用题设中的中点条件.如果取AD的中点G，连接MG，这样就能两者兼顾，从而顺利解决问题.
三、 掌握辅助线的添加原则是合理添加辅助线的依据
（1） 难点优先
添加辅助线可以化繁为简，化难为易，所以优先处理题中繁难的式子，可以将其抽象出基本图形.
例6 如图14（1），△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°-∠BDC，求证：AB=BD+CD.
分析 本题添加辅助线有两个难点：一是∠ADB=90°-∠BDC，二是AB=BD+CD.基于“难点优先”的原则，想到了作这样的辅助线：延长AD和延长BD至点E，使DE=CD这样的辅助线（如图14（2））.
（2） 结论优先
添加辅助线的最终目的是证明结论，从题设出发添加辅助线往往有多种可能，并不是每一条都能很快得到命题的结论，故通常优先考虑根据结论添加辅助线.
例7 如图15（1），BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是的中点，AD⊥BC 垂足为D，与BF相交于点E.求证：BE·BF=BD·BC.
分析 本题若从题设出发，考虑添加的辅助线就是由直径构建直径所对的圆周角，可连结AB、AC或连结FC，但是选择连结AB、AC并不能出现与结论有关的线段.考虑到构造与结论BE·BF=BD·BC有关的线段比例关系，我们可选择连结FC（如图15（2））. （3） 能不分就不分
有些辅助线添加后，会把图中的线段或角分割成几部分，这样对线段或角的处理就比较麻烦，一般的原则是“能不分就不分”.
再谈前面例3的辅助线作法，一些学生会试作AG⊥EF（如图16），然后试图证明BE=EG，DF=G.看上去这是个不错的选择，可是难以证明.这是因为辅助线AG把∠EAF分成了两部分，不便于应用条件∠EAF=45°.
再看例4中图12（2） 的辅助线，正是因为把线段MN分成了两条线段，而这两条线段又不能独立处理，所以证明就难以进行.
（4） 能“天然”不“人为”
辅助线具有构造图形的功能，常见的有构造线段或角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.这些构造有些是人为得，有些是通过作平行线、作垂线或直接延长相交而得（姑且称之为“天然”）.通常情况下，我们能“天然”不“人为”.
例8 如图17，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为腰AB和腰CD的中点，求证：EF∥BC，EF=BC+AD.
分析 本题的难点是对BC+AD的处理，若延长BC到点G，使得CG=AD， “人为”形成BC+AD，也是可以证明的.但这时候必须证明A、F、G三点共线，学生要么不会证明，要么就不证明.所以本题还是延长AF、BC相交于点G，“天然”形成BC+AD，比较易于问题的解决.
四、 吃透辅助线的灵魂实质，应对千变万化的几何问题
例9 如图18，△ABC的角平分线AD交BC边于D，E为BC上一点，且DE=DC，过E点作EF∥AB交AD于点F，求证：EF=AC.
本题辅助线的作法：延长AD到点G，使DG=AD，连结EG； 或延长AD到点H，使DH=DF，连结CH.
例10 如图19，M、N分别为正方形ABCD的边AD和AB的中点，连结CM、DN相交于点P，连结BP，求证：BP=BC.
本题辅助线的作法：延长DN，交CB的延长线于点Q.
例11 如图20，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为对角线AC、BD的中点，求证：EF∥BC，EF=BC-AD.
本题辅助线的作法：连结DF并延长，与BC相交于G点.
这几个问题的图形各不相同，添加的线条和添加的方式也不一样，研究发现所构建的基本图形一样（如图21）.从本质上来说属于“倍长中线”.“倍长中线”是一种较为常见的添加辅助线的方法，其作法是遇到中线就延长.可是这几个问题中，没有涉及中线，甚至没有三角形，学生根本想不到“倍长中线”.其实，“倍长中线”的实质是利用中点构建全等三角形.这几个几何图形中都应用了中点条件构建全等三角形，只是添加的部位或添加的方式不同.学生掌握了“倍长中线”的实质，就能正确添加辅助线.任何一种辅助线不可能是单一的，添加的部位和叙述方式也许不一样，但构建基本图形的实质是一致的.
几何问题和几何图形是千变万化的，所以怎样添加辅助线也就成为了一道难题.辅助线最科学的添加方法既要与各个原则不发生冲突，又要考虑图形的合理性，也就是美感.只有合理的才是最美的.
（责任编辑：李建军）
（1） 把握基本图形的特征.
