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摘要：结合一些具体实例讨论了如何通过培养和提高中学生建模能力，去加强学生认识和学习数学的兴趣，从而更好地增强学生学习的能动性。
关键词：数学建模能力 培养兴趣 学习的能动性
一、引言
2003年教育部颁布的中学数学课程标准里，数学建模成了十分重要的组成部分，标志着数学建模正式进入我国中学数学教学中。中学生接触的大多数是传统的文字应用题，带有很强的人工化，形式化，对数学建模相对生疏。课本上传统的文字应用题往往条件清楚准确、不多不少、结果唯一确定，解出的结果很少要求学生思考是否符合实际。因此，就更加不会去考虑是否需要调整和修改已有的模型。而这些正是数学建模过程的难点和重点。数学建模强调用所学的数学知识解决问题，提倡的是“想用、能用、会用”的“用”数学的意识。这正是新课标指出的：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境， 引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。”
二、如何培养和提高中学生建模能力
数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生的用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。要教会学生建模，培养学生如下几方面的能力是关键。
（一）培养“翻译”能力
1.审题。包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。就是弄清题目所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；抓住题目中的主要问题，正确识别其类型。
2.问题转化。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。一般有关系分析法，列表分析法和图像分析法。
（二）培养用数学分析意识和创造能力
第一，教师在教学中应注意在从具体到抽象的学习过程中， 让学生对数学知识的来龙去脉有着清晰的认识，而非横空出世。即要结合学生熟悉的事物善于深入浅出地提出数学问题、讲解数学问题，把数学与生活紧密地结合起来；第二，教师要合理引导学生发挥主观能动性，体验数学的再创造过程，从而自我建构数学知识，形成数学思想方法的活动。即要营造一个激励探索和理解的气氛，让学生在观察体验、动手实践的基础上学会把眼前的问题与自己已有的知识体验之间发生关联，从中有效地学习方程思想、数形结合思想、分类思想，学习建模思想、转化思想、整体思想和概率统计思想等方法。
（三）培养想象力
想象力是人類特有的一种思维能力，是人们在原有知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出新形象的能力。爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”
实例一：某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？
这是一个测试想象能力的简单题目，似乎条件不够，无法回答。但只要换一种想法，问题就迎刃而解了。假设他的妻子遇到他后载着他仍旧开往会合地点，那么他就不会提前回家了。提前的十分钟从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。
（四）培养发散性思维及创新能力
所谓发散性思维，是指针对同一问题，沿着不同的方向去思考，从不同角度、不同侧面对所给信息或条件加以重新组合，横向拓展思路、纵向深入探索研究、逆向反复比较，从而找出多种合乎条件的可能答案、结论或假说的思维过程和方法，即常说的“条条道路通罗马”。
实例二：华盛顿大学教授卡兰得卡给学生出了一道题：“试证明怎么能够用一个气压计测定一栋高楼的高度”。
一个学生给出了如下答案：“把气压计拿到高楼顶部，用一根长绳子系住气压计，然后把气压计从楼顶向楼下坠，直到坠到街面为止；然后把气压计拉上楼顶，测量绳子放下的长度。这长度即为楼的高度。”“把气压计拿到楼顶，让它斜靠在屋顶的边缘处。让气压计从屋顶落下，用秒表记下它落下的时间，然后用落下的距离等于重力加速度乘以下落时间的平方的一半算出建筑物的高度。”“可以在有太阳的日子在楼顶记下气压表的高度和它影子的长度，又测出建筑物影子的长度，就可以利用简单的比例关系，算出建筑物的高度。”“还有一个最基本的测量方法。拿着气压表，从一楼登梯而上，登楼时，用符号标出气压表上的水银高度，这样可以用气压表的单位得到这栋楼的高度。这个方法最直截了当。”“当然，如果还想得到更精确的答案，可以用一根弦的一端系住气压表，把它像一个摆那样摆动，然后测出街面和楼顶的g值 （重力加速度）。从两个g值之差，在原则上就可以算出楼顶高度。”“如果不限制用物理学方法回答这个问题，还有许多其他方法。例如，拿上气压表走到楼房底层，敲管理人员的门。当管理人员应声时，你对他说下面一句话，‘亲爱的管理员先生，我有一个很漂亮的气压表。如果你告诉我这栋楼的高度，我将把这个气压表送给您。’”当然最后这个只不过是一个笑话。这种近乎抬杠的方法我们并不提倡，但他这种不被传统固有知识所限制，举一反三，努力提出新方案的思维方式，正是我们提倡的发散性思维。
（五）培养表达的能力
中学建模的结果常常需要以解题报告或论文的形式写出来，这就要求教师引导学生逐步达到能够将自己所做的工作用准确严密的语言表述出来，加强对学生的写作和表达能力的锻炼。教师可以通过一些具体的例子来分组锻炼学生合作建模并表述建模过程，之后分组指导并改进论文，选取较为优秀的论文作为建模课程的范例进行讲解，引导学生展开讨论，从而改进建模方法和解题过程，提高学生的解题能力和写作能力。 三、实例分析
