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摘 要：基于AK理论建立了包含消费、投资、贴现因子和折旧率的效用最大化模型，运用汉密尔顿-贝尔曼方程对模型求解，得到最优消费路径。通过最优消费路径我们发现：折旧率与消费和资本负相关，贴现因子与消费负相关，与资本正相关。
关键词：最优消费路径 ；哈密尔顿；贴现因子
一、引言
社会总产出由消费和投资决定，在不考虑折旧的情况下，投资等于资本的变化率。经济的增长和资本的积累取决于消费和投资之间的比例。那么消费和投资之间的最优比例是什么？资本折旧率和贴现因子对总的社会效用产生什么样的影响？
本文研究的是经济增长的最优消费投资路径，理论框架是持久收入假设和内生增长理论，选择的模型是资本产出弹性为单位弹性的AK模型，这是因为资本在发展中国家的经济增长中起到了重要作用，发展中国家可以通过购买外国的先进技术设备来发展本国的经济，发挥自己的后发优势。
二、模型
模型假定该国只生产一种产品，该产品既可以消费又可以投资，该产品作为投资品和消费品的时候，两者之间可以相互转换。经济增长由资本决定，消费和投资之间的比例是由行为人决定的，政府的目标是通过政策引导消费路径，使行为人可以获得最大效用。设生产函数为yt=Akt，其中A反映技术水平，yt、kt和ct分别表示在t时期的生产量、资本量和消费量（ct≥0，kt≥0），k0为初始资本量，得下面模型：
Max■βtln（ct）（1）
s.t. kt+1=yt+（1-δ）kt-ct，yt=Akt，
其中δ为资本折旧率，0≤δ≤1；β为贴现因子，0<β<1；Max■βtln（ct）表示行为人追求一生消费效用的最大化，其中ct是控制变量，kt为状态变量，本期的商品总供给和消费决定了下期的资本数量。令f（kt）=Akt+（1-δ）=kt=（A+1-δ）kt，上述限制条件转化为：s.t. kt+1=f（kt）-ct， f（kt） =（A+1-δ）kt（2）
因为kt+1=f（kt）-ct，所以ct=f（kt）-kt+1，ct可以用kt的函数关系式来表示。求Max∑∞t=0βtln（ct）就是指在约束条件下，找到一个合适路径使得目标函数的值最大。
为了求值方便，将（2）式轉化为连续形式，定义值函数S（k）。根据汉密尔顿方程，得：
s（k）=max{ln[f（k）-k]+βs（k）}=ln[f（k）-h（k）]+βs[h（k）]（3）
在上式中，k相当于kt 、kt+1 ，指当期和下期的资本存量，h（k）是进行递归迭代的策略函数。S（k）、h（k）连续可微。我们估计
S（k）=M+Nln（k）（4）
对（3）、（4）进行一阶求导，并逐期递归迭代可得到值函数Sn（k）：sn（k）=（■βi-1）ln（■）+βn-1ln（A+1-δ）+（■jβj）ln[■]+（∑ns=1βS-1）ln（k）
因为贴现因子0<β<1，易证：当n→∞时，Sn（k）的极限值存在， S（k）==limn→∞sn（k）的极限值就是序列的解。说明得到的函数方程和（4）式的值完全一致，解出M=■ln[（1-β）（A+1-δ）+■ln[β（A+1-δ）]，N=■。
将M和N代入（3）式和（4）式得：
sn（k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（9）
h（k）=β（A+1-δ）k（10）
（9）式也就是目标函数的唯一解。对于任意k0>0，只要令k=g（k）=β（A+1-δ）k可得值函数的最优解。因为目标函数是离散型的，对于任意时期，只要令kt+1，=β（A+1-δ）k，目标函数必然取得最优解。此时，ct=（1-β）（A+1-δ）kt。
综上，目标函数中消费和资本的最优解为：
从上式可以看出：当期消费ct和下期资本kt+1与资本折旧率δ负相关。资本折旧率越大，资本消耗的越多，供消费的产品就越少。政府可以通过宏观政策改变折旧率，加强资本的维护可以降低资本折旧率，比如政府刺激投资，使得维护现有资本的成本高于购置新资本，资本折旧率提高。
当期消费ct和贴现因子β负相关，下期资本kt+1和β正相关。说明贴现因子越小，当期消费越多，人们更愿意当期消费；贴现因子越大，人们更愿意在将来消费，下期的资本存量增加。政府可以通过调整利率和加强福利保障建设来调节贴现因子，从而引导消费和投资。
三、变量对函数S（k）的影响
S（k）指行为人在给定资本的情况下，一生所能达到的总效用。为了讨论的方便，令s（β，δ，k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（12）
由上式，我们不难发现：
1.当0≤β≤1时，■>0恒成立，即β值越大，s（β，δ，k）函数的值越大。由目标函数可知，β值越大，消费的效用越大。
2.■>0，s（β，δ，k）的值是资本存量k的增函数。K的值越大，可用于未来消费的产品就越多，行为人一生的总效用值就越大。
3.■<0，δ的值越大，s（β，δ，k）的值越小，即资本折旧率越高，行为人一生的总效用就越小。政府提高利率和刺激投资都可以引起δ的值提高。
