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【摘要】 数量比较抽象,难以把握,但图形具有形象、直观的优点,能表达较多具体的思维. 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”、“以数解形”,也就是抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,提高数学教学与学习效率的思想. 本论文论述的就是如何将数形结合思想与初中数学教学结合起来,用好数形结合去实现初中数学的高效教学.
【关键词】 初中数学;数形结合思想;教学研究
初中阶段的学生,抽象思维应用能力较弱,在学习对抽象思维要求较高的数学时,会存在较多困难,而数形结合思想的引入可以帮助学生更容易的理解数学语言、概念,学好这门课程. 数形结合思想在初中数学教学中的实践运用可概括为“以形助数”、“以数解形”两方面,分别应用于简化、解决代数问题和几何问题.
一、“以形助数”,提高代数教学效率
“以形助数”指根据给出的“数”的结构特点,构造出与之对应的几何图形,或根据已给图形分析数的特点,从而化抽象为直观,把复杂问题简单化. 一般表现在两个方面:一是“以形促数”,即利用图形的直观性促进学生理解数或数之间的关系;二是“数难形易”,突出依托图形的直观性,展开形象思维以解决代数问题.
(一)在概念教学过程中的应用
概念是数学基础知识的重要组成部分,数学中的法则都是建立在一系列概念基础上的,初中数学教学中,在帮助学生掌握、理解、巩固概念时,数形结合思想可发挥重要作用.
例如在学习有理数的概念时,数形结合可以非常好的帮助学生理解负数、相反数、绝对值等概念,直观的比较出数的大小. 负数的概念:小于0的数称为负数,在数轴上表示为原点左边的数.
相反数的概念:在数轴上,与原点距离相等的两个数称为相反数. 0的相反数是0
绝對值的概念:在数轴上,一个数的绝对值为这个数与原点的距离. 见图1.
(二)在解题教学过程中的应用
“以形助数”在解决初中数学中的代数问题时应用广泛,以图形作为辅助解题手段,能有效启发学生的形象思维,找到解决问题的最优方法.
例:求二次不等式x2 2x - 3 > 0的解集.
按照纯代数解法是首先将以上二次不等式转化为(x 3)(x - 1) > 0,在转化为两个不等式组x 3 > 0、x - 1 > 0和x 3 < 0、x - 1 < 0,然后求得结论.
若应用以形助数思路,获得正确结论的速度和直观性和上述方法不可比拟的. 步骤为,先求出一元二次方程x2 2x - 3 = 0的两个根,即:x1 = -3,x2 = 1,再画出y = x2 2x - 3的函数图像. 见图2.
从图2中,x2 2x - 3 > 0的解集一目了然. 同时又把一元二次方程、一元二次不等式、二次函数通过图像的制作过程直观的联系了起来,能帮助学生在数形结合的过程中理解、掌握和强化以上知识,提高分析、解决相关问题的能力.
二、“以数解形”,利用代数性质解决几何问题
以数助形即有关“形”的问题可借助数式的推演,使之量化,从而准确揭示“形”的性质. 也就是说,从“形”的表象找到“数”的实质,将纯几何问题在“数”的引导和应用下得到最简便合理的解决,由表及里、形中有数,就是数形结合中的“以数解形”.
(一)在概念教学过程中的应用
以学习平面几何中有关圆的内容为例,教师为让学生辨清并牢记点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等概念,就可以应用数形结合思想,通过数来帮助学生理解图形的空间位置.
理解圆与圆的位置关系,可设大小两个圆的半径分别为R和r,R > r,两个圆的圆心距为d,见图3.
则此时可引入“数”来辅助学生理解圆的相切、相离、相交、同心等位置关系. 即:
当d > R r时,两圆位置关系为外离;
当d = R r时,两圆位置关系为外切;
当R - r < d < R r时,两圆位置关系为相交;
当d = R - r时,两圆位置关系为内切;
当d < R - r时,两圆位置关系为内离;
当d = 0时,两个圆的圆心重合,即为同心.
(二)在解题教学过程中的应用
几何题由于有图形显得较为直观,但对于结论与已知条件相距甚远,难以参透其中联系的题型,常常难以找到解题途径,此时引入数的概念,用代数方法去解决几何问题,思路往往能一下子豁然开朗.
三、数形结合思想应用在教学中的必要性
数学研究的是数量关系和空间形式,空间形式最主要的表现就是“图形”,因此“数”与“形”是数学的基本研究对象,也是数学思维的基本内容,因此在初中数学教学实践中,数形结合思想不可或缺. 在教学过程中,教师应注重传授学生“以数解形”与“以形助数”的思维方式,有意识的引导学生应用数形结合的思想去分析和解决问题,注意着重培养学生观察和挖掘图形蕴含的数量关系、正确绘制图形反映相应的数量关系,切实把握“数”与“形”的对应关系等能力,加深学生对所学数学知识的理解与掌握,开拓学生创造型抽象思维,提高学生思维素质,为今后数学学习打好基础.
【参考文献】
[1]杨艳丽. 浅谈初中数学教学中的数形结合[J].数理天地(初中版),2014,(04):35-36.
[2]闫林.数形结合思想在中学数学教学中的应用[J].才智,2009,(15):15-18.
