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摘要：BOPPPS教学模式是加拿大教师培训中广泛采用的教学模型，这能确保课堂有效成功地进行。针对高等数学教学模式单一和缺乏师生互动这两大问题，BOPPPS教学模式能有效的解决。文章是以《高等数学》中的“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例，讨论在BOPPPS模式下的高等数学微课教学设计的策略。
关键词：BOPPPS模式;高等数学;微课;教学设计
一、绪论
《高等数学》[1]作为一门非数学专业理工科学生的一门必修的公共基础课，在理工类学生的学习生涯中是必不可少的，也是理工类学生考研的必需课程，由此可见，高等数学这门课程的地位是非常重要的。在我们传统的教学模式中，教师的教法比较单一，一般采用“黑板+粉笔”（也就是教师课堂讲授为主、板书为主的模式）、单向灌输的教学手段，高等数学中定义定理也比较枯燥乏味，这些很难提起学生的学习兴趣，继而学生的注意力也就不能集中，从而影响了教学质量。在旧的教育教学模式里，教师上课的时候多半以教师为中心，缺乏师生之间的互动，进而，教师不能很好地掌握学生的学习情况，殊不知学生才是学习的主体。随着21世纪信息全球化时代的到来，线上与线下相结合的教学模式被越来越多的教育工作者所推崇，“互联网+”与在线开放课程（MOOC等）成为了传统教学模式的延拓，高校传统教学模式的改革也得到了大家的重视。
在教育教学模式飞速发展的今天，与时俱进的教育教学理念更加注重培养学生的创造性和主动性，让学生有自己的思考空间，就要要求当今的教师也要适应时代的发展，走在教育教学理念的前沿。为了改进传统的教学模式，强调以学生为中心，提高学生的学习兴趣，本文以“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例，将BOPPPS教学模式应用到高等数学微课教学设计中，更好地实现课堂有效教学。
二、BOPPPS教学模式的概述
BOPPPS教育模式是道格拉斯·克尔教授于1976年在温哥华大学创建的，它主要用于教师技能培训体系ISW。该培训采用基于课程实践的方法，通过强化培训来提高教师的课程水平，提高教师教学技能和教学效率[2]。BOPPPS教学模式是优秀的微课教学模式，既是教师用来进行微课教学设计的工具之一，也是老师们开展课前教学设计和课中组织课堂教学的一种有效方法。它的基本概念是把课程内容分割为若干个阶段，由于人的集中注意力之间大约为15分钟，所以每个阶段的用时大约为15分钟。所以BOPPPS是把每一个阶段分为六个教学结构，具体为导言（Bridge-in）、学习目标（Objective/Outcome）、前测（Pre-assessment）、参与式学习（Participatory Learning）、后测（Post-assessment）和总结（Summary）。在这六个环节里面，第一个导言是课程的前期介绍部分，也就是引入新课，教师上好一堂课的关键，俗话说“好的开头是成功的一半”，如果上课伊始能把学生的注意力抓住，那这堂课后面的环节会比较顺利地进行。教师可以在课前设置比较有挑战性的、能产生头脑风暴的问题让学生思考，或者发布一些时下的热议话题，教师起引导作用，引导学生发现身边优秀的案例，并对其分析;进而导入相关的学习内容，一般采用有趣的图片或者小视频的形式，吸引学生的注意力;学习目标是为了让学生明白本节课的学习内容和方向，在正式上课之前，教师可以根据教学内容的难易程度，把大的知识点分解成小的知识点，为了能更好地达成学习效果，另外学生在复习的时候又可以把这些小知识点串联成大的学习内容，极大程度上提高了学生的学习兴趣;前测是为了了解学生的目前的知识储备，通过小测试可以掌握学生对前期知识点的掌握程度，学生对自己也有一个更好地定位，通过前测教师可以制定详细的教学方案、教学设计，以便因材施教;参与式学习目的是让学生融入课堂提高学生的参与感以及与老师的互动，在学生参与的过程中教师更加清楚地了解学生对知识点的掌握程度;后测是为了检测是否达到教学目标以及学生对知识的掌握程度，比如，教师设计一些相应的习题让学生做练习，学生通过这些联系可以更好地掌握知识点，教师通过后测也可以检验是否达到了自己预期的教学效果;总结的目的是帮助学生梳理本节课的知识，根据学生的学习效果，布置家庭作业以及后续课程的预告。
