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【摘要】本文叙述“三角形稳定性的再认识”一课的教学过程，让学生根据“全等三角形判定定理”，用数学证明的方法重新得到“三角形具有稳定性”的结论，从理性的角度指导学生研究三角形的稳定性，提出教师在教学中应向学生“说理”并鼓励学生养成良好的“说理”习惯的教学策略，以发展学生理性思维，培养其逻辑推理意识。
【关键词】三角形稳定性 逻辑推理意识 理性精神
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）12A-0036-04
在以“基于核心素养培养的初中数学课例研究”为主题的教学研讨和展示平台“宝贤课堂”上，广西师范大学漓江学院2015级的学生徐莹姿展示了《三角形稳定性的再认识》这一节课，并在桂林师范高等专科学校专业教师团队的指导下进一步优化了教学设计。
人教版数学八年级上册教材中，对《三角形稳定性》的内容设计为：让学生通过对木条钉成的三角形和四边形“拉一拉”的实验方法，发现“三角形木架的形状不发生改变，而四边形木架的形状会改变”，从而得出“三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性”。然而，实验归纳的方法会受到环境、材料等因素影响，导致实验结果不可靠。随着学生知识的增长和逻辑推理能力的增强，我们选择在学生学习了“三角形全等判定”等知识后，安排“三角形稳定性的再认识”一课，让学生用“数学证明”的方法重新认识“三角形具有稳定性”，培养逻辑推理能力，发展数学核心素养。
一、教学设计与设计意图
（一）冲突重现，感悟推理必要
师：在八年级的学习中，我们用实验的方法得出“三角形具有稳定性”的结论。如图1，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后拉动它，它的形状不会发生改变。如图2，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后拉动它，形状可以发生改变。于是我们得出“三角形具有稳性，而四边形不具有稳定性”的结论。
師：有一名同学在学习过程中不认可教材中的做法。他也做了一个实验。他拿的是这样的金属四边形框架（如图3），拉动它，发现也“拉不动”，所以他得到的结论是“四边形也是有稳定性的”。你同意这位同学的观点吗？这个四边形金属框具有稳定性吗？
（学生陷入迷茫，有的认同，有的不认同。）
师（提出问题一）：做同样的实验探究同一个问题，为什么得到的结论却不同？实验会受测量仪器精度、环境、材料等各种因素的影响，导致结果不一定可靠。如水的沸点会因为环境压强的不同而不同，在化学实验中可能会因为温度条件的不同发生不同的化学反应。我们的实验会因三角形或四边形的材料不同而得到不同的结论。因此，今天我们用理性的方法来重新认识一下三角形的稳定性。
【设计意图】
之所以要再认识“稳定性”，是因为“拉不动=稳定性”这个论断是不严谨的，构成三角形或四边形的不同材质会成为干扰判断的因素之一。通过拉“金属四边形”实验让学生感知通过实验观察得到的结论可能不同，由此引发学生对实验结果可靠性的审视，体会理性思考的必要性。
（二）明确概念，谨立推理前提
师：既然“拉不动≠稳定性”，我们要研究图形的稳定性，就必须先弄明白“什么是图形的稳定性”。
师：通过查阅文献资料可知，几何图形的稳定性指的是图形结构、形状和大小不会改变。
师（提出问题二）：回顾一下，什么是三角形？什么是四边形？如何理解它们的结构、形状和大小？
（三条线段首尾相连所围成的图形称为三角形;四条线段首尾相连所围成的图形称为四边形。三角形和四边形的形状、大小由组成图形的线段决定。）
