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约数和函数是一类基本而又重要的数论函数。本文推广了由Bencze提出的两个公开问题的结论,证明了对于任意给定的正整数k和非零整数b,均存在无穷多个正整数n,使得以下三个不等式同时成立:σ(n)-σ(n+b)>kn,σ(n)>kσ(n+1),σ(n)>kσ(n-1),其中δ(n)为任意正整数n的不同约数之和。