三、BOPPPS教学模式下高等数学微课设计理念
根據BOPPPS教学模式的要求，在设计微型课程时，应将高等数学课程分为较小的独立步骤。如今，高等数学课程已经形成了小的独立单元模块，其单元是知识点[3-4]，这为该课程的微课设计奠定了坚实的基础，并且搭建了一个出色的平台。以“一阶线性非齐次微分方程的解法”为例，在学习这个知识点之前，学生已经学习并了解一阶线性微分方程的基本概念，学会了如何求解一阶线性齐次微分方程。通过学习本节的内容，学生不仅可以完整地掌握如何求解一阶线性微分方程，还也为下一节Bernoulli方程的学习奠定了坚实的基础[5]。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。基于BOPPPS教学模式，我们把这个内容分为六个小结构进行教学设计，具体分割如下。
四、基于BOPPPS教学模式下“一阶非齐次线性微分方程的解法”的教学设计
（一）导言（Bridge-in）——问题导入
从学生目前会什么入手，引出问题：一阶线性微分方程的形式：
dydx+Pxy=Qx（1）
若Q（x）=0，则（1）式称为一阶线性齐次方程;若Q（x）≠0，则（1）式称为一阶线性非齐次方程。根据已经掌握的一阶线性齐次方程的解法引出如何求解一阶线性非齐次方程（1）。
（二）学习目标（Objective/Outcome）——PPT展示
（1）知识与技能：理解“常数变易法”的起源，学习并掌握求解一阶线性非齐次方程（1）的常数变易的步骤;熟练地使用常数变易法和通解公式求解非齐次线性微分方程。 （2）过程与方法：通過分类求解一阶线性微分方程，充分运用数学思想进行分类讨论、转化化归;探索一阶线性非齐次微分方程的通解结构会以什么形式出现，引导学生进行探究式学习，激发学生学习的主动性和创造性。
（3）情感态度与价值观：学生从一开始认为高等数学比较难，也不愿意花时间学习，导致他们考试的分数偏低甚至更差。通过本节内容的学习培养学生的分类讨论、化归与转化思想、勇于探索新知的科学态度，如果学生通过这节课的学习完全掌握了一阶线性非齐次方程的解法，那么，这将使学生对学习下一个知识点更有信心，并激发他们对数学学习的兴趣。
（三）前测（Pre-assessment）——提问并板书
首先在黑板上板书y=Ce-P（x）dx，C为任意常数，并提问它是方程（1）对应的齐次方程的解吗？
（四）参与式学习（Participatory Learning）
对于齐次方程的通解y=Ce-P（x）dx，既然是常数变易，从字面意思理解，引导学生观察上述通解，只有一个常数，只能在常数C上做文章，也就是令y=C（x）e-P（x）dx，带入到方程（1），得到其通解形式：
y=e-P（x）dxC+Q（x）eP（x）dx（2）
即：
y=Ce-P（x）dx+e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx（3）
其中C是任意常数。
教师与学生一起体会常数变易法的使用过程，并引导学生观察通解的形式，说出其构成（也就是非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解）。并告知学生这个解的结构的重要性，在以后的解题过程中一定不能出错。
（五）后测（Post-assessment）——课堂练习
例1 求微分方程cosxdydx+ysinx=1的通解。（过程略）
学生可以用常数变易法进行求解求解，也可以用公式直接求解。为了巩固常数变易法，建议学生使用常数变易法进行求解。
（六）总结（Summary）
PPT展示本节课的主要内容，强调转化、化归的数学思想。教师也可以充分利用网络资源，在微课的设计过程中，可以借助于多媒体，通过创设问题情境，引导学生主动思考，自己动手操作，最后得出结果。这种教与学过程学生易于接受，教师也能更好地管理课堂，尽可能的达到自己预期的教学效果。