（一）问题及分析
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油的要求。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），兩个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
■
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用为21.4（万元/千米），油田设计院希望通过数学方法设计一种建设费用最省方案。
（二）建立模型及求解
由于A厂、B厂与铁路的位置一定，但由于A厂、B厂分别在郊区与城区，而铺设在城区管线还需要增加拆迁和工程补偿等附加费用。故可按如下情形进行讨论：车站可能建在Ⅰ区，可能建在Ⅱ区。为此，分如下情形讨论：
■
■
方案（1） 设AT=x，TM=y，则x■=25+CT■，CT=■，TD=20-■由Rt△FMT∽Rt△BDT可得：■=■=■
则MD=20-■-y=5，BD=8，MF=■
可得 BF=BT-FT
=■■，
总费用 W=7.2（AT+TB）+21.4BF
=7.2（x+■+21.4■■，
由于W为关于x的一元函数，为使总费用最小，只需求导并令导数等于零即可。即解方程■=0，则可得x即转接点的位置，从而得到最佳设计方案及最省费用。
由计算得：x=6.69，Wmin=294.43。
方案（2） 设MT=y，则DT=5-y，管线长度L=AQ+QT+BT，
由Rt△TQM∽Rt△TAC可得： ■=■=■，
所以 TQ=■■，QM=■，
则AQ=AT-QT=■■，BT=■=■，
因此，总费用 W=7.2（AT+TB）+21.4（QT+TB）=7.2（■+■）+21.4（■■+■）
由于W是关于y的一元函数，对y求导并令倒数等于零即可。
从而可以得到最佳设计方案及最省费用：y■=0，W■=383.654。
四、结语
在中学数学教学过程中融入数学建模思想， 一方面能使学生逐步熟悉和掌握利用数学方法来解决实际问题。这将使学生对数学方法的运用产生兴趣，并逐步提高解决实际问题的能力。另一方面对于从事多年传统数学教学的教师来说，也是一项转变教学观念，更新教学方法的实践，能使教师的数学教学从与实际脱节的理论传授方式向实际的应用数学模式转化。
参考文献：
[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京： 高等教育出版社，2004.
[2]姜启源.数学建模[M].北京： 高等教育出版社，2002.
（责编 赵建荣）
关键词：数学建模能力 培养兴趣 学习的能动性
一、引言
2003年教育部颁布的中学数学课程标准里，数学建模成了十分重要的组成部分，标志着数学建模正式进入我国中学数学教学中。中学生接触的大多数是传统的文字应用题，带有很强的人工化，形式化，对数学建模相对生疏。课本上传统的文字应用题往往条件清楚准确、不多不少、结果唯一确定，解出的结果很少要求学生思考是否符合实际。因此，就更加不会去考虑是否需要调整和修改已有的模型。而这些正是数学建模过程的难点和重点。数学建模强调用所学的数学知识解决问题，提倡的是“想用、能用、会用”的“用”数学的意识。这正是新课标指出的：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境， 引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。”
二、如何培养和提高中学生建模能力
数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，进一步培养学生的用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。要教会学生建模，培养学生如下几方面的能力是关键。
（一）培养“翻译”能力
1.审题。包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。就是弄清题目所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；抓住题目中的主要问题，正确识别其类型。
2.问题转化。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。一般有关系分析法，列表分析法和图像分析法。
（二）培养用数学分析意识和创造能力
第一，教师在教学中应注意在从具体到抽象的学习过程中， 让学生对数学知识的来龙去脉有着清晰的认识，而非横空出世。即要结合学生熟悉的事物善于深入浅出地提出数学问题、讲解数学问题，把数学与生活紧密地结合起来；第二，教师要合理引导学生发挥主观能动性，体验数学的再创造过程，从而自我建构数学知识，形成数学思想方法的活动。即要营造一个激励探索和理解的气氛，让学生在观察体验、动手实践的基础上学会把眼前的问题与自己已有的知识体验之间发生关联，从中有效地学习方程思想、数形结合思想、分类思想，学习建模思想、转化思想、整体思想和概率统计思想等方法。
（三）培养想象力
想象力是人類特有的一种思维能力，是人们在原有知识的基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工处理，创造出新形象的能力。爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”