【设计意图】
要追求永恒的、确定的、可靠的知识，即数学知识逻辑的严密性和结论的可靠性，就要明确概念。教师通过问题“什么是三角形？什么是四边形？如何理解它们的结构、形状和大小？”引导学生复习相关概念，为后续学习铺垫。
（三）活动探究，寻求推理思路
师（讲解活动一）：每四个人一组，每组成员用四根木棍或可看作“线段”的其他材料去围四边形，即四条木棍首尾相连围成的图形，同小组的观察看看“四根棍子能围出多少个四边形”，思考“四条线段能构造出多少个四边形”。
（预设回答：很多个四边形。）
师（总结发现）：给定四条线段可以摆出两个或者多个四边形，摆出的不同图形，它们的形状、大小发生了改变。所以，可以说这四条线段组成的四边形不具有稳定性。
师：找到一个四边形不具有稳定性的例子，我们就可以下结论“四边形不具有稳定性”。
（活动二：同样的分组，每组成员都用三根木棍或可看作“线段”的其他材料去围三角形，即将三条线段首尾相连围成一个图形，同小组的观察看看三根棍子能围出多少个三角形。）
（预设：一个或多个。）
师（提示学生）：将摆出来的三角形画在纸上。因为是用小棒摆着去画，小棒会移动，那么摆好后确定三个顶点的位置，用直尺连接起来就可以了。
师（提出问题三）：这些用同样三根棍子围成的三角形之间有什么关系？
（预设：画出的这些三角形可以重合。也就是说，它们只是摆的位置不同，实际上是全等的，所以它们的形状、大小都一样。）
师（提出问题四）：你能肯定任意三根棍子都只能摆出一个三角形吗？
（教师用“从特殊到一般的归纳不一定完全”的例子告诉学生：实验归纳的结果不一定靠谱，需要证明或者证否。）
师（提出问题五）：能证明吗？从实验过程，你有什么证明思路？
（预设：证明全等。）
【设计意图】
实验结果虽然不可靠，却为发现证明思路提供“土壤”，尤其在课堂教学中，恰当的数学活动有益于学生寻求思路、激发兴趣。通过两个动手实验，学生思维火花被点燃，为接下来进行数学证明创造条件。 （四）理性思考，推理证明过程
师：我们假设给定1、2、3三条线段可以围成两个或者两个以上三角形，只要证明得到的这两个三角形完全相同就可以了。
师：两个三角形怎样才称得上完全相同？（三角形全等）那又该怎样判定这些由给定的三条线段围成的三角形是全等的？（“SSS判定定理”）现在我们来一起写一下证明过程。
师：给定三条线段所围成的所有三角形都是全等的。全等意味着能重合，对应边、对应角、面积……都相等。所以，它们的结构、形状和大小都不变，从而三角形具有稳定性。
师：给定一个三角形，意味着给定了构成这个三角形的三条线段（三条边），这样的三角形就唯一确定了，因此三角形具有稳定性。于是，我们通过数学证明的方法得到了“三角形是具有稳定性的”。
【设计意图】
教师带领学生根据“SSS判定定理”证明了给定三条边长的两个三角形全等，让学生用理性的眼光重新审视已知结论，明确结论成立的原因，从而培养学生的逻辑推理能力，发展理性精神。
（五）小结反思，铸就理性精神
师（提出问题六）：我们曾通过实验归纳的方法得到“三角形具有稳定性”，请同学们分组讨论，通过实例来说一说“实验归纳”存在哪些缺陷？重温我们前面学习过的一篇数学课文《为什么要证明》，谈一谈为什么我们今天还要从理性的角度重新认识“三角形具有稳定性”。
1.受实验的环境、实验的器材等影响，实验结果可能不一致，实验的结果不可靠
生1：在本节课中，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后拉动它，形状可以发生改变，从而得出“四边形不具有稳定性”的结论。而将四根钢条焊成一个四边形框架，然后拉动它，形状不容易发生改变，得出“四边形具有稳定性”的结论。
