论文部分内容阅读
思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现，它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数
关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：
S=x（50-x）
故函数关系式为：S=x（50-x）。
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0＜x＜50。
即：函数关系式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。
解：∵y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4
∴当x=1时，y =-4
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a＞0）在R上适用，而在指定的定义域区间［p，q］上，它的最值应分如下情况：
（1）当- ＜p时，y=f（x）在［p，q］上单调递增函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（2）当- ＞q时，y=f（x）在［p，q］上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（3）当p≤- ≤q时，y=f（x）在［p，q］上最值情况是：
f（x） =f（- ）= ，
f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
∵-2≤1≤5
∴f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3
f（5）=5 -2×5-3=12
∴f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12
∴函数y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数y=4x-5+ 的值域。
错解：令t= ，则2x=t +3，
∴y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。
故所求的函数值域是［ ，+∞）。
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，y =1。
故所求的函数值域是［1，+∞）。
以上例子说明，变量的允许值范围是何等重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
五、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点呈中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。
综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析的能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。
参考文献：
［1］王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.
［2］田万海主编.数学教育学.浙江：浙江教育出版社，1993.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数
关系式可能是错误。如：
例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：
S=x（50-x）
故函数关系式为：S=x（50-x）。
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0＜x＜50。
即：函数关系式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。
这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。
解：∵y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4
∴当x=1时，y =-4
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a＞0）在R上适用，而在指定的定义域区间［p，q］上，它的最值应分如下情况：
（1）当- ＜p时，y=f（x）在［p，q］上单调递增函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（2）当- ＞q时，y=f（x）在［p，q］上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（3）当p≤- ≤q时，y=f（x）在［p，q］上最值情况是：
f（x） =f（- ）= ，
f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
∵-2≤1≤5
∴f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3
f（5）=5 -2×5-3=12
∴f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12
∴函数y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。
这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：
例3：求函数y=4x-5+ 的值域。
错解：令t= ，则2x=t +3，
∴y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。
故所求的函数值域是［ ，+∞）。
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函数，
所以当t=0时，y =1。
故所求的函数值域是［1，+∞）。
以上例子说明，变量的允许值范围是何等重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
四、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
五、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点呈中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。
综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析的能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。
参考文献：
［1］王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.
［2］田万海主编.数学教育学.浙江：浙江教育出版社，1993.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”