根据上文的假设，不难发现，行为人的消费越大，获得的效用越大，但是消费的过大会引起资本的减少，从而使未来的消费减少，所以应合理地安排消费和投资。政府应该通过调节贴现因子和资本折旧率的值，来引导消费和投资之间的比率。
关键词：最优消费路径 ；哈密尔顿；贴现因子
一、引言
社会总产出由消费和投资决定，在不考虑折旧的情况下，投资等于资本的变化率。经济的增长和资本的积累取决于消费和投资之间的比例。那么消费和投资之间的最优比例是什么？资本折旧率和贴现因子对总的社会效用产生什么样的影响？
本文研究的是经济增长的最优消费投资路径，理论框架是持久收入假设和内生增长理论，选择的模型是资本产出弹性为单位弹性的AK模型，这是因为资本在发展中国家的经济增长中起到了重要作用，发展中国家可以通过购买外国的先进技术设备来发展本国的经济，发挥自己的后发优势。
二、模型
模型假定该国只生产一种产品，该产品既可以消费又可以投资，该产品作为投资品和消费品的时候，两者之间可以相互转换。经济增长由资本决定，消费和投资之间的比例是由行为人决定的，政府的目标是通过政策引导消费路径，使行为人可以获得最大效用。设生产函数为yt=Akt，其中A反映技术水平，yt、kt和ct分别表示在t时期的生产量、资本量和消费量（ct≥0，kt≥0），k0为初始资本量，得下面模型：
Max■βtln（ct）（1）
s.t. kt+1=yt+（1-δ）kt-ct，yt=Akt，
其中δ为资本折旧率，0≤δ≤1；β为贴现因子，0<β<1；Max■βtln（ct）表示行为人追求一生消费效用的最大化，其中ct是控制变量，kt为状态变量，本期的商品总供给和消费决定了下期的资本数量。令f（kt）=Akt+（1-δ）=kt=（A+1-δ）kt，上述限制条件转化为：s.t. kt+1=f（kt）-ct， f（kt） =（A+1-δ）kt（2）
因为kt+1=f（kt）-ct，所以ct=f（kt）-kt+1，ct可以用kt的函数关系式来表示。求Max∑∞t=0βtln（ct）就是指在约束条件下，找到一个合适路径使得目标函数的值最大。
为了求值方便，将（2）式轉化为连续形式，定义值函数S（k）。根据汉密尔顿方程，得：
s（k）=max{ln[f（k）-k]+βs（k）}=ln[f（k）-h（k）]+βs[h（k）]（3）
在上式中，k相当于kt 、kt+1 ，指当期和下期的资本存量，h（k）是进行递归迭代的策略函数。S（k）、h（k）连续可微。我们估计
S（k）=M+Nln（k）（4）
对（3）、（4）进行一阶求导，并逐期递归迭代可得到值函数Sn（k）：sn（k）=（■βi-1）ln（■）+βn-1ln（A+1-δ）+（■jβj）ln[■]+（∑ns=1βS-1）ln（k）
因为贴现因子0<β<1，易证：当n→∞时，Sn（k）的极限值存在， S（k）==limn→∞sn（k）的极限值就是序列的解。说明得到的函数方程和（4）式的值完全一致，解出M=■ln[（1-β）（A+1-δ）+■ln[β（A+1-δ）]，N=■。
将M和N代入（3）式和（4）式得：
sn（k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（9）
h（k）=β（A+1-δ）k（10）
（9）式也就是目标函数的唯一解。对于任意k0>0，只要令k=g（k）=β（A+1-δ）k可得值函数的最优解。因为目标函数是离散型的，对于任意时期，只要令kt+1，=β（A+1-δ）k，目标函数必然取得最优解。此时，ct=（1-β）（A+1-δ）kt。
综上，目标函数中消费和资本的最优解为：
从上式可以看出：当期消费ct和下期资本kt+1与资本折旧率δ负相关。资本折旧率越大，资本消耗的越多，供消费的产品就越少。政府可以通过宏观政策改变折旧率，加强资本的维护可以降低资本折旧率，比如政府刺激投资，使得维护现有资本的成本高于购置新资本，资本折旧率提高。
当期消费ct和贴现因子β负相关，下期资本kt+1和β正相关。说明贴现因子越小，当期消费越多，人们更愿意当期消费；贴现因子越大，人们更愿意在将来消费，下期的资本存量增加。政府可以通过调整利率和加强福利保障建设来调节贴现因子，从而引导消费和投资。
三、变量对函数S（k）的影响
S（k）指行为人在给定资本的情况下，一生所能达到的总效用。为了讨论的方便，令s（β，δ，k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（12）
由上式，我们不难发现：
1.当0≤β≤1时，■>0恒成立，即β值越大，s（β，δ，k）函数的值越大。由目标函数可知，β值越大，消费的效用越大。
2.■>0，s（β，δ，k）的值是资本存量k的增函数。K的值越大，可用于未来消费的产品就越多，行为人一生的总效用值就越大。
3.■<0，δ的值越大，s（β，δ，k）的值越小，即资本折旧率越高，行为人一生的总效用就越小。政府提高利率和刺激投资都可以引起δ的值提高。
根据上文的假设，不难发现，行为人的消费越大，获得的效用越大，但是消费的过大会引起资本的减少，从而使未来的消费减少，所以应合理地安排消费和投资。政府应该通过调节贴现因子和资本折旧率的值，来引导消费和投资之间的比率。