实例一：某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？
这是一个测试想象能力的简单题目，似乎条件不够，无法回答。但只要换一种想法，问题就迎刃而解了。假设他的妻子遇到他后载着他仍旧开往会合地点，那么他就不会提前回家了。提前的十分钟从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。
（四）培养发散性思维及创新能力
所谓发散性思维，是指针对同一问题，沿着不同的方向去思考，从不同角度、不同侧面对所给信息或条件加以重新组合，横向拓展思路、纵向深入探索研究、逆向反复比较，从而找出多种合乎条件的可能答案、结论或假说的思维过程和方法，即常说的“条条道路通罗马”。
实例二：华盛顿大学教授卡兰得卡给学生出了一道题：“试证明怎么能够用一个气压计测定一栋高楼的高度”。
一个学生给出了如下答案：“把气压计拿到高楼顶部，用一根长绳子系住气压计，然后把气压计从楼顶向楼下坠，直到坠到街面为止；然后把气压计拉上楼顶，测量绳子放下的长度。这长度即为楼的高度。”“把气压计拿到楼顶，让它斜靠在屋顶的边缘处。让气压计从屋顶落下，用秒表记下它落下的时间，然后用落下的距离等于重力加速度乘以下落时间的平方的一半算出建筑物的高度。”“可以在有太阳的日子在楼顶记下气压表的高度和它影子的长度，又测出建筑物影子的长度，就可以利用简单的比例关系，算出建筑物的高度。”“还有一个最基本的测量方法。拿着气压表，从一楼登梯而上，登楼时，用符号标出气压表上的水银高度，这样可以用气压表的单位得到这栋楼的高度。这个方法最直截了当。”“当然，如果还想得到更精确的答案，可以用一根弦的一端系住气压表，把它像一个摆那样摆动，然后测出街面和楼顶的g值 （重力加速度）。从两个g值之差，在原则上就可以算出楼顶高度。”“如果不限制用物理学方法回答这个问题，还有许多其他方法。例如，拿上气压表走到楼房底层，敲管理人员的门。当管理人员应声时，你对他说下面一句话，‘亲爱的管理员先生，我有一个很漂亮的气压表。如果你告诉我这栋楼的高度，我将把这个气压表送给您。’”当然最后这个只不过是一个笑话。这种近乎抬杠的方法我们并不提倡，但他这种不被传统固有知识所限制，举一反三，努力提出新方案的思维方式，正是我们提倡的发散性思维。
（五）培养表达的能力
中学建模的结果常常需要以解题报告或论文的形式写出来，这就要求教师引导学生逐步达到能够将自己所做的工作用准确严密的语言表述出来，加强对学生的写作和表达能力的锻炼。教师可以通过一些具体的例子来分组锻炼学生合作建模并表述建模过程，之后分组指导并改进论文，选取较为优秀的论文作为建模课程的范例进行讲解，引导学生展开讨论，从而改进建模方法和解题过程，提高学生的解题能力和写作能力。 三、实例分析
（一）问题及分析
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油的要求。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），兩个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
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若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用为21.4（万元/千米），油田设计院希望通过数学方法设计一种建设费用最省方案。
（二）建立模型及求解
由于A厂、B厂与铁路的位置一定，但由于A厂、B厂分别在郊区与城区，而铺设在城区管线还需要增加拆迁和工程补偿等附加费用。故可按如下情形进行讨论：车站可能建在Ⅰ区，可能建在Ⅱ区。为此，分如下情形讨论：
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方案（1） 设AT=x，TM=y，则x■=25+CT■，CT=■，TD=20-■由Rt△FMT∽Rt△BDT可得：■=■=■
则MD=20-■-y=5，BD=8，MF=■
可得 BF=BT-FT
=■■，
总费用 W=7.2（AT+TB）+21.4BF
=7.2（x+■+21.4■■，
由于W为关于x的一元函数，为使总费用最小，只需求导并令导数等于零即可。即解方程■=0，则可得x即转接点的位置，从而得到最佳设计方案及最省费用。
由计算得：x=6.69，Wmin=294.43。
方案（2） 设MT=y，则DT=5-y，管线长度L=AQ+QT+BT，
由Rt△TQM∽Rt△TAC可得： ■=■=■，
所以 TQ=■■，QM=■，
则AQ=AT-QT=■■，BT=■=■，
因此，总费用 W=7.2（AT+TB）+21.4（QT+TB）=7.2（■+■）+21.4（■■+■）
由于W是关于y的一元函数，对y求导并令倒数等于零即可。
从而可以得到最佳设计方案及最省费用：y■=0，W■=383.654。
四、结语
在中学数学教学过程中融入数学建模思想， 一方面能使学生逐步熟悉和掌握利用数学方法来解决实际问题。这将使学生对数学方法的运用产生兴趣，并逐步提高解决实际问题的能力。另一方面对于从事多年传统数学教学的教师来说，也是一项转变教学观念，更新教学方法的实践，能使教师的数学教学从与实际脱节的理论传授方式向实际的应用数学模式转化。
参考文献：
[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京： 高等教育出版社，2004.
[2]姜启源.数学建模[M].北京： 高等教育出版社，2002.
（责编 赵建荣）