五、应用反思
在上面的示例中，从问题的引入到方程通解形式的探究，再到通解结构的总结，结合了问题式、探究式的学习方法进行本节课的学习，使得常数变易法能够自然引出，顺利地克服了难点，使学生轻松地接受常数变易法。
高等数学教学模式的改进，一直是高校数学教师努力的方向之一，如何进行有效的课堂教学设计是关键。基于BOPPPS模式的教学设计可以有效地促进师生之间的互动，提高学生的有效参与度，进而提高上课质量。在高数的教学过程中，尽可能地把知识点分割成小模块，按照BOPPPS模式设计每一堂课，以学生为中心、以问题为导向，探究式学习更好地实现教学目标，学生也在学习过程中对知识点的掌握更扎实。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].7版.北京：高等教育出版社，014：314-315
[2]张琛，李红霞.基于BOPPPS模式下的高等数学微课教学设计——以“数列极限”为例[J].西部素质教育，2017，3（02）：163-164
[3]高等数学（上）知识点细分目EB/OL].[2015-12-30].http：//wenku.baidu.com/link url=BOFc Jt9r Lu_M8Gi QFy7VQPsx1Y8UQQ-f UDy33l YN1g Sezu Xapxm YAaw4swgy Gggsy Taj81Xf CTf5OVy9-AE5h6jqf ZEh JAIs Dvjwkoqb2Hf G
[4]高等数学（下）知识点细分目录[EB/OL].[2015-07-24].http：//wenku.baidu.com/linkurl=Jf2Er7r Mnbl3u Mp CZu7c Yn I8S2L2Ip8GMz SVGXNHg PRtq _JDP-c Yw1ONpu AFU4Mup9dx9Oi5DDBZFVmgh Ss HFs DXbjm Sjv Wd F6Uu_v_cl BQa
[5]储亚伟，叶薇薇，王海坤.基于BOPPPS模型下的高等数学微课教学设计——以“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例[J].山东农业工程学院学报，2016，33（09）：153-156
关键词：BOPPPS模式;高等数学;微课;教学设计
一、绪论
《高等数学》[1]作为一门非数学专业理工科学生的一门必修的公共基础课，在理工类学生的学习生涯中是必不可少的，也是理工类学生考研的必需课程，由此可见，高等数学这门课程的地位是非常重要的。在我们传统的教学模式中，教师的教法比较单一，一般采用“黑板+粉笔”（也就是教师课堂讲授为主、板书为主的模式）、单向灌输的教学手段，高等数学中定义定理也比较枯燥乏味，这些很难提起学生的学习兴趣，继而学生的注意力也就不能集中，从而影响了教学质量。在旧的教育教学模式里，教师上课的时候多半以教师为中心，缺乏师生之间的互动，进而，教师不能很好地掌握学生的学习情况，殊不知学生才是学习的主体。随着21世纪信息全球化时代的到来，线上与线下相结合的教学模式被越来越多的教育工作者所推崇，“互联网+”与在线开放课程（MOOC等）成为了传统教学模式的延拓，高校传统教学模式的改革也得到了大家的重视。
在教育教学模式飞速发展的今天，与时俱进的教育教学理念更加注重培养学生的创造性和主动性，让学生有自己的思考空间，就要要求当今的教师也要适应时代的发展，走在教育教学理念的前沿。为了改进传统的教学模式，强调以学生为中心，提高学生的学习兴趣，本文以“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例，将BOPPPS教学模式应用到高等数学微课教学设计中，更好地实现课堂有效教学。
二、BOPPPS教学模式的概述