初中几何问题是由有限的几种基本图形演绎而来.学生只有熟悉了基本图形组成的线条及其条件和结论的特征，把握了基本图形的总体轮廓，就能在解决几何问题时联想到科学合理的辅助线.
一个定理、概念就有一个基本图形.在概念和定理的教学中教师不必过于追究文字的描述，而应突出其基本图形的特征，把定理的条件和结论直观地表述在图形中，使之成为一个整体，成为基本图形的符号标志，通过观察图形，培养学生的视觉美感.教师还可以给基本图形取一个直观的名字，便于学生记忆，如双垂图（如图1）、角平分线图（如图2）、垂直平分线图（如图3）等等，也有利于学生把握基本图形的特征.
（2） 关注基本图形的变形.
几何定理和概念描述的是具有某些共同属性的几何图形所具有的共同的性质.组成这些图形的线条和基本条件相同，但线条的位置和长度却千变万化.在概念和定理教学中，教师要对基本图形的位置和形状进行各种变式训练.如遇到涉及角的图形要画出锐角、直角、钝角的各种变式让学生辨认，不断变换角度大小、几何元素间的相互位置，对一个基本图形作翻折、旋转等变化，让学生从各个角度去认识图形，提高学生对图形的欣赏、鉴别能力.如图4就是三合一图的三种不同形状，各种形状还可以变化出各种不同位置的图形.
（3） 学会几何图形的分.
几何图形由若干基本图形组成.把一个几何图形分解为基本图形是解决几何问题的关键.在分析过程中，可用不同颜色的笔勾画出基本图形，也可把基本图形从复杂图形中抽出来，如图5可分解为角平分线图（图6（1））、等腰三角形图（图6（2））、双垂图（图6（3））三个基本图形.
二、 捕捉辅助线的信号是快捷添加辅助线的思维起点
学生添加辅助线往往是盲目的、试探性的.究竟从哪里入手添加辅助线才既快捷又准确？
（1） 从题设入手添加辅助线
题设是添加辅助线的第一信号来源.为了应用已知条件，必须把条件涉及的几何元素归到基本图形中，如果基本图形不全，就要添加辅助线，构成完整的基本图形.
例1 如图7，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD，垂足为D，AB=12，AC=18，求DM的长.
分析： 本题有非常明显的图形特征：AD是∠A的平分线，BD⊥AD，自然联想起三合一图，从而延长BD，与AC相交于点N.这条辅助线的思维起点就是题目中的题设条件.
从题设出发添加辅助线的情况很多，如在梯形中已知两腰的关系，可以平移腰；在圆中已知直径，可以作出直径所对的圆周角等.
（2） 从结论入手添加辅助线
结论是添加辅助线的第二信号来源.通过添加辅助线可以把结论涉及的几何元素还原到基本图形中，或者让基本图形显现出来.
例2 如图8，△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，点E为BC的中点，求证：DE=AB.
分析 本题常用的辅助线有两种：取AC的中点G点，连结EG、DG（如图9（1））；取AB的中点F，连结EF、DF（如图9（2）），添加这两种辅助线的出发点都来自题目的结论.
例3 如图10，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.
分析 本题的常规辅助线是延长CB到点G，使BG=FD，这样添加的出发点就是题目的结论：EF=BE+DF.根据题目结论涉及的线段或角寻找基本图形，通过添加辅助线让这些几何元素归位“回家”是一般的思考模式.
（3） 两者兼顾，才是科学的选择.
从题设入手添加辅助线方便进行综合推理，但不一定就能完成推理；从结论入手添加辅助线易于进行逆向分析，但不一定就能完成证明.二者兼顾，才是科学的选择.
例4 如图11，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M、N分别是DC、AB的中点.求证：MN=AB-CD.
分析 本题若从已知条件出发，第一方案就是延长AD和BC，构建直角三角形（如图12（1）），可是这样对处理MN=AB-CD是不明朗的；第二个方案就是平移梯形的腰（如图12（2）），集中聚拢∠A和∠B，也形成了AB-CD，可是此方案没有联系题目中的中点条件.所以需要同时平移梯形的腰AD、BC（如图12（3）），这样既能考虑题设条件，也能兼顾结论.
例5 如图13，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N.求证：MD=MN.
分析 在本题的解答过程中，大部分学生过点N作NF⊥BE，然后证明△DAM≌△MFN，最终没能成功.原因是这条辅助线没有利用题设中的中点条件.如果取AD的中点G，连接MG，这样就能两者兼顾，从而顺利解决问题.