[3]唐新阳. 数形结合思想及其在初中数学教学中的应用[D]. 浙江:嘉兴学院,2009:7-8.
【关键词】 初中数学;数形结合思想;教学研究
初中阶段的学生,抽象思维应用能力较弱,在学习对抽象思维要求较高的数学时,会存在较多困难,而数形结合思想的引入可以帮助学生更容易的理解数学语言、概念,学好这门课程. 数形结合思想在初中数学教学中的实践运用可概括为“以形助数”、“以数解形”两方面,分别应用于简化、解决代数问题和几何问题.
一、“以形助数”,提高代数教学效率
“以形助数”指根据给出的“数”的结构特点,构造出与之对应的几何图形,或根据已给图形分析数的特点,从而化抽象为直观,把复杂问题简单化. 一般表现在两个方面:一是“以形促数”,即利用图形的直观性促进学生理解数或数之间的关系;二是“数难形易”,突出依托图形的直观性,展开形象思维以解决代数问题.
(一)在概念教学过程中的应用
概念是数学基础知识的重要组成部分,数学中的法则都是建立在一系列概念基础上的,初中数学教学中,在帮助学生掌握、理解、巩固概念时,数形结合思想可发挥重要作用.
例如在学习有理数的概念时,数形结合可以非常好的帮助学生理解负数、相反数、绝对值等概念,直观的比较出数的大小. 负数的概念:小于0的数称为负数,在数轴上表示为原点左边的数.
相反数的概念:在数轴上,与原点距离相等的两个数称为相反数. 0的相反数是0
绝對值的概念:在数轴上,一个数的绝对值为这个数与原点的距离. 见图1.
(二)在解题教学过程中的应用
“以形助数”在解决初中数学中的代数问题时应用广泛,以图形作为辅助解题手段,能有效启发学生的形象思维,找到解决问题的最优方法.
例:求二次不等式x2 2x - 3 > 0的解集.
按照纯代数解法是首先将以上二次不等式转化为(x 3)(x - 1) > 0,在转化为两个不等式组x 3 > 0、x - 1 > 0和x 3 < 0、x - 1 < 0,然后求得结论.
若应用以形助数思路,获得正确结论的速度和直观性和上述方法不可比拟的. 步骤为,先求出一元二次方程x2 2x - 3 = 0的两个根,即:x1 = -3,x2 = 1,再画出y = x2 2x - 3的函数图像. 见图2.
从图2中,x2 2x - 3 > 0的解集一目了然. 同时又把一元二次方程、一元二次不等式、二次函数通过图像的制作过程直观的联系了起来,能帮助学生在数形结合的过程中理解、掌握和强化以上知识,提高分析、解决相关问题的能力.
二、“以数解形”,利用代数性质解决几何问题
以数助形即有关“形”的问题可借助数式的推演,使之量化,从而准确揭示“形”的性质. 也就是说,从“形”的表象找到“数”的实质,将纯几何问题在“数”的引导和应用下得到最简便合理的解决,由表及里、形中有数,就是数形结合中的“以数解形”.
(一)在概念教学过程中的应用
以学习平面几何中有关圆的内容为例,教师为让学生辨清并牢记点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等概念,就可以应用数形结合思想,通过数来帮助学生理解图形的空间位置.
理解圆与圆的位置关系,可设大小两个圆的半径分别为R和r,R > r,两个圆的圆心距为d,见图3.
则此时可引入“数”来辅助学生理解圆的相切、相离、相交、同心等位置关系. 即:
当d > R r时,两圆位置关系为外离;
当d = R r时,两圆位置关系为外切;
当R - r < d < R r时,两圆位置关系为相交;
当d = R - r时,两圆位置关系为内切;
当d < R - r时,两圆位置关系为内离;
当d = 0时,两个圆的圆心重合,即为同心.
(二)在解题教学过程中的应用
几何题由于有图形显得较为直观,但对于结论与已知条件相距甚远,难以参透其中联系的题型,常常难以找到解题途径,此时引入数的概念,用代数方法去解决几何问题,思路往往能一下子豁然开朗.
三、数形结合思想应用在教学中的必要性
数学研究的是数量关系和空间形式,空间形式最主要的表现就是“图形”,因此“数”与“形”是数学的基本研究对象,也是数学思维的基本内容,因此在初中数学教学实践中,数形结合思想不可或缺. 在教学过程中,教师应注重传授学生“以数解形”与“以形助数”的思维方式,有意识的引导学生应用数形结合的思想去分析和解决问题,注意着重培养学生观察和挖掘图形蕴含的数量关系、正确绘制图形反映相应的数量关系,切实把握“数”与“形”的对应关系等能力,加深学生对所学数学知识的理解与掌握,开拓学生创造型抽象思维,提高学生思维素质,为今后数学学习打好基础.
【参考文献】
[1]杨艳丽. 浅谈初中数学教学中的数形结合[J].数理天地(初中版),2014,(04):35-36.
[2]闫林.数形结合思想在中学数学教学中的应用[J].才智,2009,(15):15-18.
[3]唐新阳. 数形结合思想及其在初中数学教学中的应用[D]. 浙江:嘉兴学院,2009:7-8.