生2：我们在小学六年级时，老师让我们画圆的半径，有的同学的铅笔比较粗，他得到的结论是“圆的半径只有有限条”，这显然是错误的。
2.受测量仪器的精确度、测量操作规范程度和技術等影响，实验结果可能不一致，结论不可靠
生1：我们在学习“三角形内角和”时进行了“量一量”“算一算”实验操作，多数测量和计算的结果不是刚好180°，而是在180°左右，测量结果不一致。实验操作时，受测量仪器的精确度的影响而出现误差是实验活动中不可避免的现象，如果事先不知道“三角形内角和是180°，通过“量一量”“算一算”实验是很难发现三角形内角和定理的。
生2：在小学六年级通过测量圆形实物的周长和直径并计算它们的比值来计算圆周率，我们得到的圆周率只是“三倍多一些”，我们当时每一次的实验数据都不一样。用实验的方法得不到“圆周率是一个固定不变的数”这个结论。
3.“眼见未必为实”，而实验结果往往依靠观察，因此结果未必靠谱
师：同学们观察图6这两个角，判断它们是否是平角。（多数学生认为它们是平角）实际上∠AOB=179.5°，∠COD=181°。“眼见未必为实”，通过观察得到的结论是不可靠、不严谨的。
4.实验操作后还需归纳概括才能总结出“一般”的具有普遍性的结论，“从特殊到一般的归纳”并不完全，结论未必可靠
师：从前有一个人想吃李子，于是打发他儿子到果园去买，“要甜的，好吃的，你才买。”儿子到了果园，园主说，“我这里树上的李子个个都是甜的，你尝几个看。”儿子选了三棵树上的3个李子品尝，果然都是甜的，从而认为“树上的李子个个都是甜的”，于是他就买了一筐李子回去。回到家吃的时候，他发现有部分李子是酸的。
师：虽然归纳是发现数学结论的一个重要方法，我们一定要意识到“归纳推理所得的结论并不可靠，仍需演绎推理来论证”。在数学学习中，同学们要养成用理性思维去思考问题的习惯，铸就理性精神，崇尚理性、数学证明。
【设计意图】
数学教学要给学生“说理”，鼓励学生用理性的思维去思考问题，铸就理性的精神，让学生从“显然正确，不用验证”转变为“崇尚理性、数学证明”，让学生在数学课堂中经历一次思想上的飞跃。
师（提出问题七）：今天的课，我们做了实验吗？为什么我们还要做实验？
生：做了，“围一围”的实验过程让我们找到了证明的思路。
生：在证明结论之前，我们做了“拉一拉”的实验，猜测哪些图形可能具有稳定性，哪些图形可能不具有稳定性。
师：在解决问题的过程中，“实验归纳”与“逻辑推理”功能不同，相辅相成。“实验归纳”用于探索思路，发现结论;“逻辑推理”用于证明结论。在提炼与获得数学结论过程中，猜想与证明是两大基本支柱，数学结论的孕育有赖于猜想，数学结论的确立离不开证明。
【设计意图】
数学课程标准明确要求：初中阶段应该明确地告诉学生，实验归纳对于探索规律和发现结论是不可或缺的。但是，实验归纳的结论可能是正确的，也可能是错误的，还需要依靠逻辑推理去证明或者证否，要让学生对此有清醒的认识。
师（提出问题八）：在一场答辩中，要求参加答辩的数学教师用理性方法证明三角形具有稳定性，一些教师居然没能给出证明。导致这些教师回答不出来的原因是什么？给我们的启示是什么？
……
师：青取之于蓝而胜于蓝，同学们想要避免这些教师答辩时碰到的尴尬，平时学习数学要养成良好的“说理”习惯。
【设计意图】
教师通过实例鼓励学生在平时学习数学时养成良好的“说理”习惯，对学生进行情感渗透，进一步完善课堂。
二、课后反思
教材中的短短的一段话是否值得教师花费一个课时进行教学？事实上，本课立足于学生对三角形的稳定性产生怀疑，进而明确数学中稳定性的概念，并对实验归纳得到的结论不一定正确产生直观的认知，用初中阶段学过的三角形全等知识和逻辑推理方法证明“三角形具有稳定性”，解决了学生的疑惑，在一定程度上鼓励学生“存疑求真”。另一方面，随着学生知识的增长和逻辑推理能力的增强，用数学证明的方法引导学生重新认识“三角形具有稳定性”，能够培养学生的逻辑推理意识、铸就理性精神，对发展学生数学核心素养具有重要的意义。