三、 掌握辅助线的添加原则是合理添加辅助线的依据
（1） 难点优先
添加辅助线可以化繁为简，化难为易，所以优先处理题中繁难的式子，可以将其抽象出基本图形.
例6 如图14（1），△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°-∠BDC，求证：AB=BD+CD.
分析 本题添加辅助线有两个难点：一是∠ADB=90°-∠BDC，二是AB=BD+CD.基于“难点优先”的原则，想到了作这样的辅助线：延长AD和延长BD至点E，使DE=CD这样的辅助线（如图14（2））.
（2） 结论优先
添加辅助线的最终目的是证明结论，从题设出发添加辅助线往往有多种可能，并不是每一条都能很快得到命题的结论，故通常优先考虑根据结论添加辅助线.
例7 如图15（1），BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是的中点，AD⊥BC 垂足为D，与BF相交于点E.求证：BE·BF=BD·BC.
分析 本题若从题设出发，考虑添加的辅助线就是由直径构建直径所对的圆周角，可连结AB、AC或连结FC，但是选择连结AB、AC并不能出现与结论有关的线段.考虑到构造与结论BE·BF=BD·BC有关的线段比例关系，我们可选择连结FC（如图15（2））. （3） 能不分就不分
有些辅助线添加后，会把图中的线段或角分割成几部分，这样对线段或角的处理就比较麻烦，一般的原则是“能不分就不分”.
再谈前面例3的辅助线作法，一些学生会试作AG⊥EF（如图16），然后试图证明BE=EG，DF=G.看上去这是个不错的选择，可是难以证明.这是因为辅助线AG把∠EAF分成了两部分，不便于应用条件∠EAF=45°.
再看例4中图12（2） 的辅助线，正是因为把线段MN分成了两条线段，而这两条线段又不能独立处理，所以证明就难以进行.
（4） 能“天然”不“人为”
辅助线具有构造图形的功能，常见的有构造线段或角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.这些构造有些是人为得，有些是通过作平行线、作垂线或直接延长相交而得（姑且称之为“天然”）.通常情况下，我们能“天然”不“人为”.
例8 如图17，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为腰AB和腰CD的中点，求证：EF∥BC，EF=BC+AD.
分析 本题的难点是对BC+AD的处理，若延长BC到点G，使得CG=AD， “人为”形成BC+AD，也是可以证明的.但这时候必须证明A、F、G三点共线，学生要么不会证明，要么就不证明.所以本题还是延长AF、BC相交于点G，“天然”形成BC+AD，比较易于问题的解决.
四、 吃透辅助线的灵魂实质，应对千变万化的几何问题
例9 如图18，△ABC的角平分线AD交BC边于D，E为BC上一点，且DE=DC，过E点作EF∥AB交AD于点F，求证：EF=AC.
本题辅助线的作法：延长AD到点G，使DG=AD，连结EG； 或延长AD到点H，使DH=DF，连结CH.
例10 如图19，M、N分别为正方形ABCD的边AD和AB的中点，连结CM、DN相交于点P，连结BP，求证：BP=BC.
本题辅助线的作法：延长DN，交CB的延长线于点Q.
例11 如图20，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为对角线AC、BD的中点，求证：EF∥BC，EF=BC-AD.
本题辅助线的作法：连结DF并延长，与BC相交于G点.
这几个问题的图形各不相同，添加的线条和添加的方式也不一样，研究发现所构建的基本图形一样（如图21）.从本质上来说属于“倍长中线”.“倍长中线”是一种较为常见的添加辅助线的方法，其作法是遇到中线就延长.可是这几个问题中，没有涉及中线，甚至没有三角形，学生根本想不到“倍长中线”.其实，“倍长中线”的实质是利用中点构建全等三角形.这几个几何图形中都应用了中点条件构建全等三角形，只是添加的部位或添加的方式不同.学生掌握了“倍长中线”的实质，就能正确添加辅助线.任何一种辅助线不可能是单一的，添加的部位和叙述方式也许不一样，但构建基本图形的实质是一致的.
几何问题和几何图形是千变万化的，所以怎样添加辅助线也就成为了一道难题.辅助线最科学的添加方法既要与各个原则不发生冲突，又要考虑图形的合理性，也就是美感.只有合理的才是最美的.
（责任编辑：李建军）