BOPPPS教育模式是道格拉斯·克尔教授于1976年在温哥华大学创建的，它主要用于教师技能培训体系ISW。该培训采用基于课程实践的方法，通过强化培训来提高教师的课程水平，提高教师教学技能和教学效率[2]。BOPPPS教学模式是优秀的微课教学模式，既是教师用来进行微课教学设计的工具之一，也是老师们开展课前教学设计和课中组织课堂教学的一种有效方法。它的基本概念是把课程内容分割为若干个阶段，由于人的集中注意力之间大约为15分钟，所以每个阶段的用时大约为15分钟。所以BOPPPS是把每一个阶段分为六个教学结构，具体为导言（Bridge-in）、学习目标（Objective/Outcome）、前测（Pre-assessment）、参与式学习（Participatory Learning）、后测（Post-assessment）和总结（Summary）。在这六个环节里面，第一个导言是课程的前期介绍部分，也就是引入新课，教师上好一堂课的关键，俗话说“好的开头是成功的一半”，如果上课伊始能把学生的注意力抓住，那这堂课后面的环节会比较顺利地进行。教师可以在课前设置比较有挑战性的、能产生头脑风暴的问题让学生思考，或者发布一些时下的热议话题，教师起引导作用，引导学生发现身边优秀的案例，并对其分析;进而导入相关的学习内容，一般采用有趣的图片或者小视频的形式，吸引学生的注意力;学习目标是为了让学生明白本节课的学习内容和方向，在正式上课之前，教师可以根据教学内容的难易程度，把大的知识点分解成小的知识点，为了能更好地达成学习效果，另外学生在复习的时候又可以把这些小知识点串联成大的学习内容，极大程度上提高了学生的学习兴趣;前测是为了了解学生的目前的知识储备，通过小测试可以掌握学生对前期知识点的掌握程度，学生对自己也有一个更好地定位，通过前测教师可以制定详细的教学方案、教学设计，以便因材施教;参与式学习目的是让学生融入课堂提高学生的参与感以及与老师的互动，在学生参与的过程中教师更加清楚地了解学生对知识点的掌握程度;后测是为了检测是否达到教学目标以及学生对知识的掌握程度，比如，教师设计一些相应的习题让学生做练习，学生通过这些联系可以更好地掌握知识点，教师通过后测也可以检验是否达到了自己预期的教学效果;总结的目的是帮助学生梳理本节课的知识，根据学生的学习效果，布置家庭作业以及后续课程的预告。
三、BOPPPS教学模式下高等数学微课设计理念
根據BOPPPS教学模式的要求，在设计微型课程时，应将高等数学课程分为较小的独立步骤。如今，高等数学课程已经形成了小的独立单元模块，其单元是知识点[3-4]，这为该课程的微课设计奠定了坚实的基础，并且搭建了一个出色的平台。以“一阶线性非齐次微分方程的解法”为例，在学习这个知识点之前，学生已经学习并了解一阶线性微分方程的基本概念，学会了如何求解一阶线性齐次微分方程。通过学习本节的内容，学生不仅可以完整地掌握如何求解一阶线性微分方程，还也为下一节Bernoulli方程的学习奠定了坚实的基础[5]。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。基于BOPPPS教学模式，我们把这个内容分为六个小结构进行教学设计，具体分割如下。
四、基于BOPPPS教学模式下“一阶非齐次线性微分方程的解法”的教学设计
（一）导言（Bridge-in）——问题导入
从学生目前会什么入手，引出问题：一阶线性微分方程的形式：
dydx+Pxy=Qx（1）
若Q（x）=0，则（1）式称为一阶线性齐次方程;若Q（x）≠0，则（1）式称为一阶线性非齐次方程。根据已经掌握的一阶线性齐次方程的解法引出如何求解一阶线性非齐次方程（1）。
（二）学习目标（Objective/Outcome）——PPT展示
（1）知识与技能：理解“常数变易法”的起源，学习并掌握求解一阶线性非齐次方程（1）的常数变易的步骤;熟练地使用常数变易法和通解公式求解非齐次线性微分方程。 （2）过程与方法：通過分类求解一阶线性微分方程，充分运用数学思想进行分类讨论、转化化归;探索一阶线性非齐次微分方程的通解结构会以什么形式出现，引导学生进行探究式学习，激发学生学习的主动性和创造性。
（3）情感态度与价值观：学生从一开始认为高等数学比较难，也不愿意花时间学习，导致他们考试的分数偏低甚至更差。通过本节内容的学习培养学生的分类讨论、化归与转化思想、勇于探索新知的科学态度，如果学生通过这节课的学习完全掌握了一阶线性非齐次方程的解法，那么，这将使学生对学习下一个知识点更有信心，并激发他们对数学学习的兴趣。