（责编 刘小瑗）
【关键词】三角形稳定性 逻辑推理意识 理性精神
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）12A-0036-04
在以“基于核心素养培养的初中数学课例研究”为主题的教学研讨和展示平台“宝贤课堂”上，广西师范大学漓江学院2015级的学生徐莹姿展示了《三角形稳定性的再认识》这一节课，并在桂林师范高等专科学校专业教师团队的指导下进一步优化了教学设计。
人教版数学八年级上册教材中，对《三角形稳定性》的内容设计为：让学生通过对木条钉成的三角形和四边形“拉一拉”的实验方法，发现“三角形木架的形状不发生改变，而四边形木架的形状会改变”，从而得出“三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性”。然而，实验归纳的方法会受到环境、材料等因素影响，导致实验结果不可靠。随着学生知识的增长和逻辑推理能力的增强，我们选择在学生学习了“三角形全等判定”等知识后，安排“三角形稳定性的再认识”一课，让学生用“数学证明”的方法重新认识“三角形具有稳定性”，培养逻辑推理能力，发展数学核心素养。
一、教学设计与设计意图
（一）冲突重现，感悟推理必要
师：在八年级的学习中，我们用实验的方法得出“三角形具有稳定性”的结论。如图1，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后拉动它，它的形状不会发生改变。如图2，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后拉动它，形状可以发生改变。于是我们得出“三角形具有稳性，而四边形不具有稳定性”的结论。
師：有一名同学在学习过程中不认可教材中的做法。他也做了一个实验。他拿的是这样的金属四边形框架（如图3），拉动它，发现也“拉不动”，所以他得到的结论是“四边形也是有稳定性的”。你同意这位同学的观点吗？这个四边形金属框具有稳定性吗？
（学生陷入迷茫，有的认同，有的不认同。）
师（提出问题一）：做同样的实验探究同一个问题，为什么得到的结论却不同？实验会受测量仪器精度、环境、材料等各种因素的影响，导致结果不一定可靠。如水的沸点会因为环境压强的不同而不同，在化学实验中可能会因为温度条件的不同发生不同的化学反应。我们的实验会因三角形或四边形的材料不同而得到不同的结论。因此，今天我们用理性的方法来重新认识一下三角形的稳定性。
【设计意图】
之所以要再认识“稳定性”，是因为“拉不动=稳定性”这个论断是不严谨的，构成三角形或四边形的不同材质会成为干扰判断的因素之一。通过拉“金属四边形”实验让学生感知通过实验观察得到的结论可能不同，由此引发学生对实验结果可靠性的审视，体会理性思考的必要性。
（二）明确概念，谨立推理前提
师：既然“拉不动≠稳定性”，我们要研究图形的稳定性，就必须先弄明白“什么是图形的稳定性”。
师：通过查阅文献资料可知，几何图形的稳定性指的是图形结构、形状和大小不会改变。
师（提出问题二）：回顾一下，什么是三角形？什么是四边形？如何理解它们的结构、形状和大小？
（三条线段首尾相连所围成的图形称为三角形;四条线段首尾相连所围成的图形称为四边形。三角形和四边形的形状、大小由组成图形的线段决定。）
【设计意图】
要追求永恒的、确定的、可靠的知识，即数学知识逻辑的严密性和结论的可靠性，就要明确概念。教师通过问题“什么是三角形？什么是四边形？如何理解它们的结构、形状和大小？”引导学生复习相关概念，为后续学习铺垫。