（三）前测（Pre-assessment）——提问并板书
首先在黑板上板书y=Ce-P（x）dx，C为任意常数，并提问它是方程（1）对应的齐次方程的解吗？
（四）参与式学习（Participatory Learning）
对于齐次方程的通解y=Ce-P（x）dx，既然是常数变易，从字面意思理解，引导学生观察上述通解，只有一个常数，只能在常数C上做文章，也就是令y=C（x）e-P（x）dx，带入到方程（1），得到其通解形式：
y=e-P（x）dxC+Q（x）eP（x）dx（2）
即：
y=Ce-P（x）dx+e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx（3）
其中C是任意常数。
教师与学生一起体会常数变易法的使用过程，并引导学生观察通解的形式，说出其构成（也就是非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解）。并告知学生这个解的结构的重要性，在以后的解题过程中一定不能出错。
（五）后测（Post-assessment）——课堂练习
例1 求微分方程cosxdydx+ysinx=1的通解。（过程略）
学生可以用常数变易法进行求解求解，也可以用公式直接求解。为了巩固常数变易法，建议学生使用常数变易法进行求解。
（六）总结（Summary）
PPT展示本节课的主要内容，强调转化、化归的数学思想。教师也可以充分利用网络资源，在微课的设计过程中，可以借助于多媒体，通过创设问题情境，引导学生主动思考，自己动手操作，最后得出结果。这种教与学过程学生易于接受，教师也能更好地管理课堂，尽可能的达到自己预期的教学效果。
五、应用反思
在上面的示例中，从问题的引入到方程通解形式的探究，再到通解结构的总结，结合了问题式、探究式的学习方法进行本节课的学习，使得常数变易法能够自然引出，顺利地克服了难点，使学生轻松地接受常数变易法。
高等数学教学模式的改进，一直是高校数学教师努力的方向之一，如何进行有效的课堂教学设计是关键。基于BOPPPS模式的教学设计可以有效地促进师生之间的互动，提高学生的有效参与度，进而提高上课质量。在高数的教学过程中，尽可能地把知识点分割成小模块，按照BOPPPS模式设计每一堂课，以学生为中心、以问题为导向，探究式学习更好地实现教学目标，学生也在学习过程中对知识点的掌握更扎实。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].7版.北京：高等教育出版社，014：314-315
[2]张琛，李红霞.基于BOPPPS模式下的高等数学微课教学设计——以“数列极限”为例[J].西部素质教育，2017，3（02）：163-164
[3]高等数学（上）知识点细分目EB/OL].[2015-12-30].http：//wenku.baidu.com/link url=BOFc Jt9r Lu_M8Gi QFy7VQPsx1Y8UQQ-f UDy33l YN1g Sezu Xapxm YAaw4swgy Gggsy Taj81Xf CTf5OVy9-AE5h6jqf ZEh JAIs Dvjwkoqb2Hf G
[4]高等数学（下）知识点细分目录[EB/OL].[2015-07-24].http：//wenku.baidu.com/linkurl=Jf2Er7r Mnbl3u Mp CZu7c Yn I8S2L2Ip8GMz SVGXNHg PRtq _JDP-c Yw1ONpu AFU4Mup9dx9Oi5DDBZFVmgh Ss HFs DXbjm Sjv Wd F6Uu_v_cl BQa
[5]储亚伟，叶薇薇，王海坤.基于BOPPPS模型下的高等数学微课教学设计——以“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例[J].山东农业工程学院学报，2016，33（09）：153-156