（三）活动探究，寻求推理思路
师（讲解活动一）：每四个人一组，每组成员用四根木棍或可看作“线段”的其他材料去围四边形，即四条木棍首尾相连围成的图形，同小组的观察看看“四根棍子能围出多少个四边形”，思考“四条线段能构造出多少个四边形”。
（预设回答：很多个四边形。）
师（总结发现）：给定四条线段可以摆出两个或者多个四边形，摆出的不同图形，它们的形状、大小发生了改变。所以，可以说这四条线段组成的四边形不具有稳定性。
师：找到一个四边形不具有稳定性的例子，我们就可以下结论“四边形不具有稳定性”。
（活动二：同样的分组，每组成员都用三根木棍或可看作“线段”的其他材料去围三角形，即将三条线段首尾相连围成一个图形，同小组的观察看看三根棍子能围出多少个三角形。）
（预设：一个或多个。）
师（提示学生）：将摆出来的三角形画在纸上。因为是用小棒摆着去画，小棒会移动，那么摆好后确定三个顶点的位置，用直尺连接起来就可以了。
师（提出问题三）：这些用同样三根棍子围成的三角形之间有什么关系？
（预设：画出的这些三角形可以重合。也就是说，它们只是摆的位置不同，实际上是全等的，所以它们的形状、大小都一样。）
师（提出问题四）：你能肯定任意三根棍子都只能摆出一个三角形吗？
（教师用“从特殊到一般的归纳不一定完全”的例子告诉学生：实验归纳的结果不一定靠谱，需要证明或者证否。）
师（提出问题五）：能证明吗？从实验过程，你有什么证明思路？
（预设：证明全等。）
【设计意图】
实验结果虽然不可靠，却为发现证明思路提供“土壤”，尤其在课堂教学中，恰当的数学活动有益于学生寻求思路、激发兴趣。通过两个动手实验，学生思维火花被点燃，为接下来进行数学证明创造条件。 （四）理性思考，推理证明过程
师：我们假设给定1、2、3三条线段可以围成两个或者两个以上三角形，只要证明得到的这两个三角形完全相同就可以了。
师：两个三角形怎样才称得上完全相同？（三角形全等）那又该怎样判定这些由给定的三条线段围成的三角形是全等的？（“SSS判定定理”）现在我们来一起写一下证明过程。
师：给定三条线段所围成的所有三角形都是全等的。全等意味着能重合，对应边、对应角、面积……都相等。所以，它们的结构、形状和大小都不变，从而三角形具有稳定性。
师：给定一个三角形，意味着给定了构成这个三角形的三条线段（三条边），这样的三角形就唯一确定了，因此三角形具有稳定性。于是，我们通过数学证明的方法得到了“三角形是具有稳定性的”。
【设计意图】
教师带领学生根据“SSS判定定理”证明了给定三条边长的两个三角形全等，让学生用理性的眼光重新审视已知结论，明确结论成立的原因，从而培养学生的逻辑推理能力，发展理性精神。
（五）小结反思，铸就理性精神
师（提出问题六）：我们曾通过实验归纳的方法得到“三角形具有稳定性”，请同学们分组讨论，通过实例来说一说“实验归纳”存在哪些缺陷？重温我们前面学习过的一篇数学课文《为什么要证明》，谈一谈为什么我们今天还要从理性的角度重新认识“三角形具有稳定性”。
1.受实验的环境、实验的器材等影响，实验结果可能不一致，实验的结果不可靠
生1：在本节课中，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后拉动它，形状可以发生改变，从而得出“四边形不具有稳定性”的结论。而将四根钢条焊成一个四边形框架，然后拉动它，形状不容易发生改变，得出“四边形具有稳定性”的结论。
生2：我们在小学六年级时，老师让我们画圆的半径，有的同学的铅笔比较粗，他得到的结论是“圆的半径只有有限条”，这显然是错误的。
2.受测量仪器的精确度、测量操作规范程度和技術等影响，实验结果可能不一致，结论不可靠
生1：我们在学习“三角形内角和”时进行了“量一量”“算一算”实验操作，多数测量和计算的结果不是刚好180°，而是在180°左右，测量结果不一致。实验操作时，受测量仪器的精确度的影响而出现误差是实验活动中不可避免的现象，如果事先不知道“三角形内角和是180°，通过“量一量”“算一算”实验是很难发现三角形内角和定理的。
生2：在小学六年级通过测量圆形实物的周长和直径并计算它们的比值来计算圆周率，我们得到的圆周率只是“三倍多一些”，我们当时每一次的实验数据都不一样。用实验的方法得不到“圆周率是一个固定不变的数”这个结论。
3.“眼见未必为实”，而实验结果往往依靠观察，因此结果未必靠谱
师：同学们观察图6这两个角，判断它们是否是平角。（多数学生认为它们是平角）实际上∠AOB=179.5°，∠COD=181°。“眼见未必为实”，通过观察得到的结论是不可靠、不严谨的。
4.实验操作后还需归纳概括才能总结出“一般”的具有普遍性的结论，“从特殊到一般的归纳”并不完全，结论未必可靠
师：从前有一个人想吃李子，于是打发他儿子到果园去买，“要甜的，好吃的，你才买。”儿子到了果园，园主说，“我这里树上的李子个个都是甜的，你尝几个看。”儿子选了三棵树上的3个李子品尝，果然都是甜的，从而认为“树上的李子个个都是甜的”，于是他就买了一筐李子回去。回到家吃的时候，他发现有部分李子是酸的。
师：虽然归纳是发现数学结论的一个重要方法，我们一定要意识到“归纳推理所得的结论并不可靠，仍需演绎推理来论证”。在数学学习中，同学们要养成用理性思维去思考问题的习惯，铸就理性精神，崇尚理性、数学证明。
【设计意图】
数学教学要给学生“说理”，鼓励学生用理性的思维去思考问题，铸就理性的精神，让学生从“显然正确，不用验证”转变为“崇尚理性、数学证明”，让学生在数学课堂中经历一次思想上的飞跃。
师（提出问题七）：今天的课，我们做了实验吗？为什么我们还要做实验？
生：做了，“围一围”的实验过程让我们找到了证明的思路。
生：在证明结论之前，我们做了“拉一拉”的实验，猜测哪些图形可能具有稳定性，哪些图形可能不具有稳定性。
师：在解决问题的过程中，“实验归纳”与“逻辑推理”功能不同，相辅相成。“实验归纳”用于探索思路，发现结论;“逻辑推理”用于证明结论。在提炼与获得数学结论过程中，猜想与证明是两大基本支柱，数学结论的孕育有赖于猜想，数学结论的确立离不开证明。
【设计意图】
数学课程标准明确要求：初中阶段应该明确地告诉学生，实验归纳对于探索规律和发现结论是不可或缺的。但是，实验归纳的结论可能是正确的，也可能是错误的，还需要依靠逻辑推理去证明或者证否，要让学生对此有清醒的认识。
师（提出问题八）：在一场答辩中，要求参加答辩的数学教师用理性方法证明三角形具有稳定性，一些教师居然没能给出证明。导致这些教师回答不出来的原因是什么？给我们的启示是什么？
……
师：青取之于蓝而胜于蓝，同学们想要避免这些教师答辩时碰到的尴尬，平时学习数学要养成良好的“说理”习惯。
【设计意图】
教师通过实例鼓励学生在平时学习数学时养成良好的“说理”习惯，对学生进行情感渗透，进一步完善课堂。
二、课后反思
教材中的短短的一段话是否值得教师花费一个课时进行教学？事实上，本课立足于学生对三角形的稳定性产生怀疑，进而明确数学中稳定性的概念，并对实验归纳得到的结论不一定正确产生直观的认知，用初中阶段学过的三角形全等知识和逻辑推理方法证明“三角形具有稳定性”，解决了学生的疑惑，在一定程度上鼓励学生“存疑求真”。另一方面，随着学生知识的增长和逻辑推理能力的增强，用数学证明的方法引导学生重新认识“三角形具有稳定性”，能够培养学生的逻辑推理意识、铸就理性精神，对发展学生数学核心素养具有重要的意义。
（责编 刘小瑗）